作者 | trustno1
來源 | 知乎，好玩的數學獲作者授權轉載
從小學正式教學加乘混合運算開始，我們就開始接觸數列。較之於方程這類機械性的技術而言，數列的學習曲線陡峭異常。無論是求解通項還是求和，往往都要求學生綜合、歸納，配項，消元等數學技巧。很多技巧在初學者看來，都是神來之筆，與方程這類有明確步驟的數學問題相比，他們的產生顯得無跡可尋，應用則存乎一心。
我們以最簡單的等差數列為例
一般而言 相對容易求得，因為 實際上是一個與 呈現線性相關的關係。1 加上 1 等於 2，2 加 1 等於 3，這樣線性增長特性，是每個學習數學的人首要熟悉的數學概念，因此與之相似的線性增長的性質，只要經過粗略的歸納和整理就不難發現規律。然而當我們試圖去歸納 時，就會撞上一個不小的門檻。我們現在知道
這個結果顯然含有一個平方項，也就是說 是隨著 進行非線性增長的，試圖通過簡單的類比自然數線性關係進行數學歸納就行不通了。
對於等差數列的求和的教學，我們通常是遵循著高斯傳奇小故事，引入首項加末項的方法
這種方法缺點在於，需要按照奇偶項數進行分類討論，奇數情況下還需要處理中項問題。當然對於這一缺陷，還可以進行如下改進
然而無論那這種方法。對初學者而言，並沒有實質性的幫助。因為這類方法本質上利用了等差數列的在大範圍內的加性對稱。雖然引入數學史可以帶來某些趣味性，但是這些趣味性並沒有幫助初學者在實際生活體驗中找到可以類比的對稱性經驗。這種數學特性的發現過程是怎麼樣的，這些方法有沒有可操作性的步驟和建議，這些都是不明確的。最終初學者只能將這種結果歸結於聰明數學家的某次靈光一閃，然後以背誦公式的方式被迫承認這些結果。
無論是小學還是大學，這種困擾始終潛伏在絕大多數學的教習過程之中。這是因為，當代學校教材中的數學內容，基本上是經過 17 世紀以後的數學家們不斷修訂整理的結果。這類教材的好處是嚴密化簡潔化，但是這些教材也把大量的前人探索性質的內容抹除了。這就好比是一棟大樓建成以後將所有的腳手架拆除。我們往往看到的是平地起高樓的奇蹟，而看不到前人在各種原始基礎問題上不斷嘗試的策略和方法，而這些方法恰恰對數學初學者而言是更有啟發意義的。
事實上，如果我們更多的挖掘數學史的發展脈絡，而不是局限於小高斯這類的傳奇故事，我們會發現，絕大多數時間裡數學家對數學問題的探討，都是從直觀樸素的想法出發進行嘗試總結不斷疊代方法，這一過程與我們普通人學習數學的過程沒有本質上的區別。在數學史上絕少有靈光一閃的高光時刻，更多的是十年如一日的再各種可能性的路徑上反覆嘗試推演。
歷史上數學家對等差數列的關注由來已久，在中國歷史上對等差數列及其衍生問題的研究是以「如像招數」為中心的。「如像招數」是元代數學家朱世傑的著作《四元玉鑒》的第三章，第十問，在這部著作中朱世傑將中國傳統的等差數列推向了最高峰。所謂「如像招數」的「像」指的是圖形，顧名思義中國古代的數學家對於等差數列及其衍生問題的研究，並不是以代數方式直接切入以幾何圖形切入來解決複雜的代數問題。
古代數學家們之所以以這種方式來研究等差數列問題，我個人認為最主要原因在於，人對於幾何形狀上的對稱性要比代數形式上的抽象形式的對稱性來的更為敏感和熟悉。我們的人體本身就是一個以軀幹為對稱軸的對稱幾何體，我們有左手也有右手，我們有左腳對稱的也有右腳。我們日常生活中經常藉助這種幾何對稱性來解決實際問題，比如說我們去鞋店試鞋，要試出合適的鞋子，一般而言我們都不會每次兩隻腳都去試穿，而往往試穿一隻腳。當我們試驗到一隻鞋子非常合適左腳的後，那麼右腳的鞋子也會大機率的合腳。這樣利用對稱性我們就節省了很多時間。因此代數問題化為幾何問題的根本目的就是希望能以這種日常的直觀幾何對稱性經驗來歸納數學規律。
