撰文 丨 Eddie Woo
翻譯 丨 陽曦一
20世紀70年代初，水門醜聞淹沒了美國政治，徹底改變了人們看待總統的眼光。時任美國總統理察·尼克森被發現嚴重違法，而且他還安排了一場大戲掩蓋整個違法事件。這一事件為什麼會對大眾心理產生如此深遠的影響？部分原因在於公眾看到的事件發展過程一波三折。
水門事件的新聞剛爆出來的時候，大部分人覺得這只是一件無足輕重的小事，很快就會消失在新聞的視野之外，就像普通一天裡的其他瑣事一樣。隨著調查的深入，人們意識到這件事不會很快結束，主流觀點認為水門事件正在成為一場捕風捉影的獵巫。堂堂的國家元首竟然是個肆意參與叛國行動的犯罪分子，而且濫用特權踐踏正義，幾乎沒人能容忍這種事情。有一段時間，那些相信尼克森總統有罪的少數派被視為怪人和陰謀論者，他們捏造的荒謬故事毫無可行性，更不可能是真的。
直到劇情徹底逆轉，每個人最深的恐懼突然成真。經過一系列堪比好萊塢大片的波折和反轉，令人震驚的真相終於浮出水面——那些陰謀論者才一直是對的。
水門事件是陰謀論時代的轉折點。在那之前，相信暗語、秘密社團和政府掩蓋真相的人往往被視為瘋子。但水門事件迫使大眾承認，哪怕那些看起來最荒誕不經的說法有時候也可能是真的。
陰謀論為什麼在全世界的每個角落長盛不衰，隔一陣子就冒頭？對於這個問題，數學有自己的答案。令人驚訝的是，它讓我們看到，陰謀論者的磨坊永遠不會缺少原料。我們在數據自然形成的海洋里游弋，這片海洋和我們的世界所具備的天性決定了陰謀論者永遠可以指著某些東西說，這正是我們眼皮子底下那些可疑行為和秘密存在的「證據」。
為了理解這一切是如何發生的，我們不妨先思考一個孩子們玩的非常簡單的解謎遊戲，你肯定聽說過，它叫： 找單詞。
我曾花費大量時間玩這個遊戲。在成長的過程中，我甚至有一本專門的找單詞解謎書（現在我意識到，它是我媽對我煩不勝煩的時候給自己找清靜的重磅武器之一）。
找單詞的謎題看起來是這樣的：
這個謎題里藏著彩虹的全部七種顏色：紅（red）、橙（orange）、黃（yellow）、藍（blue）、綠（green）、青（indigo）和紫（violet）。有的單詞需要橫著找，有的要豎著讀，甚至有單詞藏在斜線上。小心——還有的單詞是反著寫的（從右到左，而不是從左到右）。作為額外的獎賞，這張表里還藏著另一種我沒說的顏色——試試看，你能不能找到它！
自己創造一個找單詞謎題並不難。我出題的時候只是畫了張空白的表格，然後把我想要添加的單詞一個個添加進去。完成這一步以後，我只需要用一系列隨機的字母填滿空格就行。砰——變！找單詞謎題出現了。
但是，如果我跳過第一步——在謎題中加入我的單詞——那會怎樣？如果我出一個完全由隨機字母構成的謎題，那會發生什麼？下面這張3×3的表格就是個例子：
不出所料，它看起來完全不知所云。事實也的確如此——不管你怎麼看，都無法在這張表格里找到任何英語單詞。可是現在，如果我分別增加一行和一列，看看會發生什麼：
如果你從第一行的B開始，順著斜線滑向右下方——顯然，你會看到「壞」（bad）這個單詞一下子蹦了出來！不僅如此——從第二行的第二個字母開始，從左向右讀，你還會找到第二個詞：爸爸（dad）。這堆隨機字母是不是想說，我不是個好爸爸？！
如果我再增加一行和一列，讓它變成一張5×5的表格，你甚至會看到更多單詞自然地出現。除了「壞」和「爸爸」以外，我還看到了「裡面」（in）、「做」（do）、「不」（no）、「澤德」（zed）、「是」（be）、「命令」（bade）和「麻煩」（ado）。單詞的數量直線上升！
