作者 | 徐利治來源 | 數學教育學報,2002(03):1-5.
摘要：
西南聯大是一所名師雲集的高等學府, 為我國培育出了許多英才, 被海內外人士喻為「藏龍臥虎」之地.西南聯大數學系的「數學三傑」——華羅庚、許寶祿、陳省身3位教授, 以及後起之秀鍾開萊先生均在海內外享有盛譽.華羅庚先生講課的主要特點是, 他總是盡力把題材化繁為簡, 化難為易;強調搞學問必須有「看家工夫」;強調「讀書要從薄到厚, 再從厚到薄」.陳省身先生強調「數學為的是簡單性」.許寶祿和鍾開萊先生在教學中特彆強調要「直觀地理解數學」, 主張要把數學定理及其證明的「原始思想」告知學生.所獲得的教益:認識到追求簡單規律的重要性, 並以此作為研究數學的目標和興趣出發點;學會使用直觀、聯想去理解數學並籍此去發現問題, 提出可以研究的題材;學會了重視「特例分析」、數學概括和抽象方法;向華羅庚、許寶祿先生學到了「不怕計算」和「樂於計算」的習慣並樂於從計算中發現規律和提煉一般性公式.
關鍵詞：西南聯大; 治學經驗; 治學方法; 見解; 啟示.
(一)
西南聯大是由北大、清華、南開3所大學, 在抗日戰爭年代遷移到昆明時, 聯合而成的大學.那是一所名師雲集的高等學府, 曾在艱難的8年歲月里 (1938—1946) , 培育出了許多英才, 他們在各個學術領域裡分別做出了重要貢獻, 其中居於世界級的人物也為數不少.因此西南聯大曾被海內外人士喻為「藏龍臥虎」之地.
我有幸於1941—1945年間進入西南聯大數學系學習.當年即聞知校中有「數學三傑」——華羅庚、許寶祿、陳省身3位教授.他們分別從英國、法國留學歸國後, 鍥而不捨地從事數學工作, 雖然都很年輕, 但成就已很出名, 而且也都在昆明熬過了清苦艱難的歲月.
數學三傑的數學貢獻是屬於世界級的, 所以後來德國著名的斯普林格 (Springer) 出版社曾相繼出版了陳氏 (1911—) 、華氏 (1910—1985) 、許氏 (1910—1970) 的數學文集.當年教師中還有一位後起之秀, 鍾開萊講師 (1917—) , 後來成為國際著名的機率論專家, 對馬爾柯夫鏈、隨機過程論做出了傑出貢獻.現在是美國史丹福大學的終身名譽教授.
在大學時代, 我曾學習了華先生、許先生和鍾開萊先生開設的4門課程.後來又和這3位老師有多年的接觸聯繫.所以這篇回憶錄似的文章, 主要是介紹華、許、鍾3位有關治學的「經驗之談」和某些學術觀點及科研與教學風格.還要談到他們對我的影響.
中國數學會與北京師大合辦的《數學通報》專設「寄語數學青年」一欄, 曾邀我寫過一篇「談談我的一些數學治學經驗」的文章, 載該刊2000年5月號.在這篇文章中, 我曾寫道:「積半個世紀的數學教學與科研工作經歷, 我的個人經驗可概括為5句話:一是培養興趣, 二是追求簡易, 三是重視直觀, 四是學會抽象, 五是不怕計算.」後來2001年我在中山大學、浙江大學給研究生們講演時, 還補充了一句話:「六是喜愛文學.」
事實上我的上述一些經驗, 正好是反映和證實了西南聯大名師們對我的啟示和教益所起的作用.
(二)
華羅庚先生豐碩的學術成就和貢獻, 已在不少人的著作和紀念性文章中介紹過.尤其是王元著《華羅庚》一書, 對華先生在諸多數學分支中的卓越成果, 已有極為詳盡的論述.
這裡我只想就宏觀的角度來談一些華先生的主要治學經驗和他的各種有關觀點以及教學與科研風格.
我學過華先生講授的「數論課程」和「近世代數課程」.他的講課姿態很靈活, 雖然腿腳不靈 (因為他是跛子) , 卻喜歡在黑板前邊走來走去.他在黑板上寫字不多, 而很注重講問題的來龍去脈和論證思路, 有時也穿插講點小故事.他愛講的一句話是「卑人之無甚高論」 (意思是, 他所論證的數學真理其實質是平庸無奇的) , 所以聽他講課我感到是一種愉快的享受.
