一個無法表達神的思想的方程，對我而言毫無意義。
——斯里尼瓦瑟·拉馬努金
作者 | [英]馬庫斯·杜·索伊托
來源 | 本文節選自圖靈《悠揚的素數：二百年數學絕唱黎曼假設》, 人民郵電出版社/圖靈新知，2019年9月。感謝[遇見數學]編輯排版。
到了 1914 年，拉馬努金已經身在劍橋大學了。從此之後，便開始了數學史上最偉大的合作之一。每次提到和拉馬努金合作的那段歲月， 哈代總是難以抑制內心的興奮。他們縱情交談著各自的數學思想，都深深折服於彼此的數學觀點，也都為找到一個熱愛數字的志趣相投之人而欣喜不已。到了晚年，哈代回憶過往時，總是將與拉馬努金合作的那段歲月看作自己生命中最快樂的時光，並將他們的結合形象地描述為生命中最浪漫的事兒。
拉馬努金和哈代的合作模式就像一個典型的審訊小組：一個唱紅臉，一個唱白臉。唱紅臉的那個天性樂觀，總是充滿奇思妙想；而唱白臉的那個則消極悲觀，總是懷疑一切，不斷尋找真相。在審問他們共同的「數學嫌犯」時，拉馬努金需要哈代批判性的眼光來審視他那些天馬行空的想法。
然而，求同存異並非易事，文化衝突也在所難免。哈代和利特爾伍德堅持嚴格的西方式證明方式，而拉馬努金腦海中不時迸現出的新理論，其靈感則源於「娜瑪卡爾女神的啟示」。這位新同事為何會突然冒出這些想法呢？哈代和利特爾伍德常常苦於找不到答案。哈代評論道：「幾乎每天，他都會向我展示一些新理論。要是總想著弄明白他是如何發現諸如此類的理論的，可真傷腦筋啊！」
拉馬努金要面對的不止是文化衝擊。在一個陌生的世界，他需要獨自面對一些陌生的面孔，這令他有些孤獨。他找不到什麼素食可吃，於是給家裡寫信要酸角果和椰子油。如果這裡沒有他鐘愛的數學，那麼他是不可能適應這裡的一切的。內維爾這個他在印度時就信任有加的同事，這樣描述他在劍橋大學的那些日子：「在一個陌生的國度生活，使他備受煎熬，內心痛苦不堪。每天要面對一堆叫不上名字的蔬菜，他有些食之無味。鞋子也磨腳，畢竟他已經光腳生活 26 年了。但他天性樂觀， 進入數學世界能讓他忘卻一切煩惱，開始一個人的狂歡。」他失望地扔 掉那雙英國鞋，每天穿著拖鞋漫步在校園裡。但是，一旦走進哈代的房間，打開筆記本，他就一頭扎進那些公式和方程中。哈代的目光也逐漸被拉馬努金那些散發著迷人光芒的定理吸引住了。在印度，拉馬努金找不到一個可以與之進行數學對話的人。來到劍橋大學後，他又遭遇了文化衝突。但是這都不重要，因為他終於找到了可以和他一起探索數學世界的那個人。
哈代發現，很難讓拉馬努金做到兼顧直覺和證明。他擔心，如果自己過於強調讓拉馬努金證明他的結論，可能會打擊他的自信心，或者使他的靈感之源枯竭。他給利特爾伍德布置了一個任務，就是讓拉馬努金熟悉現代的嚴謹數學。但利特爾伍德發現，這是一個不可能完成的任務。無論利特爾伍德費了多少唇舌，向拉馬努金介紹所謂嚴謹數學為何物，拉馬努金都會插入一些新觀點，使利特爾伍德偏離原有的軌道，不能按計劃進行下去。
儘管提出精確的素數統計公式使拉馬努金開啟了英國之旅，最終使他留名於世的卻是他在相關領域做出的貢獻。從哈代和利特爾伍德那裡，他聽到了「素數天生帶有惡意」這類悲觀的論調。因此，在素數的探索上，他放慢了腳步。人們只能猜測，拉馬努金一定是發現了什麼， 才使他不像西方人那樣對素數充滿恐懼。他繼續和哈代一起探索素數的相關性質。他和哈代提出的觀點，將有助於推動哥德巴赫猜想研究取得突破性進展。哥德巴赫猜想就是每個偶數都能寫成兩個素數之和。他們歷經一番曲折，才首次取得這一進展。但這源於拉馬努金秉承的天真想法：必定有精確的公式來描述諸如素數個數這樣重要的數列。在他宣布素數公式的信件中，他寫道，他相信自己知道如何生成另一個先前未被研究的數列，即劃分數（partition number）。
