來源 | 《三角之美：邊邊角角的趣事》開篇語

作者 | [以]伊萊·馬奧爾 著，曹雪林 邊曉娜 譯，人民郵電出版社，2018年12月。

士兵們，在遠方金字塔的頂上，四千年的歲月在俯視你們！——拿破崙， 1798 年 7 月 21 日在埃及

1858 年，蘇格蘭律師兼文物收藏家萊因德(A. Remy Rhind, 1833 一 1863) 在前往尼羅河谷的旅途中買了一份文獻，這份文獻是幾年前在上埃及底比斯城（現在的盧克索附近）的一個小建築廢墟中出土的。這份文獻現在被稱為《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus), 是一本包含84 個數學問題的文集，內容涉及算術、早期代數和幾何[1] 。由於萊因德 30 歲時英年早逝，這批文獻隨後為大英博物館所擁有，成為永久館藏。這份紙草書最初被發現時是 548.6厘米長、33.02厘米寬的捲軸，但是當大英博物館得到它時，一部分已經遺失。然而，十分幸運的是，後來發現這些遺失的部分由紐約歷史協會所保存，因此現在可以看到完整的文獻。

古埃及的神殿及寶藏，總是令歐洲的旅行者們神往不已。1799 年拿破崙率領軍隊入侵埃及，雖然以失敗告終，但是卻為大批的學者、文物研究者和探險者們打開了通往埃及的大門。拿破崙對文化和科學有著濃厚的興趣，他的幕僚中有眾多各個領域的學者，其中就有數學家傅立葉（我們在後面還會談到他）。這些學者在整個埃及搜羅古代的寶藏，凡是能帶走的都帶回了歐洲。他們最著名的發現，就是在尼羅河三角洲最西端的小鎮拉希德（歐洲人稱之為羅塞塔）附近發掘出的一塊巨大玄武岩石碑。

和萊因德紙草書一樣，羅塞塔石碑最後也是由大英博物館收藏，上面刻有托勒密五世王朝（公元前 195 年）由埃及僧侶組成的議會所頒布的一項法令，分別用 3 種文字——希臘文、古埃及通用文字和象形文字寫成。英國物理學家托馬斯·楊(Thomas Young, 1773 一 1829) 是第一個破譯出石碑上文字的人（托馬斯興趣廣泛，最著名的成就是他關於光的波理論）。通過比較 3 種文字中相似符號的重複部分，他能夠編纂出一部關於古埃及文字的初級字典。這部字典最後於 1822 年由法國著名的埃及古物學者商博良(1790 一 1832) 完成，商博良還在刻文中辨識出了埃及豔后克利奧帕特拉的名字。商博良具有劃時代意義的工作，使得學者們得以譯出大量寫在莎草紙、木片以及石碑上的古埃及文獻，其中就有幾卷是有關數學的文獻。最長最完整的數學文獻是萊因德紙草書。

德國學者埃森洛爾最先將萊因德紙草書翻譯成現代語言，英譯版則由皮特所譯， 1923 年在倫敦出版[2] 。但是影響最廣泛的版本則是由蔡斯於 1929 年完成的。蔡斯原本是一個美國商人， 1910 年的埃及之行使他成 為一位埃及古物學者。正是通過他的版本，萊因德紙草書才被普通大眾所知道。[3]

紙草書上的文字是用僧侶體從右向左寫成的，這與較早的象形文字截然相反。全文用黑紅兩種顏色寫成，並配有幾何圖形。它是由一位名叫阿莫斯的書吏所寫下的，現代的作者一般稱他為阿梅斯。但是紙草書上所記載的內容不是他自己的著作，他只是將它們從更古老的手稿中抄錄下來而已，這可以從他自己的序文中看出：

本書是在第 33 年洪水泛濫季節的第四個月所抄錄的，時值上下埃及統治者阿屋賽瑞法老時代，它以相似的形式，為上下 埃及統治者奈馬特瑞時代的文獻賦予新的生命。抄錄者是阿梅斯。[4]

上面提到的第一位法老阿屋賽瑞，已經確認是希克索斯王朝的君王之一，大約生活在公元前 1650 年左右。第二位法老奈馬特瑞是阿美尼赫特三世，統治時期是公元前 1849 年至公元前 1801 年，這一時期被稱為中王國時代。因此我們可以確定出原著和抄錄的確切時間，這份文獻寫於將近四千年前，是目前所知年代最早、內容最廣泛的古代數學文獻 之一。[5]