這到底是怎麼回事？我沒有刻意在這張表格里寫下任何單詞——下面的兩張表格是以同樣的方式隨機創建的，每張表格里同樣充滿了單詞：
在左邊這張表里，我能找到：小馬（pony）、公牛（ox）、木材（log）、不是（not）、色彩（hue）、哇（yay）和水療（spa）。
右邊的表里有：小精靈（elf）、公牛（ox，它出現了三次！）、前度（ex）、凸輪（cam）、做（do）、紅（red）、有趣（fun）、空隙（gap）、哦（oh）、瞧（lo）和不（no）。
你可以創造自己的「隨機」找單詞表格，只需要把下面這個網址輸入你的搜尋引擎：www.bit.ly/findaword。
如果你進入這個網址玩一玩，你也會發現，要創建一張完全不包含任何英語單詞的表格真的非常難。所以，這是怎麼回事？
你觀察到的這種現象叫「無序的不可能性」（impossibility of disorder）。
混沌之海里必然存在有序的島嶼——只要這片海足夠大。
我們剛才親自證明了這個論斷：3×3的表格里一個單詞都沒有，但隨著表格變大，避免單詞出現變得十分困難。
研究這種情況的數學分支叫作 拉姆齊理論（Ramsey theory），這個名字來自英國數學家兼經濟學家弗蘭克·P.拉姆齊。讀者里可能很少有人接觸過這方面的數學，因為它所屬的領域叫作圖論（graph theory），澳大利亞所有的數學必修課都沒有涉及圖論。
如果說學校里教的數學像一趟雪梨之旅，那麼代數就是歌劇院——每個人最終都會去看它。從另一方面來說，圖論就像你家附近的便利店——它不是遊客愛去的地方，只有一小撮人對它有所了解。和便利店一樣的是，這些人之所以了解它，是因為它能幫助他們解決日常問題。
拉姆齊理論最清晰的範例是一個名叫「 派對問題」（Party Problem）的場景。辦過派對的人都知道，確定賓客名單是一件難事。當然，你邀請的所有人都是你的朋友，但他們彼此之間是否存在友誼呢？圖論是研究關係的數學，它能幫助我們理解事物通過特殊關係彼此聯結的任何情況。比如說，鐵路線串起郊區，電線連接房屋——友誼凝聚人群。
舉個例子，假如你希望派對上有至少三個人要麼互為朋友，要麼互不相識。在這兩種情況下，你都可以保證他們聊得起來。如果這三個人互相認識，那他們會像著了火的房子一樣一拍即合。如果三個人全都是初次見面，那他們可以在你的派對上認識彼此。大家肯定能玩得開心！
圖論幫助我們理解、解決這個問題的第一條路是，它為我們提供了用數學形式來描述這種局面的途徑。生活中的某些問題之所以難以回答，是因為你甚至很難釐清局面。但是，如果我們能用簡單的示意圖提煉出關鍵的細節，問題就解決了一半。
下面的兩個圈代表派對上的兩個人。如果二者之間是實線，那代表他們互相認識，虛線代表互不相識。
利用這件工具，我們可以用示意圖畫出任意人際關係的「派對」，無論他們是否相識。如果除了A以外，我們還請了5個人來參加派對，那麼這位特定的客人（在這個例子裡是A）和其他客人的關係有12種基本組合。在這12種情況下，你都能看到有三個人的小團體被標亮了——他們要麼互為朋友，要麼互不相識。
因為我們總能找到三個互相認識或者互不相識的人，這意味著只要你邀請至少6個人，就一定能找到這樣的小團體。如果你想知道左頁的示意圖是怎麼畫出來的，我們又如何證明6是確保這一情況出現的最小數字，請直接跳到「6個人夠多了」那章。
