我們班的奮鬥史：從南大數學系77級畢業之後

1987年，在被提升為校長辦公室副主任兩年後，冒榮離開校辦，擔任了高等教育研究所的副所長。這時，他開始考慮自己未來的學術道路應該通向哪裡。事實上，大學畢業前，他曾經考慮過結合自己的文學愛好，將來從事數學史的研究，於是他研讀了一些經濟學和數學史方面的書。美國數學家和數學史家、蘇格蘭後裔貝爾(Eric Temple Bell，1888-1960)於1937年出版了一部影響過幾代數理學家的科普巨著。上海科技教育出版社2004年出版了該書的徐源譯本，書名取為「數學大師：從芝諾到龐加萊」。貝爾的學士和碩士學位都屬於文學，然而他1912年獲得哥倫比亞大學的數學博士學位。他雖然拿過美國數學會以數學家博歇(Maxime Bôcher，1867-1918)命名的博歇獎，但他被世人記住的主要是這部描繪了從古到今三十多位數學大師的傑作。此書寫得妙趣橫生，讀之令人愛不釋手。少年時代的楊振寧(1922-)就被它迷住了。它的英文原版和中文翻譯版我都讀過幾遍。我的寫作也受他的風格影響，力求語言生動活潑，比喻引人入勝。當年的冒榮完全具有貝爾的人文素養及數學史的寫作才華，但是他最終沒有真正從事數學史的研究和著述，而是選擇了在更為廣泛的教育科學領域耕耘。

冒榮一邊工作，一邊讀書不輟。到了九十年代，他在職攻讀了南京大學歷史系的博士學位，論文指導老師是有名的茅家琦(1927-)教授。但是，冒榮並沒有停留於茅先生擅長的太平天國史，而是進入了科學史的世界，可能他比博士導師更具科學素養。他已出版成書的博士論文專論「中國科學社」，這是1914年由在康奈爾大學就讀的中國留學生任鴻雋(1886-1961)、趙元任(1892-1982)等所建立的民間學術團體，為近代中國德先生、賽先生的引入和面向大眾的科學普及立下汗馬功勞。這部書我讀完後深受啟迪，我不僅了解了這個近代中國最早出現的科學組織的歷史，而且再次被老同學精湛的寫作技藝和嚴密的邏輯思辨所折服。

冒榮參與了一本精裝厚書《南京大學史》的編著，該書由南京大學出版社於1992年推出。那年夏天，出國六年半的我第一次回國探親，自然也和在寧的同學歡聚。冒榮不僅熱情地款待了我，而且也讓我分享了新書出版的喜悅。留下他墨跡「丁玖學友惠存。冒榮，1992.8.12」的這本大書，成了我那次回國後帶回美國的寶貝，也為我後來有關中美教育比較的中文寫作提供了極大的便利。所以，我衷心地感謝冒榮。

李曉銘是留校同學剩下的八人中唯一沒有從事教學的。他是班上為數很少的願意花時間為全系服務者之一。他曾被教育部評為「全國新長征突擊手」，好像是我校那個年度的唯一獲此榮譽者。自然，他的工作重心越來越朝思想政治行政管理方面靠攏。畢業後他先留在系裡擔任政治輔導員。其實他畢業前就是我系大一新生的業餘「輔導員」。他輔導過的一名童音未改的少年，現在早已是加州大學伯克利分校數值代數領域的正教授了。那時李曉銘安排過他管理分到各年級班級的報紙，所以我常見到來我們宿舍找李大哥的這位娃娃大學生。