這本著作在一開始就展現了作者的宏大願景：計劃向讀者提供一個 「對所有事物全面而徹底的研究，洞察所有存在的事物，知曉所有的秘密」[6] 。即使這些願望未能很好地實現，這本著作仍然使我們能夠對古埃及數學有非常深刻的領悟。文獻中所列出的 84 個問題涵蓋算術、口述代數(求出未知量）、測量（面積和體積計算），甚至還有等差及等比數列。那些習慣於希臘數學形式結構（定義、公理、定理和證明）的人，一定會對萊因德紙草書的內容感到失望，因為這裡既沒有提出可以應用到某一類問題上的一般規則，也沒有根據先前事實邏輯推導出來的結果。相反，問題都是給出特定值的特定例子。它們幾乎都是「敘述型問題「，處理的都是很平凡的事物，比如求出一塊田地的面積，一個糧倉的容積，或者是如何在許多人當中分配一定數量的麵包等。顯然，這本著作是書吏學校的一本習題集，因為當時只有皇室書吏階級才能從事文字工作，包括閱讀、書寫和算術，也就是我們現在的「3R」[7] 。該紙草書還包含了一個看上去沒有實際用途的問題，其目的顯然是挑戰和娛樂讀者（見本章後的「古埃及的數學娛樂」)。

萊因德紙草書的開頭是兩個表：一個是 2 被 3 到 101 之間所有奇數除的 除法表，另一個則是整數 1 到 9 被 10 除的除法表。所有答案都是以單位分數（分子是 1 的分數）的形式給出的。不知道是出於什麼原因，這是古埃及人所知道的用來處理分數的唯一方式， 2/3 是一個例外，它本身被視作 一個基本的分數。他們花費大量的功夫和技巧將一個分數分解成單位分 數的和。例如， 6 被 10 除的結果是 l/2+1/10, 7 被 10 除的結果是 2/3+ 1/30 [8] 。

當然，古埃及人並沒有使用我們現代的符號來表示分數，他們在整數上加一個點（或者在象形文字上加一個橢圓圈）來表示該整數的倒數。他們也沒有表示加法的符號，單位分數簡單地並列寫在一起就表示它們相加[9]。

該文獻接下來處理的是包含減法（稱為「求全」)和乘法的算術問題， 以及求解未知量的問題。這些問題統稱為「啊哈」 問題，因為它們通常以字母 h (發音 aha 或者 hau) 開頭，所代表的意思可能就是要找出的「未知量」[10]。例如，第 30 個問題問：「如果問，什麼數的 2/3+1/10 是 10, 請告訴他。」文獻中記載的答案是 13+1/23, 並且在後面列出一個證 明過程（我們現今稱之為「驗證」)，來證明這確實是一個正確答案。用現代的語言來說，第 30 題等同於解方程 。這類線性方程用所謂的「試位法」來求解：假設用一個合適（容易算）的數字表 示 (比如 30), 代入到方程中。則等式左邊變成 23, 不等於 10。又因為 23 必須乘以 10/23 才能得到 10, 所以正確的解應該是 10/23 乘以假設的值， 也就是 x=300/23=13+1/23。可見，在現代代數符號出現之前約 3 500 年， 埃及人就已經掌握了一種能夠有效求解線性方程的方法[11] 。

第 41 ~ 60 題實質上是幾何問題。第 41 題說：「求出一個直徑為 9, 高度為 10 的圓柱形糧倉的容積。」解答如下：「減去 9 的 1/9 (也就是 1), 得到 8 。將 8 乘以 8, 得到 64。將 64 乘以 10, 得到 640 。」（單位是立方腕尺，然後作者將此結果乘以 15/2, 轉換成「赫卡" ——這是當時用來測量穀物容積的標準單位，1 赫卡等於 4.789立方分米。） [12]顯然， 為了計算出圓柱的底面積，書吏將圓形的底用邊長為直徑的 8/9 的正方形 來代替。如果用 來表示直徑，則面積公式為 。如果將此公式與 相比較，我們可以發現埃及人使用的 值是, 這與真實值的誤差只有 , 。精確度之高讓人驚嘆，真是非常了不起的成就! [13]

我們特別感興趣的是第 56 題到第 60 題，這幾道題都與埃及最著名的名勝古蹟金字塔有關，並且所有的問題都用到了單詞「塞克特」 (seked, 參見圖 1) [14] 。這個單詞的意思我們隨後就會知道。

第 56 題說：「如果一個金字塔高 250 腕尺，底邊的邊長 360 腕尺，則它 的『塞克特』是多少？」阿梅斯的解答如下：

取 360 的 1/2 為 180, 為了得到 180, 乘以 25O, 得到 1/2 1/5 1/50 腕尺。1 腕尺等於 7 掌(palm), 用 7 乘以 1/2 1/5 1/50:

