撰文 | 顏一清（輔仁大學數學系）
來源 | 返樸，原載台灣中央研究院數學研究所發行的《數學傳播》雜誌
高斯九歲便能快速算出1到100的總和，十一歲時便能導出二項定理的一般展開式，並對無限級數的展開頗為熟稔。那麼，這樣一位出身貧窮的神童，他是如何一步步成為「數學之王」的呢？他如何將自己的數學才能應用於天文學的計算當中？在與自己同時代的數學家拉普拉斯、勒讓德、貝瑟爾等人的交往中又發生過哪些故事？
1850年代的高斯
高斯（1777-1855），出生於德國Brünswick一窮困人家。 他從小就有算學異稟。他的才智受到當地Brünswick[注1]公爵的關注， 公爵就一直資助他完成大學教育，取得博士學位，並出版數學巨著《整數論研考》(Disguisitiones Arithmeticae）[注2]。
高斯年冠十九，就在數學上有登峰造極的表現：他突破數學史上兩千多年的沉寂， 以直尺與圓規作出正十七邊形的圖形來。而且他維持如此傑出的研究質量達半個世紀之久。 他的研究範圍廣泛， 遍及純數學與應用數學，研究內容新穎、深入。 這使他成為十九世紀科學領域上最突出的人物。 他在曲面學上的研究， 更是導引黎曼創造黎曼幾何學，並誘發二十世紀初愛因斯坦作出一般相對論來。
高斯就業以後一直定居在哥廷根（Göttingen）。他去世後不久，哥廷根地方的領主漢諾瓦王喬治五世（George V）[注3] 為表彰他的豐功偉業，敕令鑄造一個七公分直徑的紀念章贈與高斯家族。紀念章邊緣以拉丁文刻著「Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi」（漢諾瓦君主喬治五世向數學家之王致敬）[注4]。 從此， 稱呼高斯為「數學之王」的名號不脛而走。
一
身世
Johann Friedrich Carl Gauss（洗禮名， 後來他常用 Carl Friedrich Gauss）在1777年4月30日出生於 Brünswick 的一貧窮勞工人家。 他的父親叫做Gebhard Dietrich Gauss（1744-1808），母親是 Dorothea Benze（1743.6.18-1839.4.18）。
高斯的祖先姓 Goos，是德國北部 Völkenrode 村的新教徒人家。高斯的祖父 Jürgen Goos是曾祖父 Heinrich Goos 三次婚姻中最後第二個兒子， 在家他沒有什麼分量，只能往外地求發展。他結婚後於 1739 年到 Brünswick-Wolfenbüttel 公國的首都 Brünswick 定居， 改姓 Gauss。 起先由於沒有置產， 在當時的同業工會的限制下，只能做零工餬口。好不容易貸款購得一所小房子居住了十四年，生育三男一女。後來換房子到 Wilhelm 街30號。1774年7月5日債未還清，他就因肺病去世。他的妻子早他三個月故去。長子 Gebhard 一向幫助他父親做工，就由他負責償債。不過他也跟弟妹談好，房子歸他繼承，弟妹分得一些現款（借來的）做為補償。這些債 Gebhard 費了二十五年才還清。
Gebhard 在1768年與 Dorothea Vernecke 結婚， 第二年1月14日生子Johann Georg Heinrich。1775年9月5日他的妻子因肺病去世。1776年4月25日 Gebhard 與鄰村的 Dorothea Bentze 再婚。1777年4月30日他們在 Wilhelm 街30號的家裡生下數學天才高斯。高斯是 Dorothea 唯一的孩子。Dorothea 在結婚前當過7年女傭。 她沒有正式受過教育，不會書寫，印刷體字勉強可以念。
Gebhard做過各式各樣的工作，最後十五年他只從事造園業。由於他會書寫，也會計算，他當過一家葬儀社的會計。
高斯曾經向他的再婚對象 Minna Waldeck 描述過他父母親：「父親是一位老實、忠厚的人，在外頭他得別人的尊敬。但是在家裡他是個暴君。好在我很早就不用依靠他，彼此間的衝突較少。母親個性堅強、明朗、善良又聰明。在我與父親有衝突的時候，她很袒護我。我很敬愛她。」
高斯的外祖父是位石工，因工作使然的空氣污染，30歲便得癆病去世了。高斯有一位舅父 Johann Friedrich，他自學成精巧的織緞人才。這位舅舅與高斯很親，他常會講一些話引起高斯的好奇心 ， 他覺得高斯好聰明。 當他在1809年去世時高斯悲嘆：「一位生就的天才過去了。」從父母親的祖先來看，他們都是一些農工階級的人， 子孫能出高斯這樣的神童可是個異數。
二 幼少年時代
有關高斯小時候的故事都是高斯晚年向追隨他的人們說的。他記性好極，而且重複敘述中並無出入的情形，所以他的話可信度大。
高斯很小的時候家門前有一條濠溝（後來圍起來）直通 Ocker 河。 春天一到， 濠溝里漲滿了水。 有一次小高斯在溝邊玩耍時掉進溝里， 在他溺斃前被路過的工人救起， 逃過一劫。
在夏天 Gebhard Gauss 是一家磚瓦工廠的督工，到星期六得給工人們發薪。有一回他要發薪，3歲的小高斯站起來 ：「爸爸， 算錯了。」在眾人目瞪口呆之下重算的結果證實小高斯是對的。
高斯7歲時進 St. Cathrine 小學。 老師是 J. B.Büttner。 班上有百來個學生。 老師在屋頂低、 地板凹凸不平的教室里拿著鞭子來回走動。 鞭子是老師教、懲兩用的。高斯在這樣的環境下平安無事過了兩年。在高斯九歲左右時，Büttner在算術課上要學生們「寫出1到100的數字來， 並求出它們的總和」。 寫好的同學把運算用的石盤（當時紙張還是奢侈品） 翻下放在老師桌子上。 再來交的同學依次疊上石板。老師想，出這樣的考題他可以清靜一下了吧。 沒想到高斯一下子就把石盤拿去老師桌上放了，說：「我交了。（Brünswick 土語， Liggest se!， 英譯：there it lies）」其他小朋友汗流夾背地忙著運算。高斯靜坐著， 不理會老師奇怪的眼神。結果大部分的小朋友都錯了，因而挨了打。高斯的石盤只見 5050 這個數字。他給老師的解釋是：1 + 100 = 101， 2 + 99 = 101， … ， 50 + 51 = 101。 所以 1 + 100 等於有50對101， 答案便是 5050 。
