1990年，黃霑受邀為徐克的電影《笑傲江湖》譜曲，前前後後寫了6稿徐克都不滿意。「走投無路」的黃霑從古樂中得到靈感，用中國傳統五聲音階宮、商、角、征（zhǐ ）、羽寫出《滄海一聲笑》的基礎旋律。
徐克一聽拍案叫絕，一首經典「神曲」就此被傳播開來。然而中國古音的歷史與成就可不止「宮商角征羽」這麼簡單，細算起來，就算是影響了整個西方古典音樂史的巴赫也曾深受中國傳統音律的啟發。
《笑傲江湖》經典片段
音律，是數學與藝術緊密結合的產物。不管是古代音律的五聲音階，還是現代通用的十二平均律，無一不是經過細緻數學計算的產物。而中國在音律發展史上的步步領先，也體現了我們民族在數理上的過人之處。
中國古代音律的起源，要追溯到一位人盡皆知的歷史人物——春秋時期的管仲。
被譽為「華夏第一相」的管仲
古籍《管子·地員篇》中記載了世界音樂史上最早的一種求律方法，史稱「三分損益法」。原文是這樣寫的：
凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是黃鐘小素之首，以在宮；三分而益之以一，以百有八，為征；不無有三分而去其乘，適足以是生商；有三分而復於其所，以是成羽；有三分而去其乘，以是成角。
翻譯過來的大意就是：想要求出五音，首先應該找出一個標準音，即「黃鐘」，也就是「宮」音。這個音被「三分四開以合九九」，那可以假定其對應的弦長比數為81。
接著將宮音的長度增加三分之一，算出低四度的「征」音，那麼「征」就是81+81/3=108；再將征音的長度減去三分之一，可得出征的高五度音「商」，為108/3*2=72；把商音的長度增加三分之一，可得它的低四度音「羽」，為72+72/3=96；最後把羽音減去三分之一，可得弦長比數為64的「角」音。
由三分損益法得出的五音
這種五聲音階法在中國古代音樂中被稱為「正聲」，是古今中國民間音樂最為常見的音階形式。事實上，由此推算出來的「宮商角征羽」對應現代音律就是「do、re、mi、sol、la」。
大家會發現「fa」跟「si」這兩個現代音律不見了，但其實按照管仲的「三分損益法」，完全可以繼續計算細分下去。加上「fa、si」的七聲音階甚至是十二律都可以用這個方法往下演算出來。
而主要的問題在於，這個公式算出來的五聲音階儘管悅耳動聽，但是相鄰音階之間的頻率之比卻是不固定的。根據上面宮商角征羽的數值比例計算，大部分音階之比是1.125，而中間總會有一個比是1.185循環……
所以「三分損益法」可以求出「十二律」，在《呂氏春秋·音律》篇中也確實記載了從「黃鐘」、「大呂」到「無射」、「應鐘」的完整十二律，但這卻是不平均的十二律。
《呂氏春秋·音律》中記載的古音十二律
這種十二律會出現「仲呂極不生」、「黃鐘不能還原」的現象，暴露出十二律不能回歸本律及無法旋宮轉調的問題。是的，早在上千年前，我們的古人就已經不滿足於一個調子到底的音樂。
想要轉調，就必須解決十二律不平均的數學難題。
我們把目光轉到西方，西方音樂在我們的印象中似乎十分發達。貝多芬、莫扎特、巴赫……無數音樂偉人構成了一個龐大的西方古典音樂體系，那麼他們是如何解決這個難題的呢？
巴赫肖像
他們有抄我們明朝人作業的極大嫌疑……
事實上，西方音樂世界因為前期發展較慢，直到管仲去世近150年後才遇到這個難題。由古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯提出的音律「五度相生法」與管仲的「三分損益法」有著驚人的相似度。
而五度相生法創造出來的西方五聲音階，面臨著與中國古代音律一樣的「不平均」問題。在中國，先後有漢代京房六十律、五代劉燀十二等差律、宋代蔡元定三分損益十八律等等嘗試出現，南北朝時期甚至出現過三百六十律這種「大數據」。
然而這些音律要不就還是不能成等比例，要不就是強行等比而忽略了音律的動聽韻律。直到公元1587年明代朱載堉「新法密率」的問世，才完美解決了這個困惑了東西方音樂家、數學家近兩千年的歷史難題。
簡單來講，朱載堉就是將一個八度平分成了十二份來求這「十二平均律」。那麼從第一份到第十二份，則必須是兩倍（一個八度）的關係。假定第一個音律為X，那麼它必須被某個固定數值乘12次之後變成最終的2X。
朱載堉著《樂律全書》
這個固定數值以現在的數學語言看來是12次根號2，對於現代人來說，不過是按幾下計算機的問題。但在明朝的朱載堉手中，就是「徒手開十二次根號」的數學難題。
為此，朱載堉特製了一個多達81位的巨型算盤，靠人力硬生生把它給解出來了。解出來後，朱載堉不僅製作出了世界上第一架定音樂器，還將自己的研究成果呈進朝廷。
朱載堉令人頭禿的計算結果
55年後，法國的數學家馬林·默森（Marin Mersenne）也在自己的著作中寫出了與朱載堉一模一樣的等程律數學表達式。作曲家巴赫一生極推崇平均律的作曲運用，直接影響了後世無數音樂家。
而在那個傳教士頻繁往來於中西方的年間，各種技術是其通信的主要內容。是否是朱載堉在中國不受重視的十二平均律經由傳教士之手到達西方世界，我們已經不得而知。
經由一代代數學家與音樂家的接力配合，才有現代各式各樣音律模式開花齊放的局面。而十二平均律始終占據主流的突出地位，更體現了人類對於韻律藝術與平衡規律這種玄妙結合的偏愛之情。
至於數理與音律這兩對讓人難以捉摸的雙生子，我們還遠未窮盡對它們的探索。
參考文獻：
Bilibili視頻網：李永樂老師講音律
山東師範大學 《論管子 三分損益法》文/羅天全
協商論壇 《朱載堉：「布衣王子」的科研、音律路》文/ 趙慎珠
福建師範大學文學院 《河圖洛書：朱載堉十二平均律的理論原點》文/黃黎星
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