用正態分布來模擬那些實際上有厚尾的金融數據，會大大低估極端事件的風險。
編者按
用數學模型來擬合現實世界到底是否靠譜？幾個世紀以來，數學家和物理學家們都一直希望從機率論和統計學著手，來理解各種世界的不確定性，但他們發現金融市場始終一個很難用數學來描繪的領域。在《誰在擲骰子》中，科普作家伊恩·斯圖爾特巧妙建立起一個易於理解、充滿想像力的數學框架，從機率論、統計學、貝葉斯方法和混沌理論等角度展現了不確定性在金融市場等諸多領域中的影響。
金融問題很難預測。股市組織嚴密，作為一個有用的商業融資源頭，它為創造就業做出了貢獻，但也充滿了風險。在外匯市場上，交易員將美元兌換成歐元、日元、盧布或英鎊，主要是為了在某筆非常大的交易中賺取比例很小的利潤。專業的交易商和交易員運用他們的經驗，儘量保持低風險和高利潤。
但股市比賽馬更複雜，現在的交易員依賴複雜的算法，這些算法是在計算機上運行的數學模型。很多交易都已經自動化：算法會在瞬間做出決定，在沒有任何人工干預的情況下進行交易。
所有這些發展的動機都是希望讓金融問題更容易預測，減少不確定性，從而降低風險。金融危機的發生正是因為太多的銀行家認為他們已經這麼做了。事實證明，他們可能還不如看看水晶球。
這並不是一個新問題。1397 年至 1494 年，在文藝復興時期的義大利，權勢滔天的美第奇家族經營著一家銀行，它是整個歐洲規模最大、最受尊敬的銀行。它一度使美第奇家族成為歐洲最富有的家族。1397 年，喬瓦尼·迪比奇·德·美第奇（Giovanni di Bicci de'Medici）從侄子的銀行里分拆出他自己的那部分，並把它搬到了佛羅倫斯。銀行不斷擴張，在羅馬、威尼斯和那不勒斯都設有分支機構，然後又將觸角伸到了日內瓦、布魯日、倫敦、比薩、阿維尼翁、米蘭和里昂。在科西莫·德·美第奇（Cosimo de'Medici）的治下，一切似乎都很順利，直到他 1464 年去世，他的兒子皮耶羅接管了一切。然而，美第奇家族在幕後則揮霍無度：從 1434 年到 1471 年，他們每年要花掉大約 17 000 枚金弗羅林。這相當於今天的 2000 萬～ 3000 萬美元。
傲慢招致報應，不可避免的崩潰始於里昂分行，這家分行有一位不誠實的經理。接著，倫敦分行向當時的統治者提供了大筆貸款，這是一個冒險的決定，因為國王和王后都有些無常，而且還有欠債不還的惡名。1478 年，倫敦分行倒閉，一共損失了 51 533 枚金弗羅林。布魯日分行也犯了同樣的錯誤。根據尼科洛·馬基雅維利（Niccolo Machiavelli）的說法，皮耶羅試圖通過舉債來支撐財政，這又使得幾家當地企業破產，並惹惱了許多有影響力的人物。分行接連倒閉，當美第奇家族在 1494 年失寵並喪失政治影響力時，末日已在眼前。然而，即便在那個時期，美第奇銀行仍是歐洲最大的銀行，但一群暴徒將佛羅倫斯的中央銀行夷為平地，里昂分行也遭到了惡意收購。里昂的經理批准了太多不良貸款，於是向其他銀行大量借款來掩蓋這一災難。
這一切聽起來非常耳熟。20 世紀 90 年代的網際網路泡沫期間，投資者們拋售他們包含巨額盈利的實體產業，拿它們和三五成群的孩子在閣樓上用計算機和數據機鼓搗出來的東西對賭，時任美聯儲主席艾倫·格林斯潘（Alan Greenspan）曾在 1996 年發表演講，譴責這種市場屬於「非理性繁榮」。但在 2000 年網際網路股票暴跌前，並沒有人在乎這些。到 2002 年時，市值總共損失了 5 萬億美元。
這種情況以前也發生過很多次。17 世紀的荷蘭繁榮而自信，它從與遠東的貿易中攫取了巨額利潤。來自土耳其的稀有花卉鬱金香成了一種身份的象徵，其價格也不斷飆升，由此爆發了「鬱金香狂熱」，催生出一個專業的鬱金香交易所。投機客們買進存貨並將其捏在手裡，人為製造稀缺以推高價格。用於交易未來某天鬱金香買賣的合同期貨市場應運而生。到 1623 年，一株稀有的鬱金香的價格超過了一幢阿姆斯特丹商人的房子。泡沫破裂後，荷蘭經濟倒退了 40 年。