這件事的發生有它象徵性的意義。終其一生高斯做出來的結果都是簡潔而正確的。 但是眾人須要它有詳盡的解釋。
高斯的親戚們聽到到這件事後直搖頭。因為依據俗語， 神會讓他寵受的人夭折，這孩子的壽命恐怕不長。
老師Büttner經歷這件事後覺得他再也沒有什麼可教給高斯了。於是特地從漢堡為高斯買一些好的算學書如 Remer 著《Arithmetica》（在扉頁上有高斯的簽名及1786年12月6日字樣）， 或 Hemeling 的《小算術計算書》。 這兩本書都有被頻繁使用過的痕跡與許多小孩子計算的字跡。
Büttner有一位助手 Martin Bartels（1769-1836）。他的工作是替小朋友削鵝毛筆，改正他們的書寫等。他是白鉛細工匠的兒子，住在高斯家附近。可能是 Büttner 或是 Bartels 跟高斯的父親 Gobhord 商量過高斯往後的教育問題。做父親的認為高斯與異母兄 Georg 一樣，將來走定他自己的路子：當工人。他哪有錢供兒子念書呢？對方可能找得到高貴人士出資給高斯讀書。從此頑固的父親在晚上不再要高斯織一定量的亞麻絲，甚至把紡車帶到後院劈成塊，當柴燒了。取而代之的是 Bartels 與高斯常在一起挑燈夜讀。他們交成好朋友。Burtels 1788年後又去讀書，專攻數學，後來成為 Kasan 大學的教授。
高斯在11時便能導出二項定理的一般展開式，並對無限級數的展開很熟稔。於是神童高斯的名字傳遍 Brünswick。
在 1788年經由 Büttner 或 Bartels 說服不情願的父親，高斯終於進入 Brünswick 的預科學校 Katharineum。在那兒學生的年齡相若。高斯早些時的地方德語也改正成官方德語了。數學老師 Helling 第一次看過高斯交的作業便批示，這麼優異的學生用不著再來上他的課。高斯在那個時期又得到年長朋友 Bartels 與 J. H. J. Meyerhoff（1770-1812） 的幫助自學拉丁語與希臘語。 這些古代語言對念古典書籍是必需的。
有一天高斯看書看迷了，走進 Brünswick 公爵的御花園而不自覺。倒是公爵夫人看到了他，夫人訝異那麼一個小孩難道看得懂他拿著的書？一問之下才知道真的看得懂。改天她叫僕人找高斯過來給公爵看。公爵發現這個內向、拘謹的14歲小孩的確很聰明。
Bartels在1788年進入 Brünswick 的 Caroline 高等學校，認識了那裡的數學教授 E. A. W. Zimmermann（1743-1815）。Zimmermann還兼 Brünswick 公國參事，跟公爵交誼很深。Barters介紹高斯給Zimmermann。 後者便與Brünswick公爵討論高斯這個小孩。 終於在1791年公爵引見高斯， 並決定當年6月起給高斯10個 thaler（德國舊銀幣） 的年金外加一些其他用費。 他還獲得一些書本做獎賞，其中有一本是 Schulze 的《對數表》。高斯常常使用它， 還簽上「Gauss， 1791」。
當時有習俗， 貴族或是有錢的商人會資助家境貧困人家的資優子弟讀書， 以備將來他們用材之需。
高斯既然得到 Brünswick 公爵的年金念書， 做父親的 Gobhard 再也沒有理由反對他升學了。
1792年2月18日至1795年間高斯在 Caroline 高等學校學習。 這所學校在當時是德國最佳學府之一。 學校的學科新穎， 教授優秀， 圖書典藏豐富。 它的教學構想除了因應生活的實際需要外還教育學生們成為新文化的舵手， 並著力培育學生們成為有自由思想與高貴情操的人。 從德國的這一類學校， 十八、九世紀人材輩出。
跟高斯一樣是窮人家的孩子而得到資助進入這所學校的人當時有 Bartels、K. Ide（與高斯同行，早逝）、 Meyerhoff（訂正高斯在《Disquisitiones Arithmeticae》中的拉丁文）等人。
高斯在 Caroline 高等學校期間讀了許多古典文學名著， 因此他的文學素養很好。 他念的數學名著有歐拉、拉格朗日與牛頓等人的著書。 終其一生高斯對牛頓非常尊崇。 在著述方面他也學習牛頓的作風。[1]
這時候法國大革命（1789年）已然發生，但是在拿破崙揮兵攻打鄰國以前，德國的一切情況還沉睡在十七世紀以來的半封建制度里。[2]
很小高斯就喜愛做數字遊戲。 他算得又快又好。 在1792-1793年間高斯做質數分布的研究。 他把整數以千為等級找出其間所含的質數個數。 按照亞歷山大時代的埃拉托斯特尼（276-194 B.C.），整數 p 所含質數不大於 √p， 並由篩選法可求得質數個數。 而高斯則由觀察得出質數個數的增加率 D(n）= π(n）− π(n − 1000）（π(n）: 2至n間質數個數，n ≥ 1000）與
成正比。 因此由幾何圖形來看，
π(x），
。高斯也想過
的情形， 但認為後者的表達方式雖然比較簡單， 誤差卻比較大。高斯在那時候又得到另一本對數表， 是瑞士 Johann Lambert 寫的。 再加上他自己的運算（他對對數熟稔得很）。 這樣才獲得上述的結果來。 往後他還常「對數中有詩情」呢！但他並沒有發表質數分布的結果。
1798年法國大數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833） 發表了較準確的質數分布公式：
，。命運的作弄使得往後高斯與勒讓德所發現的數學內容常出現交錯在一起的情形。
三 大學時代
高斯並沒有順從 Brünswick 公爵的意思選讀公爵領地的赫爾姆施泰特（Helmstedt）大學， 而打算赴 Brünswick 約65里以南的哥廷根大學就讀， 公爵還是答應了。
哥廷根大學在 1737 年由英王兼漢諾瓦大公喬治二世（George II）創辦， 故這所大學又以英王的名字 George Augusta 稱呼。 它的模式仿照牛津大學與劍橋大學， 比其他德國大學有較好的環境與條件， 也比較不受政府與教會的干預。高斯喜歡那裡的學術自由的風氣與豐富的館藏， 所以選擇去那兒念大學。
