摯愛數學：非凡的天才伽羅瓦和他優美的理論

在本文中，我們將首先了解歷史概況和伽羅瓦的生平，然後簡要地介紹他的英年早逝，年僅20歲的神秘死亡。之後，我們會看到其優美的數學理論的全貌，以及討論為什麼它是如此的優雅。

儘管一篇文章無法涵蓋伽羅瓦理論的全部，但我希望可以向你們展示其優雅和美麗的一部分，希望它激勵你們自己去學習和探索。

伽羅瓦其人

伽羅瓦出生在1811年10月25日。他很早就對數學感興趣，在14歲時，他找到了勒讓德（Adrien-Marie Legendre）的《幾何基礎》（ Éléments de Géométrie ） 一書。據說，他讀這本書「像讀小說一樣」，並在第一次閱讀時就掌握了它。

15歲時，他開始閱讀拉格朗日的論文，他可能因此受到很大啟發。

儘管伽羅瓦在自己的時間裡努力學習，但他在課堂上卻沒有什麼動力。

1828和1829年，他被巴黎綜合理工學院兩次拒之門外，這裡有當時法國最負盛名的數學學院。第一次是因為偏科，第二次是因為沒有通過口試，據說他把口試搞砸了。（譯者註：巴黎綜合理工學院被認為是法國最頂尖的工程師大學，被譽為法國精英教育模式的巔峰。）

從這個時刻開始，日月如梭， 1829年伽羅瓦發表了一篇關於連分數的論文，大約在同一時間，他投稿了一些關於多項式方程的論文。審稿人正是當時最偉大的數學家之一：奧古斯丁-路易斯·柯西。

但是，儘管柯西建議伽羅瓦將文章提交到法國科學院以參加學院獎（Grand Prix），但是他並沒有發表伽羅瓦的論文。

直到今天，沒有人知道為什麼柯西沒有發表它。有人說，他認識到伽羅瓦思想的重要性，但建議伽羅瓦在出版前進行一些編輯。也有些人說，政治因素起到了一定作用。(顯然，柯西和伽羅瓦的政治觀點相衝突，這在當時是一件大事。)

1829年7月28日，伽羅瓦的父親去世了。伽羅瓦和他父親的關係非常親密，所以對他來說，這是生命中一次沉重的打擊。

1830年，在柯西的建議下，伽羅瓦向另一位數學巨匠——約瑟夫·傅立葉（Joseph Fourier）——提交了關於方程理論的論文。不幸的是，不久之後傅立葉就去世了，伽羅瓦的論文也丟失了。

這對伽羅瓦來說，當然是一個挫折，但他並沒有輕言放棄。同年晚些時候，他發表了三篇論文。其中一篇概述了後來被稱為伽羅瓦理論的內容，另一篇則首次研究了我們現在稱之為有限域（Finite field）的數學概念，它後來在數論領域非常重要。

為了了解伽羅瓦的處境和生活，我們需要了解法國當時發生了什麼。那時正值法國七月革命中期，也被稱為法國第二次革命，伽羅瓦不僅參與了這場革命，還參加了戰鬥和辯論。他加入了街頭的暴亂，把時間都花在了數學和政治上。

伽羅瓦死亡之謎

在父親死後的幾年裡，伽羅瓦變得越來越暴力，他被逮捕了多次。1831年1月，伽羅瓦再次試圖發表他的理論，但是偉大的數學家西莫恩·丹尼斯·泊松（Siméon Denis Poisson）認為他的工作是「令人費解的」。

伽羅瓦當時在監獄裡，對泊松的拒稿非常憤怒。但不知為何，這次他很認真地對待了批評，並開始整理自己的工作，更仔細地撰寫了自己的陳述。

伽羅瓦於1832年4月29日獲釋。不久之後，他參與了一場決鬥。

關於那場著名的決鬥，有許多猜測。一封伽羅瓦寫於決鬥前5天的信表明他戀愛了，而這場決鬥正是為了他的愛人。

在決鬥的前一天晚上，伽羅瓦確信自己即將死去，他整夜未眠，寫下了後來他對數學界貢獻最大的一篇論文：寫給奧古斯特·謝瓦利埃（Auguste Chevalier）的那封表達自己觀點的著名信件，以及三份附呈的手稿。