我們將等差數列以如下的點陣圖形，看看古代數學家是如何進行「如像招數」的。
我們可以看到，整個點陣圖形構成了一個直角三角形。直角三角形往往以一個矩形的一半出現在我們的日常生活中。於是我們可以非常自然的想到，如果把這個點陣顛倒 180 度，兩者正好能拼接成一個矩形。於是我們就有了上述第二種求和方式
當然朱世傑對「如像招數」的應用，並不僅僅停留在等差數列這樣初級的問題上。他我們來看一下，這樣一個問題。求下列數列的通項公式
通過一些簡單的歸納很容易可以看到，這個數列有下面這樣一些規律
相鄰兩個項之間差值構成了一個新的等差數列 ，我們將這類數列稱為二階等差數列。由於 中都含有一個 中的差項，於是我們可以很自然的想到 累加起來就可以將中間的所有 項抵消掉
做一個簡單的移項就可以發現二階等差數列的通項公式 。二階等差數列的差項構成的一階等差數列之和，根據我們我們上面利用「如像招數」的分析結果，就很容易得到
當我們得到二階等差數列的通項公式 之後，我們很自然的就會想知道，二階等差數列的前 n 項和是多少即需求
比之一階等差數列，這個求和在代數上的規律性則更為隱蔽，連加性對稱都不存在了。面對這個難題，以朱世傑為代表的中國數學家依然從「如像招數」的角度來解決他。
我們觀察到 ，這個通項公式與矩形的面積公式一致，於是我們可以假想數列的每一項對應著一個長為 寬為 的矩形，按照如下圖形進行排布。
雖然，這樣一個幾何排布同樣看不出一些明顯的對稱性特徵，然而我們依然可以很自然的發現，如果我們將這個幾何圖形按照，右邊的俄羅斯方塊一樣的階梯形進行補齊，那麼可以得到一個完整的矩形。而這個「俄羅斯方塊」的每一列的方塊數，實際上就是左邊每一個矩形的寬的累加和。於是我們繼續利用」如像招數「的結果將二階等差數列的求和做如下的變形我們令大矩形的面積為 ，補充圖形的面積為 ，那麼兩者有如下關係式
那麼我們先來處理 。通過簡單的歸納可知，其長為 1+2+...+n, 其寬為 n+1，於是有
對於 , 由於堆疊 n 層時它只會殘缺 n-1 列，於是我們有
它的每一項都是一個一階等差數列的和，於是我們有
顯然它等於 的前一項的兩分之一。於是將上面三個結果連立起來我們就有
通過對二階等差數列的通項公式及其求和公式的探討。我們自然就會想到，我們是否還是可以依葫蘆畫瓢，採用如像招數的辦法來解決，三階以上的等差數列呢？答案是可以但是並不實用。原因在於，我們會發現從現實世界中越來越難找到與高階乘法的對應的幾何體，即便是找的到，對於他們的分析和歸納也會比平面圖形來的更為困難。比如說三階等差數列自然的對應幾何體就是長方體體積，但是三維立體幾何要比二維平面幾何複雜很多。
我們以《四元玉鑒》如像招數一章中的第五問平方招兵問題為例
問曰：今有官司，依平方招兵。初段方面四尺，次日方面轉多二尺，每人日給銀一兩二錢。已招兵四千九百五十六人，支銀二萬六千四十兩。問招來幾日？
答曰：一十四日。
術曰：立天元一為三角底子，如積求之。得七千三百五十六為益實，七十三為從方，二十一為從廉，二為從隅，立方開之，得三角底子一十二個。加二，即日數。
題目的意思是，現在官府要按照一個隊列方陣的數額來招募士兵，初始方陣的邊長為 4 尺，然後每天方陣邊長增長兩尺，每個士兵軍餉 1 兩 2 錢白銀，已經招募了 4956 人，使用銀兩為 26040 兩，問官府總招兵總共持續了幾日？