高斯在1795年10月5日註冊， 成為哥廷根大學數學系學生， 這時候他擁有年金158 thaler 與伙食費。 他對將來的出路感到彷徨。 語文與數學都是他喜愛的， 而學語文以後出路較好。
在大學第一年他借的書有25本。 其中20本是文科的書， 只有5本是數學書。
1796年3月30日是高斯生涯中決定性的一天。從這一天起，他開始寫那出名的科學日記。 他把他的發現依次記載到1814年7月9日[日記在 1898 年從高斯在德國唯一 (也是唯一他見過）的孫子Carl August在Hamlin的家中找出]。3月30日的日記用拉丁文寫著：
「等分圓周的原理以及用幾何方法十七等分圓分等等。
3月30日，Brünswick」
據說從這一天開始他決定從事數學的研究，而語文成為他終生喜愛學習的一個嗜好。
高斯對發現正十七邊形的幾何作法的記載是：「在Brünswick家裡的一個假日，我思考
的諸根之間的算術關係。隔日早上還沒有起床， 我已經很清晰地看到我需要的關係式。 我就立刻把它應用在正17邊形上。 計算的結果證實這個方法是對的。」
1796年6月1日的《一般學藝新聞》中有高斯的告示：
一般的幾何初學者都知道怎樣作出正多邊形， 如等邊三角形、正五邊形、正十五邊形或是把它們的邊數加倍的正多邊形。在歐幾里得的時代大家就已經可以做到這些了。 而從那時候起大家認為初等幾何學終止在這個地步。 至少我不知道有人成功地邁出那個界線。
因此我的新發現有特別的意義。我發現不只是上述那些正多邊形，還有更多的正多邊形可用幾何法（只使用直尺與圓規） 作出。作正十七邊形的方法只是一個包括更多內容的定理的特例而已。 我還沒有完全證出這個發現，等到完成後我會公開它。
——哥廷根大學數學研究學生 C. F. Gauss
這是高斯一生中僅有的一次預告他的發現。 後來「等分圓周」出現在高斯巨著《整數論研考》的第七章，正十七邊形的頂點求法成為這一章的一個例子。這本書因經費與出版商的問題遲延到1801年9月29日才出版，一出版就被搶購一空，造成一時的轟動。
1891年1月6日高斯從哥廷根給他的學生兼朋友 Gerling 信， 說研究「整數論研究」所帶給他的喜悅是他研究數學當中至高無上的。 即使多美的天文學上的發現所帶給他的喜樂都無法與它相比。 信中他給 Gerling 簡述正十七邊形的求法：
高斯好得意作出正十七邊形來。 他對大學時代的好友 Wolfgang von Bolyai (1775-1856） [注5] 說， 以後他的墓碑上就刻上正十七邊形好了。（模仿阿基米德。阿基米德很中意他所求得的球體與其外切圓柱的體積與表面積及它們的比例 2: 3。 結果他的墓碑上就刻著一球及其外切圓柱。 多年後羅馬雄辯家西塞羅做西西里長官時，在荒蕪中憑這個墓碑找出阿基米德的墳墓，修復了它。）[5]。
Bolyai是匈牙利 Transylvania 地方的貴族， 晚高斯一年進哥廷根大學哲學部門。 他與高斯初次在天文學教授 Seyffer 家碰面。Bolyai 對基礎數學有興趣，便毫無忌憚地談論數學， 就這樣引起高斯對他的興趣。 再下一次巧遇時他們便結為好朋友了。高斯工作累了，就去 Bolyai 居處休憩而往往不先發言， 甚至於不講話。只有一次他顯得很開心，那是他作出正十七邊形的時候。他給 Bolyai 他算出正十七邊形的筆記當做紀念。他們也交換煙斗， 每天在一定時間抽煙斗來想念對方（在高斯去世後，Bolyai 將這些東西寄去哥廷根大學留存）[6]。
高斯也帶 Bolyai 徒步到 Brünswick 拜訪高斯的雙親。當高斯離席時母親 Dorotea 問 Bolyai 她兒子能否成器？當Bolyai告訴她「他是歐洲第一等的數學家呢！」時，Dorotea聽得熱淚盈眶。
1798年9月28日高斯學成（沒有等到拿博士學位）回 Brünswick。行前他跟 Bolyai 相約一年後由 Bolyar 定出時間及地點再見一次面。他們約在1799年5月25日星期六在哥廷根與 Brünswick 中途的 Claustal 村見面。兩人徒步同時到達那兒，一起攀登一座小山。在山麓上的小酒店兩人含淚握手道別。他們通信到高斯去世前兩年，但一直沒有機會再見到對方。Bolyai 是高斯大學時代沉思、歡樂與共的朋友。 此後高斯再也沒有向其他朋友那麼坦誠告白他的心思了。
1840年 Bolyai 在他的回憶錄中記述：「……我認識了高斯，他那時候是哥廷根大學的學生。我們一直都有友善的接觸。我從來不跟他相比。他很謙虛，也不誇示。我們幾年在一起，我都沒有看出他的偉大。很可惜，我不懂得打開這一本無言、無題的書本來翻。我不知道他懂得多少，他倒看清楚我，但高估了我，不認為我有多渺小。我們分享對數學的熱愛與對道德的信念。我們時常在一起散步，各自浸淫在自己的思考中，幾個小時不交談一言。」
高斯在哥廷根大學雖然念數學，可與天文學教授 Seyffer 熟悉， 過後也一直有書信往來。 他也喜歡物理學家 Lichtenberg、語言學家 Heyne（非詩人 Heyne），但不喜歡數學教授 W. Kästner。
四 《整數論研考》的問世
1998年9月底回到 Brünswick 後，高斯前途未卜。但他不再回父母親家而租屋在 Wenden 街。他寫信給 Bolyai，期盼公爵能在經濟上繼續支持他到找到工作為止。他也找過工作，但都失去機會。
當年10月他到赫爾姆施泰特大學， 使用那裡的圖書。館長善待他，數學教授 J. F. Pfaff（1765-1825）也對他很友好。他在忙著完成《Disguisitiones Arithmeticae》（編註：整數論研考，也譯作算術研究）這本書。11月時他已訂正第五章四次，第七章基本上完成了，第八章還得花好多時間。12月中旬公爵答應繼續給高斯年金158 thaler。 在這以前年金遲遲未發下，高斯以借貸度日。公爵沒有立即允諾繼續給高斯年金有他個人的理由：他的父親揮霍過度，使國庫乾枯，幾近破產。公爵想了法子，才挽救了這個局面。