華先生並不看重考試, 他教我們2門課程時一次考試也沒有.當然, 學生們對他這樣的老師是由衷歡迎的.但他要求我們做一批他所指定的習題, 最後根據做題的表現狀況打分數定成績.這樣, 無疑是體現了對大學生的學習主動性與自覺性的尊重和鼓勵.我想, 正因為華先生本人是自學成才的, 所以他看重人們的主動自覺性也就是自然的了.
華先生講課的主要特點是, 他總是盡力把題材化繁為簡, 化難為易.有時還對一些數學定理及其證明的妙處, 讚嘆幾句.我擔任他的助教 (助手) 期間, 他曾對我說過:「高水平的教師總能把複雜的東西講簡單, 把難的東西講容易.反之, 如果把簡單的東西講複雜了, 把容易的東西講難了, 那就是低水平的表現.」這些話曾成為我從事數學教學工作的座右銘, 因而居然能使我過去數十年間也一直享有「善於講課」的美名.
華先生具有爽朗直率、堅持求真的性格.記得有一次他講近世代數課時, 他對大家說, 他在這次步行來校的路上, 才真正想通了「舒爾引理」 (Schur's Lemma) 的妙處.一位著名的數學教授, 竟能在學生們面前無保留地表白對一個著名定理的理解過程, 真使大家更加敬重他的坦誠性格和求實精神.
(三)
凡是自學成才者, 常常有獨到的經驗和體會.華羅庚先生就是這方面的一個典型範例.
他的治學經驗之一, 就是他所強調的搞學問必須有「看家工夫」.據他所說, 他有紮實的看家工夫主要是因為學習了3部有名的經典著作:一是克里斯托爾 (Chrystal) 的《大代數》;二是蘭道 (Landau) 的《數論教程》;三是特恩波爾·愛德肯 (Turnbull Aitken) 的《標準矩陣論》.從這些經典著作中他學到了計算技巧、分析功底和創建「矩陣幾何」的基本工具.
20世紀50年代前曾任清華大學數學系主任的段學復教授對我說過, 據他所知華先生在青年時代精讀蘭道的數論巨著共作了6大本筆記, 可見其功夫之深.《標準矩陣論》這本老書, 曾由華先生傳給了早年助教閔嗣鶴先生, 後來又由閔先生傳給了我.至今保存在我家已有50餘年了.從這本昏色發黃的老書中, 還可以看到當年身為名教授的華羅庚曾作過書中習題的痕跡.
「直接攻讀名家原著才能最有效地學到看家本事」, 這也是19世紀初葉歐洲傑出數學家阿貝爾 (Abel) 曾表述過的經驗和見解.顯然華先生成功的經歷與阿貝爾的成才經驗及見解是完全一致的.事實上, 正因為名家的原著往往包含有一系列創作原始思想, 並表述原始創作過程, 所以名著最能啟發和誘導青年學子走向成才創新之路.
華先生的治學經驗之二, 就是他所常說的「讀書要從薄到厚, 再從厚到薄」.所謂從薄到厚, 是指讀數學書一定要做題, 要在筆記中補充書中的不足之處, 要補足定理論證的缺陷等等.這樣就好像是「把薄書讀成厚書了」.他還強調要把書中的內容要點和論證關鍵提煉出來, 使之成為直觀上一目了然的東西.這樣就會覺得書的題材內容之精髓部分只是很少一點兒, 而需要存入頭腦記憶庫的也就是這一點兒, 於是也就把厚書讀成薄書了.
「做科學研究就怕出錯」, 但是華先生卻認為從事探索性創作研究過程, 出差錯並不可怕.他說:「只有廟宇里的菩薩一事不做才永不出差錯.」這和法國已故分析學大師阿達瑪 (Hadamard) 的觀點見解是不謀而合的, 真是英雄所見略同.阿達瑪在其所著《數學領域中的發明心理學》一書中寫到:「在數學中我們不怕出錯誤.實際上錯誤是經常發生的.」「就他自己而言, 所發生的錯誤往往比他的學生出現的錯誤還多.但由於他總是不斷地加以改正, 故在最後的結果中, 就不會再留有這些錯誤的痕跡.」
事實上, 數學創造性研究往往要經歷「猜測—不斷試證—不斷糾錯—確證真理」等步驟, 所以傑出的數學家們都有雷同的經驗和見解也就不足為奇了.