1711 年，英國企業家們成立了一家公司，來「管理並協調大不列顛商人，在南太平洋和美洲其他地區進行貿易，同時也鼓勵漁業」。英國國王授予它壟斷南美貿易的權力。投機客們把它的價格推高了 10 倍，人們被沖昏了頭腦，於是成立了一系列奇奇怪怪的衍生公司。其中有一份非常著名的招股說明書寫道：「從事一項具有巨大優勢的事業，但沒人知道具體是什麼。」
這又是瞎胡鬧。當人們恢復理智時，市場崩潰了：普通投資者失去了畢生積蓄，而大股東和董事們早已逃離市場。最後，首位英國財政部長羅伯特·沃波爾（Robert Walpole），在最高點拋售了所有股票，將債務分拆給政府和東印度公司，才使秩序得以恢復。董事們被迫對投資者進行賠償，但還有許多最惡劣的違法者仍逍遙法外。
當金融泡沫破裂時，當時的鑄幣廠廠長牛頓希望藉此了解高級金融，他評論道：「我能計算恆星的運動，但算不出人類的瘋狂。」過了好久，有數學頭腦的學者們才開始研究市場機制，與此同時，他們甚至還開始關注起了如何做出理性的決策，或者至少是對哪些行為是理性的做出最好的估算。
被低估的布朗運動模型
所有閱讀報紙財經版面或在網上關注股市的人，都會很快發現股票的量價會以一種不規則、不可預測的方式發生變化。圖 1 顯示了富時 100 指數（英國股市 100 強公司的綜合價格）在 1984 年至 2014 年的變化。它看起來更像是隨機漫步而非光滑曲線。
巴舍利耶發現了這種相似性，並用一種名叫布朗運動的物理過程來模擬股價的變化。1827 年，蘇格蘭植物學家羅伯特·布朗（Robert Brown）在用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉顆粒腔內的微粒時，發現這些微粒隨機搖動著，但無法解釋其原因。1905 年，愛因斯坦提出微粒與水分子發生碰撞。他對這一物理現象進行了數學分析，其結果使許多科學家相信物質是由原子構成的（令人驚訝的是，這個概念在 1900 年曾備受爭議）。1908 年，讓·佩蘭（Jean Perrin）證實了愛因斯坦的解釋。
圖 1 1984 年至 2014 年的富時 100 指數
巴舍利耶利用布朗運動模型回答了一個有關股市的統計學問題：預期價格（統計平均值）是如何隨時間變化的？具體而言，價格的機率密度是什麼樣的？它又是如何演變的呢？巴舍利耶給出了對未來最有可能的價格估計，以及相對於那個價格可能的波動範圍。他提供了一個如今被稱為科爾莫戈羅夫–查普曼方程的機率密度方程，並對其進行求解，得到了一個正態分布，該分布的方差（展形）隨著時間的推移呈線性增長。我們現在知道這是擴散方程的機率密度，這種方程也叫熱傳導方程，因為這是它最早出現的地方。如果你在爐子上加熱一個金屬平底鍋，把手就會變熱，即使它與熱源沒有直接接觸，因為熱量是通過金屬擴散的。1807 年，傅立葉給出了一個支配這一過程的「熱傳導方程」。同樣的方程也適用於其他類型的擴散，比如一滴墨在水中的擴散。巴舍利耶證明了在布朗運動模型中，期權的價格像熱量一樣傳播。
他還利用隨機漫步開發了第二種方法。如果隨機漫步的步伐越來越小，速度越來越快，就能近似成布朗運動。他指出，這個概念也會得到同樣的結果。接著，他計算了「股票期權」的價格應該如何隨時間變化（所謂股票期權，是在未來某個日期以固定價格買賣某種商品的合同。這些合同是可以買賣的，買賣是否合適取決於商品的實際價格走勢）。通過了解當前價格的擴散方式，我們可以得到對未來實際價格的最佳估計。
這篇論文反響平平，可能是因為它的應用領域不太常見，但它通過了，並被發表在一份質量很高的科學雜誌上。巴舍利耶的事業隨後被一場悲劇性的誤會所毀。他繼續研究擴散和相關的機率課題，並成為法國索邦大學的教授，然而第一次世界大戰爆發後，他參了軍。戰後，在做了一些臨時性的學術工作後，他申請了第戎的一個長期職位。