公爵要求高斯拿博士學位。高斯本來打算交給赫爾姆施泰特大學《Disqusitiones Arithmeticae》做為博士論文，但是印刷情況緩慢，高斯寫的分量又越來越多，印刷費可觀，超出預算。 因此，高斯打住出版第八章的念頭。在1977年4月高斯打算另交博士論文， 選題為「代數學的基本定理」。5月他完成它交給赫爾姆施泰特大學當局。這是高斯做的有關「代數學的基本定理」第一次證明。此後他又用另一些方式給了它三次證明。
這時候他開始展現大學時代天文學教授 Seyffer 給他培養出來的興趣：天文學。4月間他做出計算視差的公式來。他也研究算術幾何平均數（arithmetico-geometric mean）、雙紐線（lemniscate）與三角函數間的關係。
1799年7月16日高斯在赫爾姆施泰特大學無口試獲得博士學位。公爵替他支付一切所需費用。
1799年12月高斯住在 Pfaff 家繼續作他的研究。Pfaff家人一天之間只能見到高斯兩三個小時。Pfaff 為高斯的健康著想，會帶他出去走走，談談天。
當年12月23日高斯發現算術幾何平均數M (a, b)與第一階橢圓函數有如下的關係 :
12月16日高斯給好朋友 Bolyai 信告訴他近況，還要他切記除夕（到那一天信應該已經到達） 子夜那18世紀的最後一剎那。 對高斯來說，它將是一個特別神聖的時刻：在那一瞬時，塵世會從他眼前消失不見，他的人會升華成純凈的靈魂，體會出莫大的生之喜悅。
1800年高斯的時間就花在《Disquisitiones Arithmeticaes》的完成，印刷與橢圓函數上。他住在赫爾姆施泰特到1800年的復活節。他終於決定不在《Disquisitiones Arithmeticaes》加第八章以節省印刷費。即使這樣公爵還追加費用才付得清一切開支。
他又繼續作橢圓函數的研究，也發表計算復活節日期的公式。據說高斯的母親不記得高斯的生日，只曉得他在耶穌升天節前八天的星期三出生。高斯作出算式才推算出他的生日來。
1801年9月29日《Disquisitiones Arithmeticaes》終於出版了，費用全由公爵支付，書一下子被賣光，行家激賞。
在書的序文中高斯把這本書呈現給Brünswick公爵，文辭中充滿謝意。他寫：「倘若沒有公爵您的支持，我無法毫無牽掛地從事生就心儀的數學研究達數年之久。沒有您的雅量與支撐，我就無法除去遲緩出版這本書所遭遇到的所有障礙……」 公爵的名字因這篇序文而永存。
《Disquisitiones Arithmeticaes》以拉丁文寫成，而高斯為求文筆的流暢還請他的朋友，拉丁文專家 Meyerhoff 改正。這本書被稱為「有七個封印的書」，意即由七章所成的艱深、難讀的書，連專家都不容易看懂。書中那簡潔的綜合性證明所蘊涵的寶藏經由他的後進狄利克雷（P. G. Lejeune Dirichlet，1805-1859） 及後來的克萊因（Felix Klein，1849-1925）[4]等人的解，眾人才能得以分享。
這本書的前三章處理二項同餘式理論。第四章展開同餘式平方剩餘的理論。第五章討論二元二次形式，並發展成三元二次形式的理論。第六章討論第五章的特殊情形，第七章被視為書中的精華。高斯使用二項同餘式理論來解代數方程式 xn=1，n∈N。從而應用在n等分圓周及正n多邊形的作圖上。[7]
高斯晚年說：「《Disquisitiones Arithmeticaes》已經成為歷史性的著作了。」他的話是對的。
此後高斯投入天文學、物理學等的研究，一直到晚年才全神回到數學的研究上來。
五 投入天文學的研究
1800年代在天文學上是進展迅速的一個時期。觀測天文學在技術與儀器上都有長足進步。而天象圖是由有系統的觀測資料編纂而成的。在理論天文學方面，天王星在1781年被發現（海王星在1846年，冥王星遲至1930年才被發現）。這對計算星座的擾動（Perturbation）的準確性很有幫助。
1801年是高斯劃時代的一年。過後他回想起來，覺得有那麼多科學真理湧現在他腦海中，使他無法抵擋。
1801年元旦義大利天文學家 G. Piazzi（1746-1826）在巴勒莫發現一顆小彗星Ceres（穀神星），它不帶尾巴，也沒有外被（envelope）。一直到2月11日他才觀測到 Ceres 的軌道9°， 過後它就在太陽陰影下不見了。 依據「波得法則」（Bode's law）， 這個星應該存在，並在1801年底或1802年初再出現。於是歐洲的天文學家們忙著算出Ceres再出現的軌道。 而他們所能根據的是Piazzi 發表在德國的《天文月刊》9月號上的所有觀測數據。
高斯在當年的9月29日才出版《Disquisitiones Arithmeticaes》， 但是這個訊息立刻引起他的興趣。Piazzi雖然前後觀測了41天。可也只有三天的觀測數值。 在高斯的日記第119、第120項（1801年9月與10月） 里，高斯記下他開始算 Ceres 的軌道。高斯想，必定有一個橢圓軌道適合 Piazzi 給的數據。這問題便是：天空上有兩個星，地球與 Ceres 在各以太陽為一焦點的 C與C二橢圓上運行（開普勒第一定律）。而地球的軌道C已知，並有三條空間直線（觀測線） 發自C至C。 兩直線間的C弧已知，要求出C曲線。[8]
1801年11月高斯完全解決了這個問題，就跟眾多天文學家們一樣，他把結果發表在《天文月刊》上。德國 Seeberg 觀測台長兼《天文月刊》編輯 F. X. G. von Zach（1754-1832）根據高斯發表的軌道，在1801年12月31日至1802年1月1日看到 Ceres。1802年1月1日，不萊梅的 H. W. M. Olbers(1758-1840)也在高斯預測的軌道上看到 Ceres。由此天文學家們為 Ceres 的再現狂喜不已。同時高斯的名聲傳遍了全世界。大家認為他是第一流的理論天文學家。早先高斯在天文學界默默無名。他沒有天文學家該具備的儀器，甚至於連望遠鏡也沒有。但是這位數學天才單憑三次數據就正確地算出消失不見的彗星的軌道出來。