這和我們的找單詞謎題或者陰謀論者又有什麼關係？呃，拉姆齊理論告訴我們，隨著組合結構（combinatorial structure）——它可能是一群朋友，也可能是一張找單詞的表格，甚至是報紙上的一篇文章——的膨脹，必然會出現特定的結構和「規律」。所以當我們的表格膨脹到一定的尺寸，英語單詞就會憑空冒出來。
進一步說，很多陰謀論也正是這樣開始的。只要資料庫夠大，渴望尋找規律的眼睛總能發現看起來可疑的東西。
數字命理學家是一群總在數字中尋找規律的人，他們擅長將重要的意義賦予特定的數字。2017年，數字命理學家度過了一個狂歡日，在那一天，音樂家傑斯（Jay-Z）發布了一張名為《4：44》的專輯，主打歌也與之同名，這位歌手兼創作人似乎在這個時間醒來然後寫了這首歌。
一位數字命理學家認為，這首歌的名字與傑斯的私人生活關係密切：「（他老婆的）生日是4日，他媽媽的生日是4日，他自己的生日也是4日，而且他是在4日結婚的。」這當然是個驚人的規律，但拉姆齊理論明明白白地告訴我們，在這個擁有70億人口的世界上，這麼巧合的事情必然會在某個地方發生。（歸根結底，一年裡有12個4日——這意味著現在活著的人里至少有2.3億人出生在4日，這些人里還會有相當一部分互相結了婚！）
拉姆齊理論宣稱，結構必然會自發地從混沌（只要它的規模夠大！）中浮現，有時候它會以最出乎意料的方式出現在我們的日常生活中。比如說，蘋果發布iPod的時候就遇到了超乎預期的自髮式結構。雖然在那之前，可攜式音樂播放器已經存在了很多年，但iPod問世以後，無論走到哪裡都能調用自己全部音樂庫的人出現了大幅增長。CD播放器一次只能裝一張專輯，iPod突破了這個限制，人們可以輕輕鬆鬆地把成百上千首歌放進口袋。
iPod shuffle同樣擁有這個新特性，除此以外，它的特點是隨機播放。這個型號的iPod設計理念是從內置曲庫中隨機挑選歌曲播放，實際上它也是這樣做的——但世界各地的用戶開始報告它的奇怪行為。「我的iPod會搗亂——我的曲庫里有幾十位音樂人的作品，但它會時不時一口氣連播4、5首同一個樂隊的歌！」他們覺得自己的播放器出了問題，不再像廣告上宣稱的那樣「隨機播放」。有人甚至提出了一套理論：他們認為自己的設備似乎有自己的性格，它特別偏愛某些音樂人。「我怎麼從來沒聽到過曲庫里麥當娜的歌……我的iPod似乎痴迷於噴火戰機樂隊！」
在拉姆齊理論的指導下，我們認識到，這樣的結果其實完全可以預見。如果你聽了幾百個小時隨機播放的歌曲，那你早晚會連續聽到好幾首同一位音樂人的歌。你聽的時間越長，這種事發生的機率就越大——就像找單詞的表格越大，就越可能自發產生有意義的單詞。
再跟下面這張表比對一下：
劇透警告：這兩張表格中有一張其實不是拋硬幣的結果——而是由一個人假裝拋硬幣編造出來的。你能分清它們的真假嗎？
數學會告訴我們答案：因為從可能性與機率的角度來說，拋硬幣這件事特別容易理解，所以我們可以相當準確地預測不同的結果序列（比如說正面後面緊接著反面，或者連續出現三個反面）出現的機率。真相是，第一張表記錄的是真正拋了硬幣的結果，第二張表是假的。第二張表里很少連續多次出現相同的結果，這暴露了它是人類編造的。人類認為連續四次出現正面或反面是不正常的——但要是你拋硬幣的次數夠多（如第一張表所示），這樣的情況必然會出現。
英國命理師兼魔術師達倫·布朗在一次表演中充分利用了這種現象，當著現場攝像機的鏡頭，他一口氣拋出了10個正面。在這個電腦合成特效的年代，大部分人覺得他肯定對影片做了什麼手腳。但布朗的確沒耍花招，無論是拍攝的角度還是剪輯——他真的連續扔出了10個正面。不過，為了拍到這段影像，他們花了九個多小時來拍攝，終於等到了10連正的畫面！這聽起來可能有點極端，但這麼長的拍攝時間幾乎保證了10連正的出現。如果連續扔2025次硬幣，你甚至會發現裡面連續出現正面最多的次數不是10次，而是15次！