李曉銘在職場上進步神速，其加速度可和數學領域的田剛相比，他很快擔任了系團總支書記一職。不久，學校注意到像他這樣的政治覺悟高又受過數學訓練的人才，放在系裡，就像讓諸葛亮當龐統的副手一樣有點虧待他了，於是，他很快就調到校級部門，成了匡亞明的繼任校長曲欽岳(1935-)的智囊團一員。他逐步開始對教育心理學產生了濃厚的興趣。機遇到了，隨著1984年自費公派出國留學風颳起，他躍躍欲試，和我們剛剛拿到碩士學位的幾個老同學一樣，向美國投去了研究生申請材料。郵件的目的地不是曾經武裝了他大腦的數學系，而是他後來興趣所在的教育心理系。李曉銘能申請到美國的獎學金得益於魏木生願意幫助別人的火熱心腸。後者正在明尼蘇達大學數學及應用研究所從事博士後研究，便近水樓台地向老同學申請就讀的本校那個系推薦了他。美國人和中國人一樣也講人情，相信近在眼前的人的推薦語，所以魏木生的幾句美言就打開了系研究生事務主任資助外國研究生的錢匣子。我還記得那年李曉銘到教育心理學專業全美領先的這所巨無霸大學後，寫給我的第一封信。

李曉銘後來的發展很順利。他拿到博士學位之前找工作，我的母校密西根州立大學請他來校園面試。他去後到處找不到我，因為我已經南下南密西西比大學當教書匠去了，忘了通知他。他的第一份工作是在馬里蘭大學位於巴爾的摩市的醫學院兒科系，成為一名正式的兒童心理學助理教授。後來的三十年間，他跳槽過幾個學校，北方、南方不斷來回折騰，一個原因是他有名的博士論文導師也來回折騰。現在他是美國南卡羅來納大學的講座教授兼某個中心的主任。多年來，他情系祖國的愛滋病患者，申請到美國的基金，新冠疫情前每年回國和專家共同對付這個難題。他的長期合作者中也有冒榮。李曉銘的故事證明了，學過數學的人，即便只學到本科畢業，在應用型領域可以很有建樹。

幫助李曉銘從中國去到美國的魏木生，在大學畢業之時最應該報考研究生。卻因為年齡這座難以逾越的大山，當我們這些小字輩滿懷憧憬計劃未來時，三十四歲的老魏安於畢業後當個南京大學的數學老師。可是，對他的未來充滿希望的師輩們不會放過他。他們舉起孫悟空的金箍棒對他當頭一棒，大喝一聲：去美國深造！魏木生的內心渴望終於被徹底喚醒。我們班被南京大學公費公派出國留學的只有兩人，而且是兩個老三屆，就是他和何炳生。魏木生是作為留系教師去了美國，而何炳生則作為碩士研究生先轉為留系教師，再被派往德國。這兩人都沒有辜負數學系對他們的期望。

魏木生1986年就從美國應用數學的重鎮布朗大學拿到博士學位。這所名校的應用數學系，憑藉其世界性的學術聲譽把本校主要由純粹數學家組成的數學系拋在後頭。還是由於十年黃金年華的耽誤，老魏的雙博士導師之一喬治·邁達(George Majda，1952-2004)教授比他的年齡還要小。導師的哥哥安德魯·邁達(Andrew Majda，1949-)比老魏還小了一歲，比弟弟的名氣大許多，是個在美國國家科學院掛上院士名號的應用/計算數學大牛。可惜魏木生現在只剩下那個更年長些的博士論文導師施特勞斯(Walters Strauss，1937-)教授還活著，因為他的共同博士導師邁達教授多年前因憂鬱症而自殺身亡。

現已九十七周歲的老壽星紐約大學柯朗數學科學研究所的拉克斯(Peter Lax，1926-)教授，是個比魏木生導師的哥哥還要牛的大數學家。這樣的天才，似乎只能像馮·諾伊曼(John von Neumann，1903-1957)那樣出生在匈牙利。是的，他就是匈牙利人，在上世紀四十年代初來到美國投奔他的偶像數學家馮·諾伊曼。他拿過多少貨真價實的大獎，我這裡寫不下。幾年前我讀過他的一位也已垂垂老矣的博士生寫的一本拉克斯傳記，但還沒有時間為《數學文化》雜誌寫上一篇讀後感。我被他的業績深深地感動了，讀完書更相信一部數學史是由那些天才人物所創造的。