高斯在1802年1月18日寫信給 Olbers 問他觀測 Ceres 的結果。這是他們間友誼的開始。Olbers是一位成功的開業醫生兼傑出的業餘天文學家。他看病人到晚上十點，過後在家裡屋頂上的觀測站看天象。據說他每天的睡眠時間不超過四小時。當時德國的天文學家們很喜歡圍繞在 Olbers 的身邊。他是他們的原動力，而且從他的觀測站可能可以獲得一些新的觀測數據，如果他們憑那些數據有新發現，則可以名垂不朽呢。
1802年 Olbers 在 Ceres 近旁發現一新星叫 Pallas。1804年 Ludwig Harding發現一星叫 Juno。 這些星的軌道當然全權委託高斯來計算了。高斯一個小時可以算出一個彗星的軌道來，而歐拉用古老法則須花上整整三天時間。
1801年夏聖彼得保大學想聘請Ziemann。Brünswick 公爵為了留住他，升任他為樞密顧問官，並讓他辭卸 Catharine 高等學校的教職。這個缺本來高斯有望，但是後來由高斯先前的老師、博物學家 Hellwig 繼任。公爵可也要留任高斯，就把他的年金升為400 thaler，酬庸他寫出《Disquisitiones Arithmeticae》。高斯聽到這個消息後不禁叫出：「可是我都還沒有為這個國家做任何事啊！」他便自費買了一個六分儀， 提供 Brünswick 的人們使用。
高斯被全世界公認為名人的事實是，給他的贈與紛至沓來。1802年1月31日他被聘任為聖彼得堡科學院外國通訊會員。同年9月5日又有邀約請高斯當聖彼得堡天文台長。高斯在猶疑中。Olbers 聽到消息後為了要留住高斯在德國境內，他動用他的關係，想讓高斯當將建立的哥廷根天文台的台長。而公爵的反應是，又增加了高斯的年金。高斯覺得這樣很好，他沒有固定官職，但能正式為公爵工作。這樣的地位適合他的嗜好與需要。
1803年6月2日高斯給 Bolyai 信，信中說天文學與純粹數學是他心中的羅盤指針經常指向的兩極。
六
結婚
高斯的母親結婚前在鞣皮工場主 Ritter 家幫傭。高斯出生後 Ritter 家兩個男主人當他的教父。 因此高斯小時候常常去 Ritter 家玩。 聖誕節時那裡一定有一份 高斯的禮物。從哥廷根回來後，高斯有機會就往 Ritter 家走動。他享受那裡的 Brünswick 中產階級家庭中和諧的氣氛。在那裡，高斯與 Johanna Osthoff（1780.5.8-1809.10.11） 認識了。 她是另一名鞣皮工場主 Osthoff 家唯一的孩子。她長得柔美，性情明朗、可親又明事理，也受了一些教育。
1804年6月28日高斯給 Bolyai 信說，他認識了一位他渴望成為終身伴侶的美好女子近一年。她美麗的面容猶如聖母般，顯現出身心的平和。她個性活潑，快活而且謙和。尤其重要的是，她有天使般的愛心。1804年7月2日高斯給Johanna求婚信。信中他說他的將來姑且不談，目前他擁有的足夠兩個年輕人不操勞地快樂過日子，他所能夠提供給她的是他那一顆溫暖、充滿著愛的心。
對高斯的信Johanna拖了三個月沒有回答。高斯的名氣太大，態度高不可攀等使她著實猶疑了一陣子。高斯不解Johanna的沉默。不過當時的政局開始讓他分心，而且不安起來。那時候拿破崙已攻破德國南方諸邦，開始以他的方式分割德國境內一些小國。高斯雖然依附 Brünswick 公爵，拿年金過日子，但是將來的變數蠻多。
Johanna 終於答應了高斯的求婚，他們在1804年11月22日訂婚了。
訂婚後三天，高斯滿懷喜悅地給 Bolyai 寫信說，他三天前訂婚了。 如今人生在他眼前彷佛是永恆的春天般充滿著光彩。 他並勸 Bolyai 也做做實地天文學，它僅次於在這人世間他所能嘗到的甜美，又充滿喜悅的純數學真理的研究。
1805年10月9日，高斯與Johanna在 St. Catarina教堂結婚，住在 Ritter 家所擁有的房子 Steinweg 22號。高斯單身時也住在那兒。
在Olbers那裡高斯認識了貝瑟爾（ Friedrich Willhelm Bessel，1784-1864）。當時貝瑟爾年方20，在不萊梅一家商業機構做事。 由於他喜歡天文學，也就結識了Olbers。 後來貝瑟爾成為實驗與理論雙方面都是第一流的天文學家。高斯雖然跟 Olbers 有深交，但是往後對 Olbers下的冷峻評語是：「Olbers在天文學方面著實做了很大的貢獻。 但是他最大的貢獻在於適時發現了貝瑟爾在天文學上的才能， 而為科學栽培了他。」
Olbers介紹貝瑟爾給高斯為的是要貝瑟爾替高斯分析觀測數據。 他們初次見面較晚，但高斯給貝瑟爾深刻印象，高斯給貝瑟爾的《Disquisitiones Arithmeticae》這本書，貝瑟爾愛不舍手，磨損後又重新裝訂。貝瑟爾終其一生認高斯為師。而高斯也給貝瑟爾最好的評價。 兩人之間從此有42年（中間間斷過一陣） 的書信往來。 這些內容是研究高斯最有科學價值的數據。
1806年8月21日高斯喜獲一子。高斯為紀念 Ceres 發現者 Piazzi， 以 Piazzi 的名字Joseph命名長子。
高斯與家人在 Brünswick 平靜地過日子， 但當時政局越來越不妙了。拿破崙在鞏固他的地盤，而普魯士與奧地利沒有防衛法國的一致性看法，形勢看來很險惡。於是普魯士注意到同盟國的俄羅斯，便在1806年1月30日派Brünswick公爵為特使往聖彼得堡商討聯合攻防法國事宜，但沒有獲得結果。倒是聖彼得堡許多人士問公爵有關高斯的事，並請他放人，讓高斯接受他們的邀請。
當3月23日公爵一回國，為了要留住高斯便決定再升高斯的年金為 600 thaler， 高斯在他生日當天聽到這個消息。在5月高斯找一天拜訪公爵，表達謝意。這是他們最後一次的見面。前後十四年的交往中公爵給高斯很大的學術研究機會，接著的數月政治風波使公爵再也無暇顧及高斯了。