伽羅瓦手稿的最後一頁丨圖片來源：Wikimedia Commons

數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在談到這篇手稿時說，

「如果從這封信所包含思想的新穎性和深刻性來判斷，它也許是整個人類文獻中最豐富的一篇文章。」

這就是偉人名言。

1832年5月30日清晨，伽羅瓦腹部中槍，隨後被對手拋棄。

第二天早上，年僅20歲的伽羅瓦去世了。

之後的故事

在1843年，約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）審閱了伽羅瓦的手稿，並宣布它是正確的。這篇論文最終在1846年，也就是伽羅瓦死後14年出版。

然而這個理論花了更長的時間才在數學家中流行起來，人們才真正理解它的奧妙。

事實上，劉維爾完全錯過了伽羅瓦方法的理論核心——群（Group），直到世紀之交，伽羅瓦理論才被完全理解，並被確立為抽象代數（Abstract algebra）的核心部分。這一理論花了將近一百年才成為代數課程的標準內容。

伽羅瓦手稿中最著名的部分是證明五次多項式的求根公式不存在——也就是說，五次和高次多項式方程通常不能被根式求解。

如上所述，阿貝爾在1824年就已經證明了根式求解的「五次公式」是不可能存在的，但是伽羅瓦進行了更深入的理論研究，提出了現在的伽羅瓦理論。

這一理論可以用來確定任意的一個多項式方程是不是有根式解。

伽羅瓦是第一個創造「群」這個詞的人，他使用的定義（幾乎）和我們今天在不同的大學和學院使用的定義一樣。他提出了正規子群（Normal subgroup）和有限域的概念，我們稍後也將對此進行討論。

本質上說，伽羅瓦是現代群論和抽象代數領域的開創者之一。

群論是研究對稱的數學，在很多數學和物理的學科中有著廣泛的應用。而抽象代數也被稱為「現代數學的語言 」 。

我清晰地記著，當我在學習伽羅瓦理論的課程之前，我已經學習過了多門抽象代數的課程，比如群論（Group Theory），環論以及理想（Ring and Ideal Theory），域論（Field Theory）和模理論（Module Theory，模是指在環上的線性空間，而不是域上的），這一切都非常的抽象。

之後我學到了伽羅瓦理論，很多之前學到的內容，特別是群論和域論，都得到了應用。最後，我可以使用所有的這些抽象的數學對象來證明，為什麼一些特定的多項式方程沒有根式解，而且這些還不是全部的伽羅瓦理論。

這正是我認為伽羅瓦理論美妙的原因。

伽羅瓦理論

伽羅瓦理論將抽象代數中兩個的子領域聯繫起來——群論和域論。

就像之前提到的，伽羅瓦理論的誕生是由以下這個問題引出的：

對於一個五次或者更高次的多項式方程，是否存在一個公式可以通過使用多項式的係數，常用的代數運算（加，減，乘，除）以及根式（平方根、三次方根等等）將所有的根，也就是方程的所有解表示出來？

對於一個五次或者更高次的多項式方程，是否存在一個公式可以通過使用多項式的係數，常用的代數運算（加，減，乘，除）以及根式（平方根、三次方根等等）將所有的根，也就是方程的所有解表示出來？

儘管阿貝爾-魯菲尼定理（The Abel-Ruffini theorem）提供了一個反例，證明了存在多項式方程使得這樣一個表達式不存在，但是伽羅瓦的理論可以解釋為什麼有些方程，包括所有四次以及更低次的方程，求根式解是可能的，以及為什麼很多五次以及更高次方程是沒有根式解公式的，從而為之前的問題提供了一個更完備也更清晰的答案。

現代的伽羅瓦理論使用了群和域的語言，所以我將試著在避免涉及太多其他知識的同時解釋伽羅瓦理論，但為了完整性起見，我們將簡要地介紹這些數學概念。

群 論

群論是研究對稱性的。

想像一個正方形：這個正方形具有一定的對稱性——如果旋轉90度，它看起來是一樣的，旋轉180度和270度也是一樣的；當然，如果旋轉360度後，會回到初始的狀態。

為了記錄下來，我們可以想像正方形的四個角都被標記了，這樣我們就知道是如何變換的。

還有一種反射對稱，比如選擇一個軸，或者說一條線，穿過正方形中間，將其分割成為兩個大小相等的矩形。你可以沿這條線翻轉這個正方形，它看起來還是一樣的，但是這個變換是和旋轉不同的。