我為什麼突然提到拉克斯？原因是魏木生的博士論文推翻了他的一個猜想。這是老魏在三十八周歲獲得博士學位時做出的成果。這項研究是關於所謂的散射波的計算問題。拉克斯是散射波理論的世界權威，早有專著出版。但是大人物也會犯錯，就像莫斯科大學校長彼得羅夫斯基(Ivan Petrovsky，1901-1973)院士關於極限環個數的一個猜想被田剛的南大數學家母親推翻了。同一個道理，拉克斯的猜想被魏木生推翻了。這下，散射波的權威不服也得服。但是他不像一些東方人，被人發現犯了錯還死要面子，更不要說公開誇獎對方了，那些誠實的西方學者對真理服服帖帖。於是拉克斯院士熱情地為非自己弟子的魏木生寫了一封強有力的推薦信，幫助這位學術新星冒尖。

我九十年代就知道，美國工業與應用數學會旗下幾乎所有的期刊都刊登過魏木生獨立署名的論文，它們包括《數學分析雜誌》《應用數學雜誌》《矩陣分析與應用雜誌》《數值分析雜誌》這四大期刊，剩下的幾個期刊因為不屬於他的領域而無法投稿，如《離散數學雜誌》和何炳生經常光顧的1991年才創刊的《最優化雜誌》。我有幸在最後這個雜誌的創刊號上發表過和導師合作的一篇論文，這是我撰寫屬於其他領域的博士論文前，在老本行內完成的一項不值一提的工作，後來我就永久性地離開了最優化領域，想想有點可惜。魏木生在數值代數的好幾個領域都做出了傑出的工作，因篇幅所限此處只能提一項。他做博士論文時碰到虧秩矩陣的最小二乘問題，需要對此做出「攝動分析」。他問數值代數的世界權威、美國的雙院院士戈盧布(Gene Golub，1932-2007)教授，有現成的理論嗎？對方搖了搖頭，於是魏木生開發了這個子領域，既解決了他的散射波計算的誤差分析，又發表了關於虧秩矩陣廣義逆攝動理論的第一篇論文，這也是我這輩子發表的第一篇學術文章的催生婆。後來從有限維的矩陣到無窮維的線性運算元，他的開創性工作像高人的魔笛一樣引發了一群「老鼠」跟上，許多人通過撰寫這方面的論文晉升為教授。我從二十多年前美國工業及應用數學會定期出版的新聞簡報(SIAM News)上，讀到美國另一位數值代數學家寫的一篇關於中國數值代數印象的文章。這位行家把魏木生視為中國數值代數之王。對此，戈盧布也是「英雄所見略同」的。2020年元月，海外的一位優秀華人計算數學家告訴我，他的博士後導師戈盧布教授對他說過：「中國最好的數值代數學家是魏木生。」

在我班所有當大學教授的同學中，魏木生可能最受學生的尊敬，此處我也只列舉二例。當他六十五歲時，他在國內培養出的碩士博士統統聚在一所大學為他祝壽，也印出了厚厚的大開本《魏木生論文集》。到了他七十歲時，更多的學生——因為他古稀之年還在指導學生——開了一個學術研討會，順便慶祝他的生日。在我的所有同學中，只有我們倆在海外同一所學校——密西根州立大學的同一系共享一年時光：他當時是博士後，我是博士生。那是1987-1988這一學年。年齡上他四十歲，我快到三十，所以在他四十歲生日那天，我代表老同學們慶祝他進入不惑之年。