普魯士為了要阻擋法國勢力向中歐伸張，在1806年10月發動戰爭，而以年邁七十的 Brünswick公爵（他是 Fredrick 大帝在七年戰爭中的名將） 為統帥。 戰場由約拿（Jena）戰到奧爾施塔特（Auerstaedt）。在10月14日晨，公爵在發號指令時被敵方的毛瑟槍傷到。 彈丸由公爵的右眼上方射進，打碎鼻樑；從左眼窩挖出左眼來。受傷的公爵退出戰場。有一小隊代表團派往拿破崙軍營陳情：希望拿破崙以軍人的寬宏大量讓 Brünswick 公爵能在家人圍繞中咽氣。 但是他們受到情緒低落的拿破崙的嘲弄與侮辱。為了避免成為階下囚，瀕死的公爵只有逃亡一途。
那時候高斯住家在公爵邱邸的正對面。10月25日清晨高斯被憂鬱的馬車聲驚醒。從窗口他看到長形的雙頭馬車載著垂危的公爵像柩車般慢慢地駛往漢堡門。公爵終於在 Altona（漢堡附近的一都市） 地方的小旅捨去世。從此，高斯恨透了讓他的恩人遭受到如此下場的拿破崙與法國這個國家。
早先Brünswick公爵有意在 Brünswick 為高斯建造一座天文台，先慷慨解囊讓 高斯購買一座十英尺長的望遠鏡。它遲遲才安置好，反射鏡經過修正研磨後效果好極。但是要建立天文台，談何容易！
經過Olbers的周旋， 在1805年高斯將是建造中的哥廷根天文台台長已成定局了。 但是1806 年10月的戰爭使本來隸屬漢諾瓦王國的哥廷根變成為法國勢力下的威斯特伐利亞（Westphalia）王國， 國王是拿破崙小弟Jerôme（他統治不到10年）。
1807年7月25日高斯正式收到哥廷根大學的聘請。 結果 Collegium Carolium 當局因教授指使，來索求高斯使用的望遠鏡。高斯認為望遠鏡要歸赫爾姆施泰特大學的 Pfaff 教授保有才能發揮那一座望遠鏡的功能。但是他的意見沒有被採納，這使他怏怏不樂。他就在不快中離開Brünswick。太太 Johnnna 對 Brünswick 百般不舍，因為她的親朋全在那兒。
七 哥廷根
時代的開始
他們一家人在1807年11月21日到達哥廷根。住進舊天文台邊的一座老舊房舍。 那時候漢諾瓦舊政體已經瓦解，威斯特伐利亞新政府尚未組成，所以高斯避免了正式向政府作就任宣誓的尷尬場面。
高斯當哥廷根天文台長兼哥廷根大學教授都還沒有領到薪水，法國就已經向新政府發令徵收戰爭金，而高斯的份是2000法郎。這在當時是一大筆錢。有一天 Olbers 寄來 2000法郎給他。不久拉普拉斯來信，告訴高斯他已經在巴黎替高斯付清了這一筆錢。高斯退還了Olbers的錢，至於拉普拉斯，高斯後來加上利息還清了這筆錢。高斯還收到了一筆從美因河畔法蘭克福（Frankfurt am Main）寄來的1000 frolin（德國境的一種舊幣）匿名捐款，這回他收下了。 過後他獲悉那是法蘭克福大公為敬佩高斯的功績，從公款挪出的錢。
科學家兼探險家洪堡（Alexander von Humbolt，1769-1859） 在1804年從南美航海之旅回到巴黎時聽到法國科學界對高斯的一片讚賞聲， 使他對高斯印象深刻。 後來他在1807年與高斯認識，並多年致力於羅致高斯到柏林大學，但最終沒有成功。他與政治家哥哥威廉（Wilhelm von Humbolt，1767-1835） 比高斯更早在哥廷根大學學過。 三個人後來成為終生莫逆之交。
1808年2月29日高斯通知他的雙親當天 Johanna 生了一個女娃， 並以發現 Pallas 的 Olbers 的名字命名為 Wilhelmine。 大家稱她 Minma。高斯惋惜Minma要在四年中才有一個生日。 同年4月14日高斯的父親去世。
1808到1809年間，舒馬赫（H. C. Schumacher，1780-1850）來哥廷根跟高斯學天文學。 他記下他與高斯的對話成書，叫做《Gaussiana》。 這本書對後世研究他們兩人很有幫助。他們的交往持續到舒馬赫去世。 兩人的書簡集共六冊。
1809年9月10日高斯的次子 Louis 誕生。 他的名字是為紀念 Juno 的發現者A. L. Harding，而以 Harding 的名字命名的。Harding從1807年起成為高斯在哥廷根天文台的副手。
生 Minna 時 Johanna 夫人已經是難產，這回生完 Louis 三十一天，在10月11日她便去世了。高斯悲慟已極，寫信給Olbers ：「昨夜八點我蓋上了我的天使的雙眼，在那裡，五年來我尋覓到我的天國……」 的確他們的婚姻生活非常美滿。高斯給 Bolyai 的信中就有過描述：「我快樂地過著家居生活。當小女兒長出一顆牙齒或是小兒子學到一個新詞兒，這在家裡就像發現了一顆新星或是新的真理那般重要。」
Johanna的葬禮後高斯出發到不萊梅找 Olbers， 回程去 Altona 找舒馬赫， 又去 Brünswick 找故舊尋求慰藉。1927年高斯的孫子Carl在祖父的書堆中找出高斯哀悼亡妻淚痕斑斑的信，信有兩部分， 第二部分是在不萊梅寫的，日期是10月25日。第一部分他訴說，本來以為亡妻是他永遠的伴侶，沒想到她一下子就走了。 她一直只以他的快樂為念， 並原諒他的錯失。但望她的靈魂能永久伴隨他，給他力量，讓他不消沉，好好照料三個小孩子。第二部分的信中高斯寫他很寂寞。 圍繞他的人們讓他暫時忘卻痛若，但過後悲哀卻變成雙倍來襲擊他。她最後的叮嚀是教他不要被悲傷打垮。但望她的愛與善良能活生生地永留他的心中，能助他有勇氣奮鬥下去。
高斯口中「可愛的小 Louis」卻在1810年3月1日猝死，追隨媽媽，走了。
高斯的第二部巨著《在太陽周圍迴轉成圓錐曲線的天體之運動論》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus onicis Solem ambientium）在1809年成書，由當時最著名的出版商 F. C. Pertes 印刷。本來他用德文寫，後來聽從 Pertes 的意見，為普及起見寫成拉丁文。 內容是高斯依據開普勒的法則，作出圓錐曲線（橢圓與雙曲線；物線不適用） 運動之下的天體軌道計算方法的完全體系。並從觀測天體的三個點決定恆星或彗星軌道的一般方法。書的內容終於最小二乘法的解說。