最後一種就是平凡對稱性（什麼都不變）。

每一種對稱都有一種反對稱：比如，順時針旋轉90度之後再逆時針旋轉90度，兩個變換會相互抵消，最後等價於平凡對稱。

這個概念可以用代數的方法進行推廣。

一個群G是由滿足以下條件的一個集合和一個運算構成：

1. 對於兩個群中的元素g, h，運算之後會得到在群中的元素g*h；

2. 存在一個單位元e使得任意一個元素g與其運算之後不變，g*e=e*g=g；

3. 對於任意元素g，存在一個逆元a使得g*a=a*g=e。

在以上的例子中，群中的元素正是變換本身。比如說，旋轉90度和上文提到的反射變換都是群中的元素，我們把旋轉90度記作σ，把反射變換記作τ。

這個群的運算正是變換的復合。所以我們可以得到 σ* τ，也就是先沿著對稱軸做一次翻轉，再旋轉90度。但是我們可以注意到， σ*τ≠τ* σ，所以在群中，元素運算的順序是很重要的。 （譯者註：我們這裡不妨假設旋轉是順時針旋轉的，並且正方形的四個角是有標號的，這樣讀者可以通過畫圖驗證，先翻轉再旋轉的結果與先旋轉再翻轉的結果不同。）

因此群的概念是一種將對稱抽象化的方式。事實上，抽象變換的群很多，我們甚至不知道如何將其中的一些群可視化。

但是最簡單的群之一是大家耳熟能詳的：包含所有整數的集合和加法運算就構成了一個群。

當我們加兩個整數時，我們會得到第三個整數（這個集合對於加法來說是穩定的）。單位元是0，因為對任意整數k, 0+k=k+0=k，並且逆元正是-k, k+(-k)=0。

所以， 是一個群。但是整數集合和加法運算的群體現了什麼對稱性呢？答案是平移對稱性。加上一個整數k 可以看成是沿著數軸平移距離k，正負代表方向。

而群G的子群H，一般記作H＜G，表示是的一個子集，同時也構成一個群。比如說，偶數的集合是整數加法群的子群， 。

域 論

在數學中，域是一種特殊的環。你可以認為一個域是一個具有兩種運算的集合，運算通常記為加法和乘法，即+和*，這裡的加法和乘法可能並不是平常使用的運算，它們取決於域的定義，但是你會看到為什麼這個記號是有意義的。其中有一個零元，使得對於任意

中元素a, a+0=0+a。

並且，集合

對於定義的加法+是一個群，集合 \{0}對於定義的乘法*也是一個群。不僅如此，兩個運算是滿足分配律的，a*(b+c)=a*b+a*c，其中的乘法和加法運算是域中定義的運算。