徐萬紅這個魏木生的老朋友，可能比後者大那麼幾個月，他子孫滿堂，其中一個孫女已經大學畢業了。當年我很難理解他這個聰明人為何剛留系不久就「鬧」著要回老家——兩年後調回家鄉的中學、也是離他家最近的母校口岸中學教書。現在我知道了原委，一方面，那時配偶異地調動很難實施，另一方面，他像南京大學數學系歷史上的那些海外留學的教授一樣急於回母校服務，不過他回的是中學。當時，中國的中學教育已經開始比大學教育任務更艱巨了。比如說，我們那時候中學只做了幾百道代數題，但在大學做了成千上萬道高等數學題，田剛自稱做了兩萬多道，後來反過來了，中學要做幾萬道數學題才能考上大學，但大學生只想做一千道，或者不做更好，所以，初等和高等數學水平都極強的老徐要調回老家中學發揮他在這個巨變後的教育戰線應該發揮的能量。有一年，他作為高考閱卷老師來寧，我們幾個研究生也參與批閱數學考卷，聊天中他就推測哪幾個得意門生要沿著他當年的足跡走進南京大學。

留校的九人中，莫寄怡、黃衛華、傅冬生及翟燦芳留系任教。由於莫寄怡早逝，只剩下三位為計算數學的學科建設與學生培養傾注心血。他們從我們的老師那裡繼承了認真教書的美德。黃衛華三次被學生評為南京大學「我最喜愛的教師」，並獲得「恆星獎」。他是全校唯一一個在三個校區——鼓樓校區、浦口校區及仙林校區都獲得過這個榮譽的教書先生。前後留校的同學中，宋方敏和傅冬生也當之無愧地獲得過南京大學「我最喜愛的老師」稱號。黃衛華和傅冬生在母校從未婚青年一直教到法定的退休年齡。對於這個一刀切的退休政策，鑽研過最優化理論並已在美國教了三十多年書的我深深覺得完全是浪費了寶貴的人才。美國國會曾在二十世紀八十年代制定了鐵的法令，禁止校方強迫有終身聘用權的教授退休，所以我2017年5月在揚州採訪過的一位美國教授八十周歲那年還精神抖擻地天天去學校上班。可以說我這兩位老同學的制度性退休，按照已故無產階級革命家的追悼會上的一句固定用語，「是黨和國家的重大損失」。身體健康的翟燦芳就怕六十歲退休，因為他三十周歲才開始工作，所以他大學畢業十多年後只好去了退休時間靈活機動的美國。現在他也到了古稀之年，但他還以為自己才六十歲呢，因為退休是自選項目。

同樣留校的張朝宓畢業時進駐了剛剛恢復的經濟學系，因為那裡急需數學老師培養未來的經濟學家。隨著改革開放漲起的經濟大潮，使不久前曾經沸騰過的數學系、物理學系、天文學系大幅度地冷卻了。而經濟學系除了政治經濟學專業外，其他門類頻頻招來高考狀元級的新生，尤其是前面加了「國際」一詞的那個學科方向。所以張朝宓比其他同學教書更有激情，因為坐在她教室里的全是頭腦靈光未來想奔華爾街而去的追夢者。南京大學經濟學系幾十年來的發展肯定比數學系快上幾倍，早就進化成一個名聲響亮學科齊全的大學院，連我們曾經的輔導員邱增煌老師也被它挖去管理一個金融證券部門。而何炳生這位比一般老師可以多工作五年的博士生導師六十五歲從數學系退休後，也被工程管理學院作為專職研究員聘用兩年。

在南京其他高校任教的八個年輕人，除了唯一的女生喬羽芒不久離世，其他七個小伙子都感覺良好，其中最高興的可能是李亞非、張毅、胡著信和夏霖了，因為他們甚至可以天天回自己的父母家加餐。他們將高等數學的基礎知識一屆屆傳給嗷嗷待哺的大學新生，給他們注入未來在工程科學的天空賴以翱翔的數學動力。同時，他們也不忘自己作為計算數學家的職責，為埋頭苦幹的工程師們設計出快速有效的計算程式。張毅先在南京林業大學計算中心的國產TQ16及從法國布爾公司進口的DPS-6小型計算機上移植開發統計和常微分方程數值解等教學軟體。很快他就被提升為校基礎課部的計算機教研室主任，然後再上升到主管全校基礎課(包括數理化、計算機、外語等)教學的部副主任。所以我班同學中的宋方敏和張毅都在南京的高校肩負了系副主任或以上級別的重任。張毅後來將自己的人生舞台搬到了加拿大的大城多倫多，繼續施展自己的才華。

