最近因為疫情的關係，很多學校都推遲了開學時間，或者改成了網上教學。對於很多學生來說，在眾多課程中，微積分是繞不過的一科。即使被虐千萬遍，也依然要待它如初戀……

下面這段歷史也許能幫你堅定學習微積分的決心：1665 年，倫敦爆發鼠疫，劍橋大學關閉，一位年輕人不得不返回家鄉，在家鄉的兩年中，他主要研究了微積分、萬有引力定律和光學，這些理論對後世產生了巨大的影響，而這個年輕人正是我們所熟知的牛頓大神。

當然，絕大部分人不可能像牛頓那樣在疫情期間研究出舉世聞名的理論，不過至少，我們可以在這段時間學習一下牛頓留給我們的數學遺產——微積分。

「工欲善其事，必先利其器」，今天推薦的就是一本能夠助大家學好微積分，被讀者譽為「0 基礎也能看懂的高等數學書」——《普林斯頓微積分讀本》！

豆瓣 9.6 分高分評價：

這本書講什麼？

這本經典著作源於風靡美國普林斯頓大學的阿德里安·班納教授的微積分複習課程，將易用性與可讀性以及內容的深度與數學的嚴謹完美地結合在了一起，激勵學生不再懼怕微積分，並在考試中獲得高分。

本書闡述了求解微積分的技巧，詳細講解了微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容，旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點，著重訓練大家自己解答問題的能力。

阿德里安·班納教授

作者有話說：這本書旨在幫助你學習單變量微積分的主要概念, 同時也致力於教會你求解問題的技巧。無論你是第一次接觸微積分, 還是為了準備一次測驗, 或是已經學過微積分還想再溫習一遍, 我都希望本書能夠對你有所幫助。

寫作本書的靈感來自我在普林斯頓大學的學生們。他們在過去的幾年裡發現, 與課堂授課、作業講解以及他們的教科書一樣, 本書的初稿是很有幫助的學習指南。以下是他們在學習過程中提出的一些你可能也想問的問題。

這本書為什麼這麼厚？（668 頁）我是假設你真的想要掌握這門課程, 而不只是想囫圇吞棗, 一知半解, 所以你已經準備好投入一些時間和精力, 去閱讀並理解這些詳盡的闡述。閱讀之前, 我需要知道些什麼？你需要了解一些基本的代數知識, 並且要知道如何求解簡單的方程式。本書的前兩章涵蓋了你所需要的大部分的微積分預備知識。例題的求解過程在哪裡？我所看到的只是大量的文字與少量的公式。首先, 看一個求解過程並不能教會你應該怎樣思考。所以我通常試圖給出一種「內心獨白」, 即當你嘗試求解問題的時候, 腦海中應該經歷怎樣的思考過程。最後, 你想到了求解問題的所有知識點, 但仍然需要用正確的方式把它們全部寫出來。我的建議是, 先看懂並理解問題的求解方法, 然後再返回來嘗試自己解答。定理的證明哪兒去了？本書中的大部分定理都以某種方式被驗證了，在附錄 A 中可以找到更多正式的證明過程。主題沒有次序! 我該怎麼辦呢？學習微積分沒有什麼標準次序。我選擇的順序是有效的, 但你可能還得通過搜索目錄來查找你需要的主題, 我也可能遺漏了一些主題，大家可以給我發郵件：地址是 [email protected]。你一定想不到, 我可能會為你寫一個附加章節。（也為下一版寫, 如果有的話!）我們學校可以用這本書作為教材嗎？這本書配有很好的習題集, 可以作為一本教材, 也可以用作一本學習指南，你的任課老師也會發現這本書很有助於備課, 特別是在問題求解的技巧方面。這些視頻是什麼？這些視頻是我過去複習課的錄像, 其中涉及了很多 （但不是全部)本書的章節和例題。班納教授的複習課視頻，B 站掃碼可看：