這本書以形式上簡潔，文筆優雅、有完美性及獨創性著稱。當時常有新星出現，天文學家們不得不借它來計算星座的軌道， 因此出版後有四十年之久它成為天文學家們必須精通的教科書。所以學者們對《運動論》的評價很高，世界各地的學會也就爭聘高斯為他們的會員了。 法國科學院更在1810年贈送他 Lalande 獎 [為紀念法國數學家及天文學家 J. J. LeFranc ̧ais de Lalande（1732-1807） 所設立的獎] ， 高斯拒受。 後來科學院秘書與 Sophie Germain（1776-1831） 動用獎金的一部分買一座天文擺鐘送他，他這才接受，還終生擺設那一座鐘在他的房間裡。
Sophie Germain是法國女數學家，她生在巴黎富裕人家，自修數學。她為免受岐視， 以 Le Blanc 的男性化名寄出論文，受到拉格朗日（ Lagrange，1736-1813）賞識而出名。 她也以Le Blanc 為名在1804年底與高斯通信討論《Disquisitiones Arithmeticae》，給高斯深刻的印象。當1807年3月法軍入侵 Brünswick 時，她怕高斯受到傷害，請法國軍官去問候高斯。到此， 她才掀開她的女子身份。 她的主要貢獻在於整數論。 她也因彈性表面的數學理論獲得法國科學院的大獎（Grand Prix）。1837年哥廷根大學百年慶時高斯惋惜她已去世， 否則她的成就足夠哥廷根大學贈與她榮譽博士學位。
高斯並不重視最小二乘法（Least squares）， 他認為許多從事數值計算的人自然會使用到它。 他在1794年就知道它。1798年在機率計算中用上它，1802年天文學的運算中也用到它。但是勒讓德在1806年正式發表了最小二乘法的理論（名稱是勒讓德命名的）。勒讓德抗議高斯在1809年的《運動論》中提及最小二乘法，不過事實上高斯早在1795年（應該是1794年）就發明了它。 後來拉普拉斯當他們兩人的仲裁人， 裁定勒讓德在發表上有優先權，但兩人都分別發明了最小二乘法。勒讓德註定在其他他辛苦鑽研出來的成果上又跟高斯的發明重複， 如數論中平方剩餘的相互法則、超越函數以及幾何學的基礎理論等。
高斯的研究情緒也有低落的時候。 在1807到1810年間，他寫的有關橢圓函數的筆記中突然出現一句用細鉛筆寫的字：「過這樣的日子不如死掉的好。」
八
再婚
為了要獲得心靈上的寧靜以從事研究工作， 並讓孩子們能得到妥善的照顧，高斯很快就想到再婚。他選擇的對象是 Johanna 夫人在哥廷根的好朋友 Minna Waldeck（1788.4.15-1831.9.12）。她是高斯在哥廷根大學的同事，法學教授 Johann Peter Waldeck 的小女兒。 她當時剛剛解除與別人的婚約，正意氣消沉的時候。高斯先得 Minna 雙親的首肯後寫信給Minna。 他坦陳在太太去世不到半年就向她求婚一定不會給人好印象。的確，亡妻的影子一直無法從他心中消失，如今他也只能獻出半顆心來。不過向來亡妻很敬愛 Minna，深信 Minna 很樂意替代亡妻照料高斯和孩子們。但望 Minna 能為她自己熟慮後再做決定。Minna答應了婚事。他們在1810年8月10日結婚。高斯這麼快便再婚著實讓親朋好友大吃一驚。這回高斯邀請他母親從Brünswick過來同住。但是 Minna 是貴族出身，他的母親猶疑到1817年才答應下來。
Minna料理家庭，也很愛護前人留下來的兩個孩子。這使高斯對 Minna 滿懷感激與謝意。這一次的婚姻也算美滿。Minna並給高斯生了兩男一女：Eugene（1811年7月11日生，三男）， Wilmhelm（1813年10月23日生， 四男） 與 Therese（1816年6月9日生，次女）。
哥廷根天文台的建築一直拖延下來。 直到1810年威斯特伐利亞政府為天文台的建造工作做了五年計劃， 打算投入20萬法郎來完成它。
威斯特伐利亞政府並給高斯貴族封號 Ritter von Gauss， 來酬勞他學術上的貢獻。這一年柏林大學邀約高斯去教學，但他與 Minna 結婚已加深了與哥廷根大學的關係，並沒有答應這個邀請。
1811年8月，天空上突然出現一顆閃亮的大彗星。高斯在8月22日黃昏時分看到它。幾天後他開始觀測，這時 von Zach 八月初旬的觀測結果已經到手了。 由這些高斯算出這顆大彗星的物線軌道。 它再現時果然在高斯算出的軌道上， 並印證他的預言，亮度增強了。 而歐洲的人們則視這顆大彗星為一代霸主拿破崙開始落敗的預兆。
1812年1月30日高斯在哥廷根皇家科學學會上發表超幾何級數1+
的論文。這個級數因a，b，c 取特別的數而可成為二項級數、對數、三角函數等解析學上很重要的級數。高斯是首位對無限級數的收斂性做出研究的數學家。
1812年6月底拿破崙率領近45萬大軍攻打俄羅斯而取道德國。之前拉普拉斯向拿破崙進言請他對哥廷根大學特別關照。 因為那兒住著當代最頂尖的數學家高斯。
這回的戰爭拿破崙吃了癟。俄羅斯軍既不迎戰，也不講和卻一直退卻，並使用堅壁清野戰術。而俄羅斯冰冷的冬天也到了，法國軍又冷又餓，終於在10月19日開始撤退。但一路上俄羅斯軍與德國等同盟軍聯合起來追擊，法國軍落敗得很慘， 回到法國的殘兵只剩下9萬餘人。
由拿破崙撐腰的威斯特伐利亞王國隨著拿破崙的退位（1814年4月6日）在1814 年瓦解。哥廷根又歸屬於漢諾瓦王國。
此後十年是高斯成果豐碩的時期。 他出了二十數篇範圍廣泛的論文， 其中有理論及觀測天文學、曲面論、整數論及對數的問題等，還給代數基本定理另兩種證明。
1816年9月17日哥廷根新天文台完成了。高斯一家人搬進天文台邊西翼的宿舍。
九 從事地形測量的工作
早在1816年6月8日舒馬赫給高斯一信，說丹麥王出資讓他測量丹麥境內（當年的丹麥國土包括一部分現今德國領土）的經緯線。他問高斯有沒有興趣。高斯在7月5日的信中回答， 如果是在漢諾瓦境他很樂意參加測量工作，也願意協助三角座（主要的三個地點） 的計算問題。於是舒馬赫運用他的關係，終於在1818年9月由諾威首相正式委任高斯做 Luneburg 地方（過後又擴大範圍）的測量工作。（漢諾瓦地區靠近荷蘭邊緣的在拿破崙時代已測量過）