如果你追問在東南大學乾得很棒的蔣珉教授，他可以給你講他身居其中的故事，三天三夜不睡覺。為了當好工程師的參謀，他一不做二不休地又念了一個工程碩士學位。這就是數學加上理工的如虎添翼了。據說數學出身的人專攻工程比嬰兒學說話還要容易。我認識的一些數學博士，不費吹灰之力就在工程系領到講座教授的牌子。這一點，在工程界獲過獎收名利的蔣珉最有體會了。早已發家致富的他，靠的是金融投資以及他與生俱來的腦袋和玩得恰到好處的數學，他可說是由數學家搖身變為投資家的美國大亨西蒙斯(JamesSimons，1938-)在中國帶出的一個成功徒弟。但是，像蔣珉這樣不知疲倦的教授畢竟還是少數，分到南京高校的其他幾個同學，則安安心心地以教書育人為榮。他們的書真是越教越厲害。比如居志建不時地被其他高校請去傳授年輕教師高等數學的教學秘訣。他教微積分，會形象化地為學生解釋難懂的數學概念，例如，常為太太削蘋果的他就教學生練好把蘋果削圓這一絕技，以此領略無窮次可微的意境，這樣一箭雙鵰，學生們既學到了數學知識，又為今後當一個好配偶做了必要的準備。張朝宓曾給我們描繪過學生給夏霖畫的素描，但他自己的更多故事我們難以從他嘴裡獲知，只有等到以後請他的後人慢慢講述了。封峰任教的中醫學院，像幾乎所有專門化的中國高校一樣，發展成包羅萬象的綜合性大學，尤以與信息相關的專業最吃香。這不難理解，因為中醫的搭脈診斷本質上就是設法獲取人體中各種與疾病有關的信息。可以想像，幾十年來，封峰的計算數學本領在這方面一定有用武之地。

這七名小伙子中的胡著信，當了幾年的大學教師後，又一次當了學生。不過這次他的課堂跨越了太平洋，落腳到伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校的校園內。他運氣好極了，因為他崇拜的華羅庚1950年歸國前就是他讀博士學位的這所學校數學系教授。此時，胡著信的興趣從數論逐步擴展到圖論、組合優化、算法理論加上拓撲。有這麼多的不同學科知識，工作後的胡著信如虎添翼。有次他接到一個投資組合優化方面的項目，這是他剛入職的公司幾年來一直試圖解決的難題，而胡著信只化了幾個星期就完成了任務。他編寫的電腦程式，不僅算得快，而且易於使用，這個數學模型與程序算法合於一身的典型難題，被他順利地攻克了。

班上分配到南京科技部門的兩名同學都是女性，可見系領導早對她們用數學協助技術的無窮潛力瞭然於胸。我九十年代第一次回國與同學聚會時，就驚嘆於她們在各自單位獨當一面的能幹勁兒。那時我還僅僅是個教了兩年書的助理教授，除了本分工作教書外，就是寫一些沒幾個人看的專業文章。反觀這兩個不讓鬚眉的巾幗英雄，領導的是一個技術團隊，做的是看得見摸得著的創新工程，得益的是社會大眾，能不讓我由讚嘆升為羨慕嗎？