來看看讀過的讀者怎麼說：

《普林斯頓微積分讀本》目錄如下：

目

第1章 函數、圖像和直線 1

1.1 函數 1

1.2 反函數 6

1.3 函數的復合 10

1.4 奇函數和偶函數 12

1.5 線性函數的圖像 14

1.6 常見函數及其圖像 16

第2章 三角學回顧 21

2.1 基本知識 21

2.2 擴展三角函數定義域 23

2.3 三角函數的圖像 29

2.4 三角恆等式 32

第3章 極限導論 34

3.1 極限：基本思想 34

3.2 左極限與右極限 36

3.3 何時不存在極限 37

3.4 在∞和-∞處的極限 38

3.5 關於漸近線的兩個常見誤解 41

3.6 三明治定理 43

3.7 極限的基本類型小結 45

第4章 求解多項式的極限問題 47

4.1 x a時的有理函數的極限 47

4.2 x a時的平方根的極限 50

4.3 x ∞時的有理函數的極限 51

4.4 x ∞時的多項式型函數的極限 56

4.5 x -∞時的有理函數的極限 59

4.6 包含絕對值的函數的極限 61

第5章 連續性和可導性 63

5.1 連續性 63

5.2 可導性 71

第6章 求解微分問題 84

6.1 使用定義求導 84

6.2 用更好的辦法求導 87

6.3 求切線方程 98

6.4 速度和加速度 99

6.5 導數偽裝的極限 101

6.6 分段函數的導數 103

6.7 直接畫出導函數的圖像 106

第7章 三角函數的極限和導數 111

7.1 三角函數的極限 111

7.2 三角函數的導數 124

第8章 隱函數求導和相關變化率 132

8.1 隱函數求導 132

8.2 相關變化率 138

第9章 指數函數和對數函數 148

9.1 基礎知識 148

9.2 e 的定義 153

9.3 對數函數和指數函數求導 158

9.4 求解指數函數或對數函數的極限 161

9.5 取對數求導法 169

9.6 指數增長和指數衰變 173

9.7 雙曲函數 178

第10章 反函數和反三角函數 181

10.1 導數和反函數 181

10.2 反三角函數 187

10.3 反雙曲函數 199

第11章 導數和圖像 202

11.1 函數的極值 202

11.2 羅爾定理 206

11.3 中值定理 209

11.4 二階導數和圖像 212

11.5 對導數為零點的分類 215

第12章 繪製函數圖像 219

12.1 建立符號表格 219

12.2 繪製函數圖像的全面方法 224

12.3 例題 225

第13章 最優化和線性化 239

13.1 最優化 239

13.2 線性化 249

13.3 牛頓法 258

第14章 洛必達法則及極限問題總結 263

14.1 洛必達法則 263

14.2 關於極限的總結 273

第15章 積分 276

15.1 求和符號 276

15.2 位移和面積 283

第16章 定積分 293

16.1 基本思想 293

16.2 定積分的定義 297

16.3 定積分的性質 301

16.4 求面積 305

16.5 估算積分 313

16.6 積分的平均值和中值定理 316

16.7 不可積的函數 319

第17章 微積分基本定理 321

17.1 用其他函數的積分來表示的函數 321

17.2 微積分的第一基本定理 324

17.3 微積分的第二基本定理 328

17.4 不定積分 329

17.5 怎樣解決問題：微積分的第一基本定理 331

17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理 336

17.7 技術要點 344

17.8 微積分第一基本定理的證明 345

第18章 積分的方法I 347

18.1 換元法 347

18.2 分部積分法 356

18.3 部分分式 361

第19章 積分的方法II 373

19.1 應用三角恆等式的積分 373

19.2 關於三角函數的冪的積分 376

19.3 關於三角換元法的積分 384

19.4 積分技巧總結 391

第20章 反常積分：基本概念 393

20.1 收斂和發散 393

20.2 關於無窮區間上的積分 398

20.3 比較判別法(理論) 400

20.4 極限比較判別法(理論) 402

20.5 p 判別法(理論) 405

20.6 絕對收斂判別法 407

第21章 反常積分：如何解題 410

21.1 如何開始 410

21.2 積分判別法總結 413

21.3 常見函數在∞和-∞附近的表現 414

21.4 常見函數在0附近的表現 426

21.5 如何應對不在0或1處的瑕點 432

第22章 數列和級數：基本概念 434

22.1 數列的收斂和發散 434

22.2 級數的收斂與發散 438

22.3 第n項判別法(理論) 442

22.4 無窮級數和反常積分的性質 443

22.5 級數的新判別法 447

第23章 求解級數問題 455

23.1 求幾何級數的值 455

23.2 應用第n項判別法 457

23.3 應用比式判別法 457

23.4 應用根式判別法 461

23.5 應用積分判別法 462

23.6 應用比較判別法、極限比較判別法和p判別法 463

23.7 應對含負項的級數 468

第24章 泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論 472

24.1 近似值和泰勒多項式 472

24.2 冪級數和泰勒級數 478

24.3 一個有用的極限 485

第25章 求解估算問題 487

25.1 泰勒多項式與泰勒級數總結 487

25.2 求泰勒多項式與泰勒級數 488

25.3 用誤差項估算問題 491

25.4 誤差估算的另一種方法 499

第26章 泰勒級數和冪級數：如何解題 502

26.1 冪級數的收斂性 502

26.2 合成新的泰勒級數 508

26.3 利用冪級數和泰勒級數求導 517

26.4 利用麥克勞林級數求極限 519

第27章 參數方程和極坐標 523

27.1 參數方程 523

27.2 極坐標 528

第28章 複數 538

28.1 基礎 538

28.2 複平面 541

28.3 複數的高次冪 544

28.4 解zn = w 545

28.5 解ez = w 550

28.6 一些三角級數 552

28.7 歐拉恆等式和冪級數 554

第29章 體積、弧長和表面積 556

29.1 旋轉體的體積 556

29.2 一般立體體積 567

29.3 弧長 571

29.4 旋轉體的表面積 574

第30章 微分方程 578

30.1 微分方程導論 578

30.2 可分離變量的一階微分方程 579

30.3 一階線性方程 581

30.4 常係數微分方程 585

30.5 微分方程建模 595

附錄A 極限及其證明 598

A.1 極限的正式定義 598

A.2 由原極限產生新極限 602

A.3 極限的其他情形 606

A.4 連續與極限 611

A.5 再談指數函數和對數函數 616

A.6 微分與極限 618

A.7 泰勒近似定理的證明 627

附錄B 估算積分 629

B.1 使用條紋估算積分 629

B.2 梯形法則 632

B.3 辛普森法則 634

B.4 近似的誤差

有了這本「利器」，希望大家在這段時間能夠學好微積分。在疫情結束之前，我們還是不能放鬆警惕，希望大家能少聚集，勤洗手，多讀書，多思考，說不定，你就是下一個牛頓！

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