則塞克特是 掌即

讓我們來分析一下這個解。顯然， 360 的 1/2 (即 180), 是金字塔正方形底邊長的一半（參見圖 2) 。」為了得到 180, 乘以 250" 的意思是，找出一個數 使得 250 乘以等於 180, 因此可得 x= 。但是埃及數學家要求所有的答案都必須以單位分數的形式給出，而 1/2 、1/5 和 1/50 的和正好是 18/25, 所以這個數值是金字塔底邊長的一半與金字塔的 高之比，也就是金字塔側面的橫寬對縱高(run-to-rise) 之比。事實上， 阿梅斯發現的這個量（塞克特），就是金字塔的底面與側面夾角的餘切值[16]。

有讀者可能馬上會產生兩個疑問。首先，為什麼他不像我們今天的做法一樣求出這個比率的倒數，也就是縱高對橫寬之比呢？答案是，人 們在建造垂直建築物時，會很自然地去度量當高度增加一單位時，水平方向與垂線的偏離程度，也就是橫寬對縱高之比。這確實是建築學的實際做法，他們用「直傾斜」(batter) 來度量一面想像中的豎直牆的內傾斜率。

其次，為什麼阿梅斯要把他的答案乘以 7 呢？其原因是，金字塔的建造者們在測量水平距離時常用「掌」或者「手」作為單位，而測量垂直距離則用腕尺作為單位。1 腕尺等於 7 掌，因此所求出的「塞克特」值 是以每腕尺的「掌數」為單位給出的橫寬對縱高之比。當然，我們今天 25 只是將這些比率視作純數字。

為什麼橫寬對縱高之比被認為如此重要，以至於被賦予一個專有名詞，並且在紙草書中占用了四個題目？原因在於，金字塔建造者必須保持每個面相對水平面的傾斜度是一致的。這可能在紙上看著非常容易， 但是一旦開始實際建造，建築工人就必須經常檢查他們的進度，以確保在施工過程中保持所需的傾斜度。也就是說，每一個面的「塞克特」值必須一樣。

第 51 題是第 56 題的相反問題：給出「塞克特」的值和底邊的邊長，然後求高。第 58 題和 59 題與 56 題類似，得到「塞克特」的值是 掌（每腕尺），所不同的是，答案以 5 掌 l 指(finger, 1 掌等於 4 指）來表示。最後，第 60 題是求一個高 30 腕尺、底 15 腕尺的柱子的「塞克特」值。我們不知道該柱子是金字塔形狀，還是圓柱形（如果是此情形， 15 則是底面的直 徑）。然而不論是哪種情況，答案都是 1/4 。

第 56 題中求出的「塞克特」是 18/25 (無量綱單位），對應著底與面的夾角是 54°15' 。第 58 題和 59 題所求出的「塞克特」轉換成無量綱單位就是 , 即 3/4, 對應的角是 53°8' 。將這些數字與吉薩的一些金字塔的實際角度相比較，可以得到以下有趣的結果[17] 。

基奧普斯金字塔：51°52'

切夫倫金字塔：52°20'

邁錫里努斯金字塔：50°47'

這些數字與例題中算出的結果非常接近。至於第 60 題中的柱子，它 的角度則大多了，當然也和我們對這種建築的預期相吻合： 。

如果因此說埃及人發明了三角學，這未免有些可笑了。在埃及的文獻中，沒有一處談到角的概念，因此埃及人尚沒有能力去構造三角形中邊與角的數量關係。然而，引用蔡斯的話：「在公元前 18 世紀初，可能甚至還要比這早一千年，當大金字塔開始建造時，埃及的數學家們就已經知道，以一個直角三角形的一邊作為度量單位(即標準)，來討論直角三角形的相似關係。」因此我們可以公平地認為，埃及人已經有了實用三角學（可能「原始三角學」是一個更為恰當的詞）的粗略概念，這比希臘人開始考慮這個課題並將它視為應用數學的重要工具，要早兩千多年！

注釋及資料來源

[1] 萊因德紙草書中也包含有 3 個與數學無關的片段， 一些作者將它們標記為問題 85 、86 和 87 。這些描述可以參考 Arnold Chase, The Rhind Mathmatical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected· Phot~graphst Tr,anscriptio, ns, , Transliterations and Literal Translations (Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1979) , pp. 61-62 。

[2] 皮特的英譯本為 The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058: Introduction, Transcription, Transation and Commentary (London, 1923) 。