班上另兩個和她們一樣有作為的同學是李玉華和遊星輝這兩個你從名字上分不出性別的一男一女，不過他們貢獻才華的舞台更大，是在北京的機械工業部。那時國務院下屬的國家管理工業的部門全部都用序數詞命名，和解放戰爭時期三大戰役中解放軍的第幾野戰軍代號一模一樣，所以不了解情況的人光看它們的名字真不知道是幹什麼的。李玉華加盟的一機部與普通百姓所理解的機械相關，但遊星輝的七機部一般人就不了解了，它與國防工業有關，管的都是保密級別的軍工企業。於是我們對游同學畢業後多年在那裡創造的輝煌幾乎一無所知，甚至她有沒有像「兩彈元勛」王淦昌(1907-1998)那樣為了研製原子彈而改名為王京，我們也不能證明沒有這種可能性。至於李玉華，他在計算方面的天賦之才，讓他在工作崗位上如魚得水、遊刃有餘。十多年前當我再一次見到他時，他的辦公室已經屬於清華同方這個著名高科技企業的一個子公司了。

眷戀無錫老家、選擇回家鄉與太太團聚的顧永剛和薛富林，各自進的工廠的名稱也是枯燥無味的阿拉伯數字；軍隊最喜歡玩這一套把戲了，尤其是部隊醫院的名字。到了新時期，許多軍工企業開始了民用化，它們的科研實力讓普通消費者受惠無窮。而作為計算專家的顧永剛這個干工作不要命的實幹家，為所在企業的現代化轉型灑下智慧的汗水，甚至到了積勞成疾的地步。功夫不負苦心人。他的科研成果獲得電子工業部的科技進步獎，也拿到了一項科技發明專利。許多人比較國內名校時都說過南京大學是最不圖虛名的名校，這是中央大學羅家倫(1897-1965)校長制定的「誠、朴、雄、偉」四字校訓最直接的結果。顧永剛是母校校風的最優秀踐行者。薛富林則以徐萬紅為榜樣，為了照顧家庭和培養孩子，最終調回無錫的一個民營企業工作。

回到家鄉雲南省的普樂，事業上的成功幾乎可以和彝族前輩、共產黨將領羅炳輝(1897-1946)相提並論。國產電影《彝族之鷹》描寫的就是羅炳輝的生平，他不僅是普樂父親的入黨介紹人，也是普樂心目中的英雄偶像。羅將軍為了中國人民的解放事業戰鬥到生命最後一息，而普書記則對中國有色金屬工業的最大企業之一領導有方。他獲得過碩士學位，曾是中國有色金屬總公司系統內最年輕的副廳級幹部，也擔任過一家中國五百強公司的副董事長。然而他最引以為傲的成就卻是主持昆明貴金屬研究所的企業化改制並讓其成功上市，這是在行業內引起普遍關注的典型改革案例，該企業現已成長為兩百億元營業收入的高新技術集團公司。他的成就得到了公認。2012年，當我們在母校一百一十周年校慶之際聚首南京時，普樂一身具備了兩個身份：我們的大學同學、雲南省校友會會長兼返校首席代表。

和我們共度四年大學的幾個「外來戶」，後來的事業發展完全是「數學使人發達」的好例子。我在2017年10月底的「四十年聚會」上第一次見到畢業後的王潤秋，他名片上的中國石油大學「博士生導師」就解釋了一切。王潤秋的大學好夥伴戴群，則為南京的水利科學研究院效力。畢業前夕因病而未能和大家留下臨別贈言的湯一鳴以他的數學訓練保障了他所在的銀行系統的安全。李躍明法國歸來後，又去了澳大利亞，為那裡的政府醫學機構貢獻數學才華，她曾告訴我她工作中經常用到的數學工具是「時間序列分析」。

