万物
皆可拓扑
不同的人，看到的世界是不一样的。
就好像一个简简单单的甜甜圈，在吃瓜群众看来只是一张普通的Jpg
但在拓扑学家的眼里，却是一张会上瘾的Gif
所以，为了让大家都可以像拓扑学家一样，真正理解事物更本质的一面。今天，超模君就给大家来讲一下关于拓扑的神操作！
如何解决城市贫民区问题
在全球快速城市化的浪潮中，贫民区交通问题就像996的腰椎间盘一样，显得尤为突出。
狭窄的道路，不仅妨碍了基础设施的建设，而且还严重影响着应急车辆的通行。
但你要明白，没有什么东西是拓扑学解决不了。如果有，那可能是你拓扑学学得不够好。
拓扑学：是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
江湖甚至流传，拓扑就是幼儿园里的揉橡皮泥，研究被各种揉过的各种橡皮泥，以及研究怎么揉橡皮泥。
2018年，在 Science Advances 上出现了一篇关于拓扑的神论文《Toward cities without slums: Topology and the spatial evolution of neighborhoods》。
作者是来自美国能源部橡树岭国家实验室、萨姆休斯顿州立大学以及芝加哥大学的研究人员，他们希望通过将城市建筑空间分割成不同的街区，用拓扑简化城市结构，来解决问题。
具体怎么操作？以下图的理想街区S0为例（里面的9个小格表示不同的街区），作线连接相邻街区中心形成紫色对偶图S1，再将S1中四个新小格的中点连接得出S2蓝色小格，同样道理类推直到最后S3的一个红点。
对偶图：是一种特殊的映射图，在图论及其算法研究中，通常建立平面图的对偶图，将面转换为结点，邻接面用边相连，从而建立面之间的关系。
要知道，制作对偶图的主要目的就是用于判断城市的区块复杂度。一般来说，城市最深的对偶图层数代表该城市的区块复杂度。
就拿纽约、布拉格和哈拉雷这3个城市进行对比，你会发现，纽约和布拉格的区块复杂度是2，而津巴布韦哈拉雷的区块复杂度是3。
他们认为，贫民区的区块复杂度，往往是最高的。而在其深层的对偶图中，一定存在缺乏通道的场所。只要找出这部分，并对其进行小改造，就能以最低的成本解决问题。
在阐述完分析思路后，研究员便着手针对更贫困的南非开普敦市 Khayelitsha 地区进行讨论。
南非开普敦市 Khayelitsha 地区
在上面花里胡哨的对偶图，他们算出了这个Khayelitsha 地区的区块复杂度是9。可以说，区域连通性已经差到不能再差。
右侧的热力图描述的是任意两点之间通行所需距离，距离越远则颜色越红。
道路改造前（图B），所有点位之间通行的距离整体较长，连热力图显示的是也是偏红颜色。
为了摆脱这糟糕的状况，研究员提出了改造4条短道路的方案。
万万想不到的是，在补充了四条短路之后（图C的红、黄、橙、绿），街区所有点位之间的平均通行距离得到了大幅度的减小：从220米减小至140米。在热力图上，基本没有红色。
要明白，这么大的改变只是简单的修了4条路，而且
目前，该论文的相关数学模型已经被应用在城市改造中，包括南非的开普敦和印度的孟买。
回顾这篇神论文，你会发现，正确的拓扑分析，会直接帮助研究员简化了复杂的城市结构，让他们可以更快速找出复杂程度高的地方，且能更直观的针对街道作连通性的改造，进而改善交通风貌。
关于拓扑
当然，用拓扑解决实际问题并不是第一次，最早还得从著名的“七桥问题”说起。
18世纪，欧拉大神用实力证明了不可能在所有桥都只走一遍的情况下，走遍连接河中心两个小岛和两岸的所有七座桥。
读过数学史的都知道，欧拉的解决方法是忽略了桥的长度和岛的大小，将岛和桥简化成了平面上的点与线。
欧拉的发现为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）将欧拉的才智进一步发展，对于这一新的数学领域，引入了“拓扑学”的概念。
数学家们觉得拓扑学十分有趣，在此后的一个多世纪，数学家们进行了大量关于拓扑学应用的研究。但是，这只是在研究，并没有将它进行实际应用。
直到20世纪90年代，拓扑学的应用终于开始真正的发展。比如说在生物学领域，通过扭结理论理解DNA的结构。
2010年，甚至有科学家证明了DNA可以通过多条链之间的配对关系，形成超螺旋环和链环结构等拓扑结构。（例如组装一个莫比乌斯条）
他们称这种原理，可以在分子工程中用 DNA 组装出各种未知的有意思的结构。
又比如说宇宙学领域。
我们可以通过拓扑，来理解浩瀚宇宙的形状。
在这里，举一个接近庞加莱猜想的实验：拿一个子弹，其后面系着一根无限足够长的绳子，然后将子弹发射到太空。假设在子弹的带领下，绳子绕着宇宙自由翱翔一圈后回到了地球。
图片来源于NHK Documentary
当子弹飞回地球时，一个大绳圈便会形成。我们要做的，就是用力抓住绳子往地球上收回来。
图片来源于NHK Documentary
根据能否收回绳子的两种情况，你便能确定宇宙的拓扑形状了。
图片来源于NHK Documentary
可能会有些模友会懵逼，怎么就确认形状了呢？这时候，就需要各位发挥想象力了。
假想我们从上帝视觉去看宇宙，如果宇宙是球形的话，那么绳子会收回地球：
图片来源于NHK Documentary
但如果你发现绳子被卡住了，拉不回来了，那么宇宙就很有可能存在一个你无法看见的巨洞。（此时，你也可以理解宇宙就是一个“甜甜圈”）
图片来源于NHK Documentary
而用数学界的专业术语来解释这种现象的话，那就是
还有在机器人领域中，我们需要融入拓扑学知识，使得机器人以有效、安全的方式连续改变方向。
当然，在生活中也有很多拓扑学的身影：
计算机学家通过扭结在一起的同轴电缆制造量子计算机；
医生以同调论为基础为病人做大脑扫描；
通信公司运用拓扑学来决定如何布置基站进行网络覆盖；
手机的照相功能也是通过拓扑学原理实现的
还有，超模君用莫比乌斯带做了个戒指表白，然后被拒。
......
有人曾说，拓扑论之于数学就好比进化论之于生物学一样的地位。因为几乎在每个数学分支中，比如说动力系统，统计理论，微分几何，现代代数，群论和图论等等，都会涉及到拓扑知识。
而更重要的是，掌握了拓扑学的人，在看待问题的时候，都会能从一个全新的视角出发，去分析解决。
别问超模君是怎么知道的，因为拓扑高手在民间。