如果要把 塊石頭分成幾組，共有幾種可能的方法呢？組數範圍是
~。這稱作數字 的劃分。如下圖所示，共有
種可能的劃分方法。
給 塊石頭分組的 種方法
~
的所有數字的劃分數如下表所示：
這是 2.1 節出現過的一種數列。它們在現實世界中出現的機率，幾乎和斐波那契數列一樣頻繁。例如，通過降低給定量子系統的能級密度，來理解劃分數的變化。
這些數字看起來並不像素數那樣是隨機分布的。但是哈代時期的數學家們都不約而同地放棄了尋找能生成列表中的這些數字的精確公式。
他們認為可能有這樣一個公式，它能生成一個近似值，與
的實際劃分數偏差不大。這和利用高斯的公式得出 以內素數個數的近似值如出一轍。但是，拉馬努金從不畏懼這類序列。他就是要站出來找到這樣一個公式，利用該公式就能輕鬆得出，給
塊石頭分組有 種方法，或者給
塊石頭分數有
種方法。
儘管在素數問題上馬失前蹄，但拉馬努金成功地解決了劃分數問題。哈代對複雜問題有著強大的證明能力，而拉馬努金則具有天馬行空的想像力，堅信必然存在這樣一個公式。二者珠聯璧合、相得益彰，這促使他們發現了這個公式。拉馬努金為什麼就那麼堅信存在這樣一個精確公式呢？任憑利特爾伍德抓耳撓腮、絞盡腦汁，也找不到該問題的答案。看到這個包含 2 的平方根、π、微分、三角函數和虛數的公式時， 人們總忍不住想知道這個公式到底是從哪裡冒出來的呢！
利特爾伍德之後這樣評價道：「發現這一定理歸功於兩個人的鼎力合作。二人各有所長，並盡其所能地發揮各自的特長，不吝付出艱苦的努力。」
這個故事歷盡曲折。利用哈代和拉馬努金的這個複雜公式，得到的不是一個精確的數字，而是一個經過四捨五入後最接近的整數。比如， 將 代入公式，會得到一個最接近整數 的值。因此，這個公式還不錯，能估算出正確結果，不過卻無法精確捕捉到這些劃分數。（不過後來有人發現，對他們的公式稍加改進，就能得到精確答案。）
儘管拉馬努金的這種直覺在素數問題上失效了，他和哈代在配分函數（partition function）上的工作卻推動了哥德巴赫猜想的解決。面對這個最偉大的數論未解之謎之一，多數數學家早已放棄了破解的念頭。多年來，該領域一直毫無進展。早在很多年前，蘭道就宣布這是個高不可攀的山峰。
哈代和拉馬努金在配分函數上的工作，使他們建立了一種現在稱之為哈代—利特爾伍德圓法（Hardy- Littlewood Circle Method）的技術。這個名字源於他們在計算中使用的所有小圖表。這些圖表描述了虛數地圖上的那些圓，而哈代和拉馬努金則試圖求這些圓的積分。這個方法沒有以拉馬努金的名字命名，是因為利特爾伍德和哈代首次使用該方法來證明哥德巴赫猜想。他們無法證明所有的偶數都能表示為兩個素數之和。但到了 1923 年，他們成功證明了所有足夠大的奇數都能寫成三個素數之和。這對數學界來說可是個重磅消息。但要想讓該結論成立，就必須滿足一個條件，那就是黎曼假設是正確的。推測出這一結果，同樣是相信黎曼假設會成為黎曼定理的產物。
拉馬努金對這一方法的發展可謂功不可沒。遺憾的是，他沒能活著見證該方法在數學上發揮舉足輕重的作用。1917 年，拉馬努金的心情愈發黯淡。英國籠罩在第一次世界大戰的恐怖陰影中。在三一學院研究員的評選中，拉馬努金落選了。由於他的反戰言論，他無緣羅素獎金。三一學院也不能容忍拉馬努金這種持和平主義立場的人存在。他終於「妥協」了，把腳塞進西方人的鞋子裡，穿上長袍，戴上學位帽。這些可能對他來說都變成輕車熟路的事情了，但他那種南印度人的靈魂始終還在。