張曉京有個傳奇的故事，故事的關鍵詞是「對數」。他和我同一屆初中畢業，但沒有像我那樣繼續讀高中，而是進了南京永豐化工廠當工人，有天因為看收音機原理書時沒有搞懂為何「增益」計算會把「乘法」莫名其妙地變成「加法」，於是他向以「摘帽右派」身份被發配到本廠的老大學生王師傅請教。王師傅的一句簡短回答「這是對數原理」激發起他自修高中數學的熱情。幾年間在王師傅的幫助下，自學成才的他學進了七七級的大門！張曉京或許是我班除了翟燦芳和錢邁建以外的另一個沒有高中文憑的同學。他在南郵讀了工程碩士學位後，一鼓作氣地去了美國南方的一所大學攻讀數學博士學位，然後受僱於亞特蘭大的一家公司，到現在還精神抖擻，為華人社區的各種公益活動助力。

周會群是我班唯一的土生土長的外來戶，即他進的是有好幾個中科院院士的南京大學地質系，讀的卻是計算數學專業。他與我們一同上課，但不同吃同住，地質系專門為他指定了指導教師，所以他很少參與我們的班級活動。然而他一旦參加，就會給我班帶來榮譽，比如他在全校上演的話劇《於無聲處》中是主演之一。記得當年同學時我們聽說他的專業是貼上「保密」標籤的，嚇得我們不敢隨隨便便地向他「刺探軍情」。他後來的學術軌跡遍及亞洲和北美洲，最後落腳到母校的地質系。雖然我對他的研究領域知之甚少，但他淵博的知識、深厚的學養通過微信群的快速傳播，就讓我對他肅然起敬。

好了，現在可以講講在本系讀碩士研究生的那些夥伴了。純粹數學的風頭總是要蓋過其他學科的，儘管有時候學純數學的一些人純數學的功底卻可能比非純數學出身的人還淺些，就像我在美國讀應用數學博士學位和教書時見到的那樣。言歸正傳，在此，我先讓具有遠大前程的純粹數學家們依次登場。宋方敏這個數學小才子，在我眼裡，是應該拿到碩士後到西方去念博士學位的，像我們一部分的同學那樣。但他就是賴在母校不走，跟隨莫紹揆(1917-2011)教授一路念到博士，成了後來流行的「碩博連讀」政策的早期實踐者。他乾得比其師兄弟們都好，儘管後者都像我一樣去了西方取經，卻沒有取到導致更大建樹的真經。幾年前我們在美國相遇，他告訴我他現在研究的領域包括「量子計算」，嚇了我一跳，因為我只知道國內最出風頭的潘院士賴以出名的「量子通信」中也有「量子」一詞。

王宏玉和徐興旺一直在微分幾何的康莊大道上前行。數學和其他行當一樣，各分支也有「潮流」和「末流」的周期變化，就像現在熱鬧的「大數據」或「人工智慧」。當今，幾何和拓撲統治現代數學，而一甲子前最風光的泛函分析被迫退居二線了。這全是理論物理學家讓前者得寵。王宏玉1988年寫好的博士論文發表在微分幾何領域最好的雜誌上。據說他在北大求學期間深得導師的欣賞。但他也遭遇過一次尷尬時刻，在他畢業前，老同學王雪平拿到法國的國家博士學位，回到北大，職稱一給就是副教授，比「博士生」高了幾個級別。現在田剛領導的北京國際數學研究中心在職稱上一般不會這麼慷慨了。後來王宏玉憑他關於楊-米爾斯方程的博士研究成果去了哈佛大學丘教授處做了兩年的博士後，隨即又在杜克大學教書一年，然後直奔新加坡國立大學。新世紀的曙光到來之時，家鄉的揚州大學也看到了曙光，把他挖回到那裡當了十年之久的數學科學學院院長。他的成績之一就是在極短時間內將揚州大學數學科學學院提升為「有博士學位授予權」的單位。