負責評估申請的莫里斯·熱夫雷（Maurice Gevrey）認為自己在巴舍利耶的一篇論文中發現了一個重大錯誤，專家保羅·萊維（Paul Levy）也對此表示贊同。巴舍利耶的職業生涯毀了。但是他們都誤解了他的記法，它並沒有錯。巴舍利耶為此寫了一封義憤填膺的信，但無濟於事。最終萊維意識到巴舍利耶一直都沒有錯，在道歉之後，他們言歸於好。然而即便如此，萊維從未對關於股市的應用產生過興趣。他在筆記本上對這篇論文評論道：「關於金融的內容太多了！」
巴舍利耶利用隨機波動對股票期權價值如何隨時間變化的分析，最終被數理經濟學家和市場研究人員接受。其目的是了解期權（不只是標的商品）交易市場的行為。一個基本的問題是找到合理的方法來給期權定價，也就是說，人人都可以用相同的規則分別給他們關心的東西算出價格。這使得評估特定交易所涉及的風險成為可能，從而激勵了市場活動。
被高估的布萊克-斯科爾斯定價模型
1973 年，費希爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·斯科爾斯（Myron Scholes）在《政治經濟學》雜誌上發表了《期權與公司債定價》一文。在此前的十年里，他們開發了一個數學公式來確定某一期權的合理價格。用這個公式進行交易的實驗並不太成功，於是他們決定將推理過程公之於世。羅伯特·默頓（Robert Merton）對他們的公式進行了數學解釋，這個公式後來被稱為布萊克–斯科爾斯期權定價模型。它將期權價格的波動與標的商品的風險區分開來，從而形成一種稱為德爾塔對沖的交易策略：在某種意義上，反覆買賣標的商品，以消除期權帶來的風險。
布萊克–斯科爾斯模型是一個偏微分方程，即布萊克–斯科爾斯方程，它與巴舍利耶從布朗運動中提煉出來的擴散方程密切相關。通過數值計算方法，可以求出任意情形下期權的最優價格。能算出一個唯一「合理的」價格（儘管它的基礎是一個可能不並適用於現實的特定模型），已經足以說服金融機構使用它，一個巨大的期權市場由此誕生。
布萊克–斯科爾斯方程所使用的數學假設並不完全符合現實。其中一個重要的原因是，蘊含的擴散過程的機率分布是正態的，因此極端事件不太可能發生。實際上，此類事件更常見，這種現象被稱為厚尾。有一類被稱為穩定分布的機率分布是由 4 個參數構成的，圖 13-2 顯示了其中的三種，它們的關鍵參數分別對應一個特定值。當這個參數為 2 時，我們會得到正態分布（灰色曲線），它沒有厚尾。另外兩個分布（黑色曲線）都有厚尾：在圖形兩邊，黑色曲線在灰色曲線之上。
圖 2 兩種厚尾分布（黑色）和正態分布（灰色）的比較。這三種都是「穩定分布」，它們涉及一個參數，其值分別為 0.5、1 和 2
用正態分布來模擬那些實際上有厚尾的金融數據，會大大低估極端事件的風險。無論有沒有厚尾，與正常情況相比，這些事件都很少見，但厚尾讓它們變得常見到足以構成嚴重問題。當然，極端事件會讓你損失一大筆錢。意料之外的衝擊，比如突然的政治動盪或某家大公司倒閉，可能會使極端事件發生的可能性比厚尾分布所預示的更大。網際網路泡沫和 2008 年金融危機都和這種意料之外的風險有關。
儘管存在這些問題，布萊克–斯科爾斯方程還是因其實用性而被廣泛使用：它很容易計算，並且在大多數時候能很好地近似真實市場的情況。億萬富翁、投資家沃倫·巴菲特（Warren Buffett）曾警告：「布萊克–斯科爾斯公式在金融領域已近於神聖……不過，如果將該公式應用在較長的時間段，那麼就有可能會導致荒謬的結果。平心而論，布萊克和斯科爾斯想必是明白這一點的。但他們忠實的追隨者們可能忽略了他們倆在最早公開這個公式時所附帶的警示說明。」
《誰在擲骰子：不確定的數學》
原名: Do Dice Play God? The Mathematics of Uncertainty
作者: 伊恩·斯圖爾特
譯者: 何生
出版社: 圖靈新知 |人民郵電出版社
文|伊恩·斯圖爾特
編輯|彭韌
（本文內容僅供參考，不構成任何形式的投資和金融建議；市場有風險，投資須謹慎。）