這實際上是一個已知平方數列的和求項數的問題，即要求滿足下式的 n 數目
朱世傑將這個問題，首先轉化一系列底面為正方形的長方體的堆垛如下圖。然後對這個幾何堆垛進行分割，分割成，從方，從廉，從隅；從方較好理解，就是下圖左邊的這個核心長方體，對應的是 0 階等差數列即常數數列；廉隅是中國古代立體幾何的慣用術語，大約相當於我們現在所說的棱和角。所謂的從廉，就是中圖中這塊像圍裙一樣的圍邊，等價於一批 1 階等價數列之和；從隅就是最後右圖被切下的角，這是一個基本的 2 階等價數列。
朱世傑對於高階數列求和問題採用的是歸納-降解-組合的方案，首先對於一階，二階，三階等基本簡單的等差數列。朱世傑通過「如像招數」的方法將他們轉化為二維、三維的堆垛利用幾何對稱等特性歸納整理出基本的低階垛積公式，朱世傑稱之為「垛積術」。對於複雜的復合數列，的則將其轉化為化為立方堆垛問題，對立方堆垛進行逐級的差項來將複雜垛積化為更為簡單基本的低階垛積的組合，這種方法朱世傑稱之為」招差術「。
我們知道，一個數學系統呈現出可組合還原性質的前提是這個系統中存在可逆運算或者可逆轉換。舉一個簡單例子，當我們站在太陽地下，陽光照射我們的上在地面形成一個腦袋的影子，這種射影轉換就不存在可逆運算，因為在形成影子的過程中已經丟掉了很多信息比如你的眼睛有多大，鼻子有多長，留在地面上的只有一個外臉輪廓的信息，因此無論我們收集多少個不同種類的影子，最終都不可能拼接還原出一張完整的人臉。
垛積術與招差術之間可以自由拆解組合的特性源自於高低階等差數列可以進行互逆運算，我們再回過頭去審視一下，二階等差數列的通項公式和求和公式。
我們會發現，高階等差數列有一個非常明顯的規律。二階等差數列的通項是由逐項作差項後的一階等差求和而來。而二階等差數列的自身求和它對應的三階等差數列的 1/3。於是我們可以進一步猜測，高階和低階等差數列之間存在著這樣的互逆過程
也即是說，等式的左邊告訴我們，如果我們已經通過通項公式，也就知道了數列的階數，那麼我們可以通過更高一階的通項公式來求低階數列的和。而等式右邊告訴我們，當我們發現數列差項呈現低階等差規律時，我們可以利用低階數列等差求和來推演高階數列的通項公式；這種可逆性是高階等差數列中一系列神奇數學技巧的發端。以小學數學教學的傳統難點-整數裂項為例
這裡的整數裂項，實際上是將每個低階項還原成高階等差數列兩項差，然後進行逐項抵消。但是從 1 式到 2 式存在著巨大的邏輯鴻溝——我們到底是如何從 1 式的三階通項里觀察出 2 式的？對於一個不了解「招差-垛積互逆「的初學者而言，這一問題無疑是為」天問「。當前主流數學教學中，對此的回答也只能是為了要進行 (3) 式中的逐項抵消而拼湊出來的。但是問題是我們又是如何想到要進行逐項抵消呢？這種解說基本上就陷入了一種到底是先有雞還是先有蛋的邏輯怪圈。
如果我們從「招差-垛積互逆「的結果出發就很簡單，因為通過已知條件我們已經知道 是一個三階等差數列，可以很容易的得到 4 階的通項公式 ，然後根據高低階數列互逆公式有
簡單觀察即可得知，三階等差數列的通項為，四階等差數列差項的四分之一。即可得到上述（2）式的結果。
「如像招數」在三階等差數列下需要非常艱深的立體幾何直覺，它已經喪失了一階二階問題上所呈現出來的直觀性和簡便性。再繼續推廣至四階和五階的問題，如像招數已經行不通了，因為我們無法在現實生活中找到四維和五維的實體。