(四)
在我擔任華羅庚先生助手期間, 還未能體會到他們的科研工作的方法特點, 後來我自己也成為教授了, 科研工作也有些經驗了, 通過回憶反思, 才理解到當年華先生的工作方法實際是和大數學家歐拉 (Euler) 、高斯 (Gauss) 、龐卡萊 (Poincaré) 十分相似的.他們都一致重視計算、觀察、歸納和分析.事實上, 華先生曾不止一次地向我談到過高斯和龐卡萊如何看重歸納法在發現真理中的作用.他曾說過:「只有對具體特例分析清楚了, 才能真正理解普遍定理的來源和實質.數學上許多抽象形式的普遍命題往往是通過諸特例的共性分析再由概括論證建立起來的.」
歸納法發現真理, 演繹法 (論證) 確立真理.可以說華先生當年的許多科研成果也必定是通過這種方法途逕取得的.
華先生還很強調「聯想」在數學創造性研究過程中的作用.這裡講一個真實故事.1946年春雲南省發生「昆明事變」之後不久, 我去昆明郊外華家探望時, 華先生見到我就對我說, 昆明城區響了幾天槍炮聲, 他只好閉院不出門, 天天在院子裡躺在帆布床上仰視天空, 觀賞一片片白雲變幻, 忽使他聯想到一個美妙的數學新思想, 真是一大收穫云云.當時他正研究矩陣幾何中的矩陣變換問題, 但他並未談論細節.我知道那個時期是他科研的高產時期, 每年都有不少佳作寄往美國發表.他的好友徐賢修先生曾從美國來信告訴他, 已見華在美國一年裡發表多篇論文的總頁數多達一百數十頁.
上述故事容易使人聯想到宋代文豪歐陽修.歐陽修曾說過, 他的佳作都是「三上文章」, 那就是在「馬上」、「廁上」和「枕上」產生靈感後創作出來的文章.如此說來, 華先生的某些佳作也可稱之為「枕上文章」了.
(五)
我在西南聯大的最後2年, 陳省身先生已去了美國, 所以無緣聽到他的講課.後來抗日戰爭勝利了我到清華大學任助教, 有機會旁聽了陳先生開設的「拓撲學」課程.課後他常和我們幾個青年教師們閒談, 有一次他引用了歐洲某位大數學家的名言, 說「Mathematics is for simplicity」 (「數學為的是簡單性」) .當時我對「簡單性」一詞還不甚理解, 很想真正弄明白它的真實涵義.很幸運, 那時我已教過2遍「初等微積分」, 使我已經開始領悟到「微積分基本定理——牛頓、萊布尼茲公式」之原理的簡單性、表述的簡明性和應用上的可換操作性, 我想這些不正是顯示了數學模式的「簡易性 (或簡單性) 」特徵嗎?
後來我又讀了「微積分發明史」, 就更進一步懂得了「簡易性」正是數學發展過程中所追求的主要目標.另一方面, 數學作為科學語言和解析工具還使得其它各門科學變得簡單化.這樣就從內外2方面想通了上述名言的涵義.
事實上, 數學簡單性意味著「規律性、協調性和形式上的統一性」.這些都是符合人的「美感」要求的.美學專家們甚至指出「簡單性乃是美的標誌」.阿達瑪發展了龐卡萊的「數學發明心理學」, 已闡明了美的意識與人腦創造性思維活動的深刻聯繫.由此看來, 追求簡單性的意願還有利於激發創造發明的心智能力.
如果說, 以往50年間我能對數學科研與教學工作做了一些貢獻的話, 那麼就必須歸功於「數學為的是簡單性」這句名言對我的深刻啟示力量.
(六)
西南聯大時代數學系讓許寶祿先生給我們開設了「微分幾何」課程.第一次上課許先生就對我們說, 微分幾何不過是微積分的一種應用而已, 而主要工具是泰勒級數展開, 再用一點兒初級代數計算.這些話多少曾對我產生了「負面影響」.其實, 這正是反映了許先生所主張的「良工示人以朴」的教學觀點, 也和華羅庚先生常愛說「卑之人無甚高論」的觀點一致.
許先生和鍾開萊先生一樣, 在教學中特彆強調「直觀地理解數學」的重要性.他們都主張要把數學定理及其證明的「原始思想」告知學生.雖然不見得每堂課都能做到這一點, 但他們總是殷切地期望學生們能從直觀上領悟數學命題的來龍去脈.其實, 這樣做也有助於培養人的創造發明才能.
對待教學與科研, 許先生很有獨到之見.他有一些名言在學生中流傳很廣.他曾說:「教出狀元來的老師是值得尊敬的, 至於做狀元的學生那就沒有什麼了.」關於發表論文成果的事, 他說:「我不希望自己的文章因登在有名的雜誌上而出名, 倒是希望雜誌因為登了我的文章而使雜誌出名.」他還說:「一篇論文不能因為獲得發表就有了價值.其真正價值要看發表後被引用的狀況來評價.」數學史上曾記述了19世紀挪威天才數學家阿貝爾, 因為在德國克列爾數學雜誌上發表了多篇論文而使該雜誌名聲大振.一百七十餘年來這份雜誌始終享有世界聲譽.