這種數學現象還有更嚴肅的應用。說到機率，人類直覺地認為，任何事連續發生的機率都不大。如果是在賭場裡，這樣的直覺一旦出錯就可能引發災難性的後果。賭博成癮者常常報告稱，他們無法自控地堅信，連續輸了這麼多次以後，自己總歸會贏一次。這種賭徒謬誤（gambler's fallacy）既不正確又很可悲——相信這種謬誤的人往往會輸得身無分文，因為他們的直覺錯得離譜。
拉姆齊理論的這個方面與人類生理學的交叉產生的後果更加微妙。比如說著名的安慰劑效應：哪怕你吃下的藥、做的治療從生物學的角度來說對病情並無幫助，它依然有可能改善你的健康狀況。這方面的記錄多不勝數，所以人們在對新藥做臨床試驗的時候，才會要求在實驗組和對照組之外設置一個安慰劑組。對照組不用藥，實驗組使用待測試的新藥，安慰劑組用的是不含活性成分的糖丸——只是他們以為自己吃的是真正的藥物。
安慰劑組總會——無一例外——有人報告稱，新藥讓他們感覺好轉了，哪怕他們實際上沒吃藥。對他們中的某些人來說，病情好轉部分是因為他們相信自己真的吃了藥。人類的身體怎麼會因為子虛烏有的藥而出現真實的改善呢？
這是規律在發揮作用。現代人從小就在耳濡目染之下將藥物和健康聯繫在了一起，用心理學術語來說，這叫經典條件反射（classical conditioning）。條件反射會引發真實的生物學反應，這方面最讓人記憶猶新的案例來自俄國生理學家伊萬·巴甫洛夫。在那個著名的實驗中，巴甫洛夫只在搖鈴後才給狗食物。建立了這一規律以後，只需要搖鈴——哪怕沒有食物——參加實驗的狗也會因為期待開飯而分泌唾液。從統計學的角度來看，我們可以說，巴甫洛夫向狗群輸入了數據，暗示食物和鈴聲之間有某種聯繫。
現在我們把這個理念和拉姆齊理論結合起來看。假如你開始售賣沒有醫學療效的糖丸，只是給它們貼上了感冒藥的標籤。人們生病的時候會來買它，因為他們覺得這種有趣的新產品值得一試。根據拉姆齊理論，我們可以預測，如果購買、服用糖丸的人足夠多，那麼肯定會有隨機的一群人在吃藥的過程中症狀減輕，或者比平時好得快。於是這些消費者可能會不經意地將自己的好轉與服藥聯繫在一起，哪怕他們吃的是沒有療效的安慰劑糖丸！
只要掌握了正確的觀察方法，你就會發現，秩序的島嶼在混沌之海中無處不在。天空就是一個完美的舞台，它很好地展現了只要數據夠多，就必然出現各種不尋常的規律。白天，你會看到，天空中的白雲和魚兒那麼相像。
夜空更有力地證明了這一點：千萬年來，星空給人們提供了太多機會，人們想像出來的各個星座，有著五花八門的有趣形狀和故事。
作者簡介
埃迪·吳（Eddie Woo）
出身於華人家庭，澳大利亞著名數學教師。雪梨最大的公立高中的首席數學老師，三個孩子的父親。
2012年，吳因一位學生患癌失學，於是將課堂內容製作成生動有趣的視頻，並上傳YouTube供這位學生在家觀看。出乎意料的是，這些視頻很快受到了學生們的極大追捧，吳也因此被全世界的學生和數學愛好者所熟知和喜愛。至今，吳的YouTube粉絲已達140萬，視頻總播放量超過1億次。
2018年，吳獲評「全球教師獎」全球十佳教師。同年，他因突出的教育貢獻獲澳大利亞新州「年度當地英雄獎」 ，並出席澳大利亞國慶日慶典致辭，成為澳洲史上第一位在國慶日慶典上演講的華裔嘉賓。
本文經出版社授權，選自《吳老師的趣味數學課》（天津科學技術出版社，2022年5月）