但朱世傑給出了四階和五階等差數列的成果。顯然「如像招數」在朱世傑這裡僅僅是敲開一階到二階和三階的敲門磚。通過對這些初等結果的歸納整理，朱世傑總結出高低階數列可逆轉換的規律，進而在討論更高階數列問題上拋棄了初等的「如像招數」的方法轉而利用新的數學工具。樸素初等方法-->初步結果-->相似性歸納-->新猜想-->新數學工具，這種循環往復的發展過程可以說是數學史發展的主基調。
那麼朱世傑到底是用什麼樣的新工具來完成這一壯舉的呢？回顧一下平方招兵問題的解法，可以看到「招差-垛積「的核心問題是對於 1 到 階的基本堆垛的求解。而對於 階等差數列一般性公式的求解，嚴格上講需要用到數學歸納法。但是在朱世傑的時代，數學歸納法還沒有誕生，因此他只能對高低階數列轉換的猜想做有限的不完全歸納。但是我們目前已經無法看到朱世傑具體的推演步驟。實際上，早於朱世傑的楊輝，就已經得到了二階等差的結果，可惜的是，同樣我們也無法知道楊輝是如何得到這個結果的。
這固然跟楊輝的著作散失有關，同時也與算籌的使用有直接的關係。與西方數學家那樣長期依賴筆算不同的是，明代之前的中國數學家長期使用算籌推演數學問題。算籌大體上是如下圖這樣的擺放木棍，成語中所謂的運籌帷幄的「籌」即是指這種算籌木棍。
中國數學家會將需要演算數字，在桌上或者地上縱橫排開，然後自左向右進行運算。由於算籌本身數量有限，於是為了最大化的復用算籌，所有已經運算完的小棍，比如說已經進位的部分，就會從桌上拿走用於從新計算，最終運算完畢時只會留下結果。而解題的過程很難被完整的保存下來。所以中國數學家更傾向於保留孤立的結果，而忽略過程。以至於在後世讀者看來，中國古代的數學只重計算，而缺乏像歐幾里得那樣嚴密的邏輯推導。
但實際上並非如此，無論是南北朝時期劉徽的割圓術，還是元代朱世傑的招差垛積術，都不是僅僅依靠蠻力計算就可以獲得的結果；而是在計算之前經過嚴密的邏輯論證，找到精巧漂亮的數學結論後方能完成的偉大計算。
當然毋庸置疑的是，這樣的傳統非常不利於數學知識的系統學習、傳承、改進。到了清代，數學家們甚至已經無法看懂朱世傑的遺留下來的算法了。中國數學史上的由盛而衰歷史也告訴我們，要通透的掌握數學這門知識，光憑藉記憶零星的數學結果的知其然是遠遠不夠的更最重要的是知其所以然。
現代數學家根據朱世傑的結果和中國古算的基本程序，大體重建了基本垛積的演算方法。為了方便讀者的閱讀，我們在這裡以現代數字替代算籌作為演示。
首先我們將常數數列的算籌布列在最左邊
根據公式 2，高階數列的首項實際上是和低階數列是共享的。於是我們可以首先將低階數列的第一項 1 進行移項，從第一列第一行移動到第二列第一行。然後對每個常數數列的每個前 n 項進行逐次累加得到第二列算籌各項，進而得到一個一階等差數列。
依次類推，朱世傑通過任意有限次的疊代可以得到任意高階的垛積數列。
這時我們驚奇的發現，如果將這張表向右旋轉 60 度，把左上角頂點 1 擺放到頁面的中央，就得到了著名的楊輝三角
「招差-垛積「與「整數裂項」之間的差異，實際上遠不止理解上的便宜程度的差別。「整數裂項」只是應付某種求和問題的孤立的特殊技巧；而當楊輝三角一字不差的出現在「招差-垛積「的算籌方陣中時，預示著它將與組合問題、二項式定理，高次開方、甚至微積分的有著千絲萬縷的聯繫。
作者簡介：Trustno1，出沒於杭州上海的IT工程師，日常書蟲一枚，遊戲數學問題，翻揀歷史資料。
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