令人迷惑的古埃及分數

* 本文節選自《不知道的世界（數學篇）》，作者李毓佩，中國少年兒童出版社，2009年。

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這些古怪的符號嗎？這可不是小孩子畫的兒童畫，而是4000多年前古埃及人寫的分數。經數學家考證，這裡面有不少學問，也存在著不少疑團需要人們去揭示。事情是這樣的：

1858年的一天，蘇格蘭考古學家蘭特（又譯蘭德，小編注）在埃及的盧克索爾古玩市場上閒逛時，一本用紙草做成的書吸引了他。「紙草」是尼羅河三角洲出產的一種水生植物，形狀像蘆葦，曬乾剖開壓平後，可以當「紙」寫字。古埃及的文獻主要寫在這樣的紙草上。蘭特買下了這本紙草書。書是長條形的，上面寫著密密麻麻的象形會意文字。經研究，此書是4000多年前古埃及的數學文獻，作者是阿墨斯，書上有85道實用數學題和解答方法。後來人們把這本紙草書叫做「蘭特紙草書」或「阿墨斯紙草書」。此書現在保存在英國倫敦博物館裡。

人們在「蘭特紙草書」上發現了獨特的古埃及分數。符號表示 ，表示，其餘分子為1的分數都用上面畫個，下面畫幾個小豎來表示，比如表示，表示。

分子為1的分數叫做單分子分數，由於在「蘭特紙草書」上發現了這種分數，所以也叫「古埃及分數」。如果分子不是1怎麼辦？古埃及人也能巧妙地用古埃及分數來表示。在「蘭特紙草書」的第一頁就列著一張表，上面列著怎樣把分子是2的分數用古埃及分數來表示的方法，比如：

等等，一直到

。

古埃及人為什麼如此「偏愛」單分子分數呢？這個問題至今仍是一個未解之謎。有人從實用上來解釋這個問題：比如

用單分子分數表示就是

，可以比作7個麵包8個人來分平均分配，不但每個人分得數量一樣多，連所分得的塊數也一樣多。可以這樣來分：先把其中的4個麵包每個切成2份，再把2個麵包每個切成4份，最後一個麵包切成8份，每人拿大、中、小各11份就可以了。

但是這種解釋有些牽強。古埃及人不會因為分麵包分得均勻，而創造出這麼複雜的古埃及分數的。況且，單是把分子不是1的分數，用單分子分數來表示也不是一件容易的事。

那麼古埃及人有沒有一套系統地展開古埃及分數的方法呢？現代數學家認為可能沒有。因為在他們的有些展開式中，古埃及分數的個數不是最少的。數學家發現，同一個分數用古埃及分數來表示，表達的方式並不是唯一的。比如，

，因為

，所以

；又因為

，所以

。沿用這種方法，展式的英數可以無限增加。

數學上把項數最少的展式叫最優展式。「蘭特紙草書」上展式有許多不是最優的，說明古埃及人對用古埃及分數來表示分數還沒有形成一整套的方法。

在研究古埃及分數的基礎上，近代數學家又提出了一個問題：能不能把一個真分數表示成項數最少的、不重複的古埃及分數呢？他們首先想到把最簡單的1表示成古埃及分數。

直到1976年，數學家才發現把1表示成分母都是奇數、而項數又最少的古埃及分數的辦法，一共有5種，第一種表示法都有9項：

這5種表示方式中前6項都相同。

古埃及人在4000多年前就發明並使用了單分子分數，可以肯定地說是他們需要這種分數。在4000多年前還談不上數學研究，數學都是應實際需要而產生，在實際應用中得到發展的。古埃及人為什麼要創造出這麼複雜的單分子分數呢？他們的目的究竟何在？

在「蘭特紙草書」的第一頁就列舉了把分子是2的分數化成單分子分數的表，他們當時究竟是怎樣展開的，用的是什麼方法？

如果這些問題能夠弄清楚，對了解古代人類如何對待分數、使用分數，都是十分重要的。但是這些問題至今還是一個懸案。

《不知道的世界（數學篇）》

李毓佩 著

中國少年兒童出版社

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