其他眾所周知的性質是，域中存在單位元1以及運算的交換律，a+b=b+a, a*b=b*a。

這兩個性質可能看起來很熟悉。確實如此，因為大家熟悉的實數和複數都是域，並且滿足這些性質。

如果你了解模運算的話，你會知道整數對任意素數p取模是一個域，（常常記作

），並且是一個有限域！這是伽羅瓦的發現之一。

所以，域是一個包含「數字」的集合，我們可以在域中以通常的規則進行四種運算，而且它們都有逆。（除了零元的乘法逆，因為在域中，除以零仍然是不可能的。）

伽羅瓦理論關注的正是有理數域的擴張（

表示有理數，即可以表示為分子分母都為整數的分數）以及複數域的子域， ，其中

只包含有限多個非有理數。

我們必須向有理數域

中增加至少一個非有理數來得到這樣處在中間位置的域。那這些域是什麼呢？

我們知道，

不是有理數，因為不能將其寫成分子分母為整數的分數。但是，我們可以將其加入到有理數 中。當然，為了得到一個域，我們還需要加入很多其他的元素，比如說-

，也就是它的加法逆元。事實上，我們需要所有形式為a+b 的數，其中a和b為有理數。

我們稱這個集合為在 中添加 生成的擴域，或者單擴張域，記為 。可以驗證的是，擴域中每一個非零元素都有加法逆和乘法逆。

更一般的，我們可以把 ( α) 看成是包含所有有理數以及 α的最小的域。如果 α是有理數，則又得到了平凡擴張 。

在討論伽羅瓦理論美妙之處之前，我們還需要知道分裂域（Splitting feild）是什麼。不過這是非常簡單的。

考慮一個係數均為有理數的n次多項式f，我們從代數基本定理可知，n次多項式f恰好有n個複數根（根的重數計算在內）。

所以我們可以考慮包含多項式f所有根的基於 的域擴張。這個滿足條件的最小域就被稱為多項式f的分裂域，因為我們可以在這個域中把多項式f因式分解。

最後一個概念是域K的自同構（Automorphism）。這是一個巧妙的詞，用來表示在域中保持結構的置換。如果 σ是K的自同構，則

σ(x+y)= σ(x)+ σ(y), σ(x*y)= σ(x)* σ(y)

並且 σ是一個雙射，即這個映射是一個單射也是滿射。

假設域K是域F的擴張域，也就是說，F是K的子域；我們可以考慮固定域F的K上的自同構 σ，對任意域F的元素x， σ(x)=x。

伽羅瓦理論的基本定理

對於一個給定的多項式，不同的代數方程可以將不同的根聯繫起來。（本文中代數方程指的是有理數係數的多項式方程。）

伽羅瓦理論的主要思想就在於考慮根的置換，使得其在置換後，原本滿足的代數方程仍然是成立的。

這些置換形成的群就被稱為該多項式的伽羅瓦群。

比如說，我們考慮f(x)=x 2 -2x-1。這個多項式的兩個根，我們記為 α=1+ ， β=1- 。

兩個根滿足的代數方程為，

• α+ β=2

• α* β= -1

α+ β=2

α* β= -1

不難看出，在兩個方程中交換 α和 β後，仍然成立。事實上，對於 α和 β的所有代數方程在變換後都是成立的。

一種通俗的理解方式是：在一定意義下，有理數不能分辨 1+和 1-的差別。

「 和 -對於有理數來說是同樣的異類。」

所以，f的伽羅瓦群有兩個元素，平凡置換和交換兩個根的置換，也就是把1+ 變為1- ，反之亦然，並固定其他的有理數。這正是2階循環群，同構於

。 （在高等數學的術語中，這表示「兩個群相同」。）

以現代的語言，我們可以考慮f的分裂域K，並假設有相異的根，定義f的伽羅瓦群為所有可以固定有理數 的K的自同構群。

我們一般記這個自同構群為Gal(K/ )，其中K/F，這個例子中F= ，表示域擴張K是基於域F的，並且自同構可以固定域F。

或者我們可以換一個說法，這個自同構群包含所有滿足以下條件的置換：在置換作用於多項式根之後，原多項式根滿足的代數方程仍然成立。

對於之前的例子，我們有這樣的同構關係，Gal( ( )/ ) 。

更一般的說，我們定義基於域F的域擴張K的伽羅瓦群為可以固定域F的K的自同構群。

在這個命名規則下，多項式f的伽羅瓦群指的是其分裂域的伽羅瓦群。（前文提到過，分裂域指的是在基於 下，多項式f所有根的域擴張。）

對於任意域K的並且可以固定域F的自同構σ，（通常記為σ∈Aut(K/F)），任意係數在中的多項式如果有一個根α，則也有一個根是σ( α) 。所以，這樣的自同構確實將基於域F，對於 α的最小多項式的根進行了置換。

另外，用類似的思路，我們可以證明，如果一個複數a+bi是實係數多項式f的一個根，則它的復共軛a-bi也是多項式f的根。

這是因為存在一個自同構 ，可以置換i和-i。所以， σ(a+bi)= σ(a)+ σ(bi)=a+b σ(i)=a-bi。

將基域設置為 ，伽羅瓦理論基本定理是，伽羅瓦群 Gal(K/)的子群和在 與K的中間域是一一對應的。

這個定理其實不僅於此，給定一個中間域， ⊂L⊂K，對應的子群H ＜Gal(K/)恰好包含那些固定L的自同構。

可解群

伽羅瓦本人在當時那個著名的手稿中就理解並研究過，考慮一個多項式f，如果f的伽羅瓦群是一個可解群（Solvable group），那麼這個多項式就是根式可解的，反之則不是。