對拉馬努金而言，劍橋大學開始成為監獄一般的存在。拉馬努金已經適應了印度那種自由自在的生活。那裡氣候溫和，人們可以長時間在室外活動。而在劍橋大學，他不得不躲在那厚厚的大學牆內，以免受北海吹來的寒風侵襲。而不同的文化背景意味著他除了正式的學術交流之外，與外界沒有任何聯繫。同時他開始意識到，哈代力求嚴謹，這束縛了他在數學天地中自由馳騁的腳步。
他的精神愈發萎靡不振，身體也每況愈下。三一學院則理解不了拉馬努金那套嚴苛的飲食習慣。在印度生活時，拉馬努金已經習慣於在自己記筆記的時候，妻子將食物放到他的手上。對待哈代和利特爾伍德這樣的教職工，大學食堂一視同仁。面對高桌上的那些食物，拉馬努金完全沒有食慾。他簡直無法獨自在這裡生存下去。妻子和家人都遠在印度，這令他倍感孤獨。營養不良使他可能患上了肺結核。從此他成了療養院的常客。
拉馬努金試圖通過思考數學讓自己振作起來，但收效甚微。錯亂的數學圖像總是出現在他的夢境里。他相信自己的腹痛是由黎曼
函數圖景上那些無窮無盡的凸起物引起的，在那裡他只能眼睜睜地看著那個描述 函數的公式越走越遠。難道這是因為觸犯了婆羅門那條「不准飄揚過海」的教規而遭到的嚴厲懲罰嗎？還是因為他誤解了娜瑪卡爾女神的意思？自從他來到劍橋大學後，妻子還沒有給他寄過信。他身心飽受煎熬，有些支撐不下去了。
身體稍微恢復的拉馬努金，情緒依然十分低落。他失魂落魄地來到倫敦地鐵，衝到一列緩緩駛來的列車前，想要以此結束自己的生命。這時，一名警衛衝過來，擋在他身前，叫停了列車，才使他逃過死神的魔爪。在 1917 年，自殺未遂是一種犯罪行為。在哈代的斡旋下，警方撤銷了對他的指控。但條件是，他不得不入住位於馬特洛克（德比郡的首府）的一家療養院，接受長達 12 個月的全面醫療監護。
現在，他失去了一切行動自由，甚至連和哈代的日常會面這唯一的樂趣都被剝奪了。「我已經來這兒一周了，」他在信中對哈代說，「無時無刻不處於監控之中。他們向我保證，在我專心研究數學的時候可以給我自由呼吸的空間。那一天卻遲遲未能到來，而我卻被困在這冰冷刺骨的房間裡，一刻也不得動彈。」
哈代發動人脈、多方斡旋，終於將拉馬努金轉移到了位於倫敦帕特尼的一家私人療養院。儘管哈代承認，拉馬努金是他生命中「唯一的真愛」，但這種友誼與私人情感無干，只關乎數學研究。哈代來看望生病臥床的拉馬努金，也沒能說出什麼像樣的安慰的話來。不過，他倒是調侃道，他剛剛乘坐的計程車車牌號
是一個無聊的數字。病榻上的拉馬努金一聽到數字，立刻兩眼放光，精神大振：「不，哈代！不，哈代！這個數字很有意思。在能以兩種方式表示為兩個數字的立方根之和的數中， 是最小的。」他是對的，這個數字的確可以寫成如下形式：
拉馬努金終於時來運轉，當選為英國皇家學會（英國最負盛名的科研機構）的會士，隨即獲得了三一學院的研究員職位，走向人生巔峰。哈代在這些選舉上享有極大的話語權。這是他向拉馬努金致敬的最好方式。但拉馬努金的身體健康每況愈下。第一次世界大戰（簡稱一戰）結束後，哈代建議拉馬努金回家休養一段時間。1920 年 4 月 26 日，拉馬努金在馬德拉斯逝世，年僅 33 歲。現在一致認為，他是被（由大腸受到變形蟲感染而引起的）阿米巴病奪去生命的，這病或許在他去往英國之前就染上了。
儘管拉馬努金在素數問題上並無多大建樹，但他給哈代的第一封信拉開了二人合作的序幕，在數學史上留下了一段佳話。數學家們發現， 無論何時何地，都會有人站出來，針對這種未知之謎，給出這樣或那樣的答案。某一新觀點的出現，會讓某個曾經寂寂無名的人一夜成名，從此活躍在聚光燈下。正如拉馬努金教給我們的那樣，知識和期望有時候會阻礙進步。傳統教育模式下培養出的學術人才，易囿於現狀，往往不會輕易打破傳統藩籬。說不定某天，就會有另一個包裹出現在某個數學家的書桌上，預示著某位天才的橫空出世。這位天才已經磨拳擦掌，準備好實現拉馬努金未竟的夢想了——揭開素數的神秘面紗。