測量工作如要測得相隔較遠的A、B 兩處， 則從 A 點取一近點 C。 由 A、C 觀望同一高處測量點 D。 量出
， ∠DAC 與∠ACD。 則
、
與 ∠ADC 可得。 再以 D、C觀測 B 點。
長則由
、長及∠ADB 而可求得。 如果 B 點離 A 點很遠， 則得借用有限多個三角形來測出長。 這種作業叫做測量的三角化。
高斯不但是名義上的測量隊（也有軍隊參與）主持人，他還實地參加測量工作。這是費時又費精力的工作。高斯起先沒有想到一投入這個工作竟持續了十年之久。 這期間夏天他幾乎是在外地過的。他怕熱，天氣燠熱的時候他很難受。1822年他那當炮兵預備軍官的長子 Joseph 也參與測量工作，而且做得很好。
1826年後，高斯雖然不參加實地測量工作。但是測量數據的整理耗費好多時間：得到野外的測量數據後高斯獨自投入與測量有關的計算到1848年。這才作成漢諾瓦王國全域三角化測量3000個據點的坐標。這些成為描繪漢諾瓦王國地圖的基本資料。
1823年貝瑟爾看不慣高斯為測量工作用掉他的精力和時間，寫信給他 ：「這些工作次等的數學家就可以完成，用不著您去做。」高斯回他的信說，的確集世界上所有測量成果也不值一個學問前進的定律。但是有時候我們得以相對性來判斷價值。他也不能夠從這實際上有用的工程抽身。 一則他可以做得比別人好， 二則他不做，這個測量工作便流產了。 還有一件事請貝瑟爾保密：自從1810年威斯特伐利亞Jêrome 王給他訂薪後他的薪水一直沒有調整過。為了維持他那一大家子的生活， 他樂意得到這一份工作所帶給他的報酬。
1824年10月底回到家高斯才發現整個夏天家裡亂七八糟。三個孩子得了麻疹，後來又傳給已經病了兩年的 Minna 夫人，使得她一時徘徊在生死之間。
亞歷山大·馮·洪堡在當時德國的精密科學發展上扮演了很重要的角色。他在普魯士宮廷上很有影響力，又很識才。他想把魯普士所屬柏林大學（1810年設立）變成像巴黎的工技學院（Ecole Polytechnique）那般出色的學校。 因此他一而再再而三地慫恿高斯去那兒當校長，不用教書，只管研究機構就得。漢諾瓦政府聽到這個消息後趕緊通知在倫敦的英王。不久國王批示高斯的年薪調升為2400 thaler。這也跟政府賞識他的測量業績有關。高斯於是打消了去柏林大學的意願。
1821年在野外工作中高斯發明了回光儀（helitope）。它是配有一個能旋轉的鏡子的光學儀器，鏡子可使光線朝向一個固定方向反射，而不受遠方的玻璃或光亮物等反射的干擾。在三角化工作時回光儀可以當發光的目標物，也可以做為光的通訊。因為從四、五英里外看它有一二級星的亮度。
在三角化地面的實際工作中對曲面有了了解，高斯於是在1827年發表了有關曲面的論文。他把曲面以參數式表示，並討論曲面本身具有的性質（intrinsic property），如高斯曲率K在保長變換下不變等性質。
後來高斯的學生黎曼（ Berhard Riemann，1826-1866）把高斯的曲面理論發揚光大， 成為黎曼幾何學。愛因斯坦就使用黎曼幾何學才發明了一般相對論。
注釋
[注1] 當時的德國尚未統一，德國境內由三十九個有主權的小王國、小公國等所組成。
[注2]《Disquisitiones Arithmeticae》這一本書的七章內容從來沒有被超越過，沒有被補充過，也沒有被發現有任何的錯誤。高斯去世後《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章 （處理高次同餘式）被找出來。 它是高斯早年因考慮出版經費太龐大而被割愛的。 在收錄 《高斯全集》時它被放在第一冊中， 成為《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章，等於成全了高斯早年的意願。
[注3] 英國在1688-1689年的光榮革命時英王 James II 及他信奉天主教的兒子被逐出國外。1701年英國國會決議王位繼承人須為新教徒。英倫三島（英格蘭、蘇格蘭及愛爾蘭）統一於1707年。當時的國王是 Anne 女王 （James II 次女，信奉新教。在位1702-1714）。她的獨子在10歲時夭折。她逝世後由 James I 外曾孫，新教徒 Hanover 選侯 George I（在位1714-1727）繼承英國王位。他是一位只會講德語的英王，為英國 Hanover 王朝之始。他的王位由長子 George II（在位 1727-2760） 繼任。再來是 George II 的長孫 George III（在位1760- 1820）繼位。George III 有眾多兒女。他的王位由長子 George IV（在位1820-1830）繼承。他的獨女早逝，王位便由 George III 三 子 William IV（在位1830-1837） 繼位。這些英國 Hanover 王朝諸王兼而是 Hanover 選侯或王 （Hanover 在1814年才成為王國）。William IV 的獨女早逝，英國王位便落在 George III 的第四子 Edward 的女兒 Vcctoria（在位 1837-1901） 身上。但是 Hanover 王國不承認女繼承人，故由 George III 第五子繼位，為George V。從此英王不再兼 Hanover 王了。又，Victoria 為英國 Hanover 王朝最後一人。
[注4] 英譯為「George V，The Kingof Hanover，to the Prince of Mathematicians」。按「Prince」有小邦國之「王」的意思，當時的德國聯邦由三十九個邦國所組成。
[注5] 德語國家人名中有「von」與法國人名中有「de」一般來說都是貴族姓氏。 這些字皆有「from」或「of」的意思 ，接著的姓往往是這個人的屬地名稱。
參考資料
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