現今世界上尤其是科技發展水平不太高的一些國家的學者, 往往很重視在所謂屬於「SCI」類刊物被索引的文章.我國有些高等院校甚至對教師們在這類雜誌上發表論文給予高額金錢獎勵.他們不知道收錄進「SCI」的雜誌並非全按純學術水準來收定的, 而且每一種雜誌上刊登的論文的質量也有「優、良、中、可」等區別.怎麼能不加區別地就一律給予金錢獎勵呢?至於科研論文成果的客觀現實價值未經檢驗就給以立即獎勵, 這豈不帶有很大的盲目性嗎?我在中年時代就在國外知名刊物發表了不少論文, 但數十年來還一直能被國際間學者多次引用的, 實在為數寥寥, 不過數篇而已.誠所謂「文章千古事, 得失寸心知.」由此反思, 還是覺得許先生的至理名言是有深遠指導意義的.現今有些院校的領導出於好心很想用「金錢獎勵法」激勵青年學子多出論文, 重獎被「SCI」等檢索性刊物收錄了論文的作者, 這樣做是否真正有利於出高素質人才和成果, 恐怕是值得商榷的!
(七)
有一次許寶祿先生和我談到了英國的分析學大師哈代 (Hardy) 和德國大數學家希爾伯特 (Hilbert) .他認為一個大學數學專業生, 如果不知道哈代的貢獻那是並無損失的, 但是如果不知道希爾伯特的重要貢獻那就說不過去了.事實上正如大家所知, 物理學領域的「量子力學」的理論基礎的建立, 必須應用希爾伯特空間運算元理論.在變分法和積分方程理論中也有希爾伯特的重要貢獻.
上述許先生的談話曾促使了20世紀50年代吉林大學的數學課程建設.當年吉林大學數學系系主任為王湘浩教授, 我是副主任.江澤堅教授是分析數學教研室主任.當我把許先生的觀點告知王、江2位後, 我們3人便一致同意要為數學系高年級學生講授「希氏空間理論」課.就這樣, 我們通過教學相長的途徑也使自己學會了在大學時代尚未學過的東西.鍾開萊先生在西南聯大時代開設了「機率論」課程.我抱有濃厚的興趣學了這門課, 獲益頗豐.
1944年前後, 華羅庚先生曾應邀出差去重慶市解決了一個關於日軍軍用密碼的破譯問題.華先生以其卓越的慧眼很快識破日本軍部所用密碼的轉換工具, 就是數論中的麥比烏斯 (Möbius) 反演公式.這一令人驚喜的信息, 曾鼓舞了我跟鍾開萊先生合作寫成一篇應用麥比烏斯反演公式求解一類組合機率計算問題的短文, 發表於1945年美國數理統計年刊.後來我自己以及與海內外合作者又曾發表了數篇有關廣義麥比烏斯反演的文章.飲水思源, 要感謝數十年前華、鍾2位先生的知識傳授與啟示.
數十年過去了, 至今回憶起來還清晰地能記得當年得益於諸名師的指點與啟示的例子是不勝枚舉的.這裡我樂於簡要地概述我所獲得的教益 (或啟示) :
(1) 認識到追求簡單規律的重要性, 並以此作為研究數學的目標和興趣出發點.
(2) 學會使用直觀、聯想去理解數學並籍此去發現問題, 提出可以研究的題材.
(3) 學會了重視「特例分析」、數學概括和抽象方法.由此還啟發我最先提出了「數學抽象度分析法」, 成為現今數學方法學的研究課題之一.
(4) 向華、許二師學到了「不怕計算」和「樂於計算」的習慣.十分樂於從計算中去發現規律和提煉一般性公式.和華先生相似, 我也十分重視顯式構造, 這正好適應於我後來長期從事「函數逼近論」、「計算方法」與「組合分析」研究的客觀要求.
(5) 我對科學方法論和科學哲學以及文學的興趣及愛好, 也是受到了華、許、鍾3位先生的談話啟示和影響.這方面的詳情細節我就略而不談了.
現今, 教育工作者都提倡青年學子們要向名師學習, 這是很好的.我認為最需要向名師學習的方面是, 他們的治學經驗、治學方法和見解以及作為名師的求真精神與學者風範.