當然，我還需要告訴你，可解對於一個群來說意味著什麼。

考慮一個群G和其子群H, H＜G。如果以下的條件成立：對於H中的元素h，和群G中元素g和其逆元a，元素g*h*a∈H，我們稱H是G一個的正規子群。

這意味著，H在群G的作用下，或者說是在群G元素的共軛作用下是不變的。

更一般地說，通過正規子群H以及群G中的元素，我們可以構造一個等價關係。這需要使用陪集（Cosets）的理論，但是我們不假設讀者熟悉這些，這不在我們這篇文章的範疇里。因此我們在這裡就說，這個等價關係可以構造一個新的群。

當我們對整數模整數n時，通過將所有n的整數倍等同於0，可以構造循環群

；此時就是上述發生的情況。其中

是 的正規子群，因為 是一個阿貝爾群（a+b=b+a），而一個阿貝爾群的任意子群都是正規子群。

你還可以用一種更抽象的方式理解，考慮任意正規子群H＜G，模運算對應的群記作G/H，稱作G模H。

更進一步地說，如果群G包含一個嵌套的正規子群鏈，{e}=H 0 ＜H 1 ＜H 2 ＜…＜H k =G，使得對於任意的指標i∈{0, 1, 2,…, k-1}, Hi+1 / Hi ，是阿貝爾的，則我們稱群G是可解的。

這也就總結出伽羅瓦理論是如何與多項式的可解性聯繫起來的。

我們可以找到一個有理係數多項式的例子，通過研究其對應的伽羅瓦群來證明它不是根式可解的。

例如多項式f(x)=x 5 -6x+3，我們可以使用平均值定理以及一些技巧來證明其對應的伽羅瓦群是五個字母的置換群 S5。這不是一個可解群，所以f不是根式可解的。

小 結

伽羅瓦理論的美在於我們可以把每一個多項式和保持其根的代數信息的群聯繫起來。通過研究這個群，我們可以把該代數信息轉換到多項式的世界裡。

我之前提到我們可以使用這個理論來證明一些非常古老的問題。

作為伽羅瓦理論的副產品，「立方倍積」（Doubling the cube）和「化圓為方」（Squaring the circle）這兩個問題最終被證明是不可能的。它們都與之前提到的有理數域的擴張有關。

比如，化圓為方問題等價於表明π是一個有理係數多項式的根，但是這是不可能的。因為π是一個超越數，所以不在任何一個 的有限代數域擴張中。

對於立方倍積也是類似的，但我們需要考慮 加入2的三次方根的域擴張的次數。如果你對這個問題感興趣的話，可以自己來試試。

埃瓦里斯特·伽羅瓦毫無疑問是一流的天才。時代和環境帶給他了很多困難，他的隨意也在數學界被認為是非常規的，並且在某種程度上，現在也不被接受，因為數學需要非常準確和小心，避免歧義。數學家常常用「嚴密性」（ rigorousness）來形容這種要求。

但是這不意味著他的理論是不正確的。伽羅瓦理論是正確並優美的！現在，它被應用在很多不同的數學領域，包括安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）對於費馬大定理的證明以及代數數論等領域。

使用群來表示另一個結構的想法是絕妙的。這一思想現在被應用在很多領域，比如在代數拓撲（Algebraic topology）中，我們可以研究一個群來得到拓撲空間的信息；在代數幾何（Algebraic geometry）中，可以通過使用環論和理想理論來研究多項式的解集；橢圓曲線上的點構成了一個群，等等。

親愛的讀者，如果你閱讀到這裡的話，我希望你喜歡這段關於伽羅瓦的旅程。請通過評論告訴我。

感謝閱讀。

本文譯自Kasper Müller, For the Love of Mathematics，原文地址：https://www.cantorsparadise.com/for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09