拉馬努金留下的思想寶藏，值得歷代數學家去挖掘。可事實是，直到近些年來，拉馬努金這顆「滄海遺珠」才逐漸為人所識。甚至在哈代去世後，拉馬努金的公式仍然無人問津，沒能發揮出其應有的價值。對於拉馬努金的一個猜想，就連哈代本人也曾不屑一顧，在一篇論文里這麼評價：「我們似乎陷入了數學的一潭死水中。」多年之後，到了 1978年，皮埃爾·德利涅因證明了拉馬努金現今為人所熟知的
猜想而獲得菲爾茲獎。這時人們才意識到拉馬努金猜想的重要性。拉馬努金的擁護者之一，布魯斯·伯恩特，認為拉馬努金與巴赫乃同病相憐之人，後者也曾在去世後多年無人問津。
伯恩特耗盡半生心血，潛心研究拉馬努金那些未發表的筆記。他毅然加入這樣一群數學家之列，他們都被拉馬努金稀奇古怪的公式和方程吸引住了，不惜耗盡半生探尋其奧秘。研究這些筆記的時候，伯恩特就發現了一個記錄 1 億以內素數的奇怪表格。這些素數有的正確，有的則近乎正確，這比拉馬努金第一次給哈代的結果要更加精確。但這究竟是如何得出的，已經無從知曉了。
就像他曾經成功得出劃分數公式一樣，拉馬努金真的有辦法獲得神秘的素數公式嗎？拉馬努金的筆記中是否還有其他線索呢？1976 年， 這群數學家找到了曾經丟失的一本拉馬努金的筆記，其中記錄了他的數學新思想，這讓他們興奮不已。這一發現平添了更多的想像空間：除了三一學院檔案里收錄的資料，以及馬德拉斯箱子裡收藏的資料，是不是還有很多其他靜待挖掘的寶藏，能有力地說明拉馬努金為何擁有如此能力來精確地統計素數？
拉馬努金的離世對哈代來說是沉重的打擊。畢竟在他去世兩個月前，哈代還收到了他寄來的一封信，拉馬努金在信中以輕鬆的語氣和他談論數學問題。哈代為失去了這樣一位在數學征途上的同伴而悲痛不已：「自我們相識以來，他總能冒出一些新想法，這是我源源不斷的靈感來源。而他的去世是有史以來對我最大的打擊。」
年歲漸長的哈代，深受抑鬱症的困擾。他一度以為自己還是個年輕人。如今，自己那日漸蒼老的面容讓他心生厭惡。每次進入房間，他都堅持把所有能看到的鏡子都換掉。更令他深惡痛絕的是，隨著年歲漸長，他在數學研究上越來越力不從心了。他在《一個數學家的辯白》一書里，也以觸動人心的筆觸，描述了一個在職業生涯即將結束時的數學家。要研究數學，數學家一定不能太老。數學上不需要冥想，它需要創造力。一個失去了創造力和創新慾望的人，是不會有多大建樹的。這對數學家來說，更是亘古不變的真理。
和之前的拉馬努金一樣，哈代也曾嘗試了結自己的生命，只是他選擇自殺的方式是服藥而不是臥軌。但他把藥又吐了出來，結果成了一場鬧劇。斯諾曾這樣回憶探望生病中的哈代的情景。他自嘲道：「我把事情搞得一團糟。還有人搞出過這麼大的亂子嗎？」正如他在《一個數學家的辯白》中寫的那樣，是拉馬努金給了他生活下去的勇氣：「當我心情沮喪的時候，當我不得不去聽那些討厭鬼的誇誇其談的時候，我至少能對自己說：『我做過一件你從沒做過的事情，那就是我曾經和利特爾伍德以及拉馬努金平起平坐過。』」
悠揚的素數：二百年數學絕唱黎曼假設
作者：馬庫斯·杜·索托伊
出版社：人民郵電出版社
出版時間：2019-09
ISBN：9787115516077
（4號開始發貨）
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