[3] Chase, Rhind Mathematical Papyros 。這本流傳廣泛的著作是由美國數學 協會在 1927 年和 1929 年出版的同名書籍的重印修訂版。它包含有詳細的評論和參 考資料，以及許多文獻資料的彩插。關於蔡斯的傳記概要，可以參考《美國數學 月刊》1933 年 3 月號的文章"Arnold Buffittn Chas.e" 。其他一些關於埃及數學的優 秀資料有 Richard J. Gillings 所著的 Mathematics in the Time of the Pharaohs， George Gheverghese Joseph 所著的 The Crest ,of the Peacock：Non-European Ro'Ots of Mathematica, 10tto Neugebauer, The Exact &iences in Antiquity，以及 Baertel L. vander Waerden Science Awakening. 1963) , chap. 1 。

[4] 參見 Chase, Rhind Mathematical Papyrus, p. 27。

[5] 另一個差不多同時期的重要文獻，是莫斯科紙草書，它的長度和萊因德 紙草書一樣，但是只有 3 英寸寬。文獻中包含了 25 個問題，質量要比萊因德紙草書略遜一籌。參見 Gillings, Mathematics, pp. 246-247; Joseph, Crest of the Peacock, pp. 84-89; van der Waerden, Science Awakening, pp. 33-35;以及 Carl B. Boyer, A History of Mathematics (1968; rev. ed. New York: John Wiley, 1989) , pp. 22-24。其他埃及數學文獻的參考資料，可以在下列書籍中找到：Chase, Rhind Mathematical Papyrus, p. 67; Gillings, Mathematics, chaps. 9, 14, and 22; Joseph, Crest ofthe Peacock, pp. 59-61,66-67 and 78-79; 以及 Neugebauer, Exact Sciences, pp. 91-92o

[6] 引用自 van dcr Waerden, Science Awakening, p. 16, Waerden 顯然是引用了 皮特的版本。這與蔡斯的翻譯略有不同(參見 Rhind Mathematical Papyrus, p. 27)。

[7] 參見 van der Waerden, Science Awakening, pp. 16-17。

[8] 注意，分解不是唯一的：7/10 也可以寫成 1/5+1/2。

[9]關於埃及人使用單位分數的詳細討論，可以參考 Boy 甌 History of Mathematics, pp. 15-17; Chase, Rhind Mathematical Papyrus, pp. 9-17; Gillings, Mathematics, pp. 20-23;以及 van der Waerden, Science Awakening, pp. 19-26。

[10] 參見 Chase, RhindMathematical Papyrus, pp. 15-16;以及 van der Waerden, Science Awakening, pp. 27-29。[11] 參見 Gillings, Mathematics. 154-161。

[12 ]參見 Chase, Rhind Mathematical Papyrus, p. 46。關於埃及度量的詳細討 論，參考同一本書第 18 頁至第 20 頁，及 Gillings, Mathematics, pp. 206-213。

[13]埃及人所用的這個 值，可以寫成 Gillings 在眩加如血(pp. 13-153) 一書中，對阿梅斯如何得到公式 提供了一個可信的理論， 並推崇阿梅斯是「歷史上第一個真正對圓進行平方的人」。也可以參考 Chase, Rhind Mathematical Papyrus, pp. 20-21。以及 Joseph, Crest of the Peacock、pp. 82-84, 87-89o 有趣的是，雖然巴比倫人的數學技巧一般而言超過埃及人，但他們卻只 是把圓的面積用內接正六邊形的面積來代替，得到,見 Joseph, Crest ofthe Peacock, p. 113。

[14] 讀成 「saykad"或者 「sayket"。

[15] Chase, Rhind Mathematical Papyrus, p. 51。

[16] 參見上一本書的第 21 頁至第 22 頁，有另一種解釋。

[17] 參見 Mathematics, p. 187。

三角之美：邊邊角角的趣事

[以]伊萊·馬奧爾 著

曹雪林 邊曉娜 譯

人民郵電出版社

內容提要：三角學是一個古老的數學分支，它美麗而又神秘。本書從歷史發展的角度展現了三角學與其他諸多學科的緊密聯繫，阿涅西的女巫、高斯的啟示、芝諾的遺憾……一連串有趣的故事構成了一幅美麗的畫卷。全書共15章，歷史、理論、趣聞、應用盡含其中，涵蓋了三角學的所有精華部分。品讀此書，你會感嘆數學之美、人類之聰慧、科學發展之不易。本書適合所有對數學特別是三角學感興趣的讀者閱讀。

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