徐興旺做數學的最大特點就是尹光炎說過的「恆心」二字。他在自費公派出國潮中幸運地去了美國，拿到博士後在加州的一所私立名校教過兩年書，結識了一些有水平的數學家，開始了長期合作。他在美國的幾年不僅在數學上大有長進，英文水平也突飛猛進。他和王宏玉同一年在新加坡共事，延續了師兄弟情誼。但是他沒有輕易離開那裡，一直在這個安靜的小國家做研究。堅持不懈的他，學問和論文芝麻開花節節高，在國內數學界推崇的「四大期刊」之一上留下了自己的名字。他的幾何學研究成就被2018年的一期《科學中國人》所報道。刊物記者採訪他時，他已從新加坡公民變回為中國公民，否則要換個雜誌才行。母校注意到了他，向他伸出了橄欖枝，開始是某個名稱的「特聘教授」，後來他乾脆像華羅庚那樣報效祖國，以「千人計劃」的合約全職回到南京大學數學系任教。

考上南京大學數學系計算數學專業的八一級研究生全是本系的報考者。外校來撞運氣的那些人為何全軍覆沒？我當時不知道原因，現在也不知道。難道我們中的每一個都比他們考得好？現在看來，這九位被錄取者，何炳生不僅考分領先，而且在做學問的幹勁和成就上也繼續保持領先，所以我先拿他說事。

何炳生和魏木生一道被系裡選中公費出國留學，但是他去的是當時的西德，在上海外國語學院經過了緊鑼密鼓的德語培訓。我出國前也在那所大學被「集訓」了一周，因為是「自費公派」，自掏腰包付了超過我一個月工資的集訓費，「經濟待遇」當然不敵「公費公派」的他。何炳生的博士導師斯托爾(Josef Stoer，1934-)教授寫過一本膾炙人口的《數值分析導論》，是世界範圍內的研究生經典教材，自然比何旭初先生主編的那套計算數學叢書難度要高。老何和老魏一樣，僅僅花了三年半左右的時間就拿到博士證書。他馬上回到南京大學任教，成了學成後按時歸國的一個好典型。但他還得從助教干起，先教習題課，逐步升級。與老魏得到學界牛人讚賞的博士論文相比，老何的那篇似乎相對平靜，至少我沒有聽他提過什麼故事。但是，老何知道，正如北大老校長丁石孫(1927-2019)曾經說過，幾乎所有的數學博士論文對學科的發展都沒有什麼影響（老魏的應該除外），所以他堅持慢工出細活。這正是德國人的風格，例如全世界最好的鋼琴是德國人在美國製作的斯坦威，中國富人開的奔馳車也是德國造的，所以說，雖然何炳生沒有變成德國人，他的精神已經德國化了。果然，他幾十年專攻的變分不等式將他和最優化領域的其他學者漸漸拉開距離，其不等式兩邊之間的距離越拉越大。當然，他總是處在不等式的「大於」那一邊。這個排序關係是基於學術界比較認可的像「被引用次數」或「影響因子」等量化指標，或文章被大牛引用的頻度這個張硯凝最熟悉的統計學概念。

為了描繪何炳生的具體成就，我不得不從最優化領域的算法菜譜，借出幾個給讀者嘗嘗，而將它們的營養成分保密。這些算法是投影收縮算法、交替方向法、多元分裂算法以及變分不等式框架下的鬆弛臨近點算法。如果你好奇他怎樣把這些算法做到精雕細琢的地步，怎樣令他頭腦中的創新思想將算法之劍磨得雪亮，我只要從老何向我提供的「個人履歷表」中提取出那幾個引用他論文或採用他算法的英文名字，並讓它們的光環閃亮一下就夠了：加州大學伯克利分校的喬丹(Michael Jordan，1956-)，機器學習界的世界權威，美國國家科學院和工程院雙院士；史丹福大學的博伊德(Stephen Boyd，1958-)，國家工程院院士；加州大學洛杉磯分校的奧舍(Stanley Osher，1942-)，國家科學院院士，2010年國際數學家大會一小時大會報告者，2014年國際數學家大會高斯獎得主。除了不時傳來工程學者應用他的算法解決問題的好消息外，其他的證據我沒有時間一一列舉了。於是全國各地的學習班、討論班紛紛請他去傳經送寶，其場面的熱烈幾近他十分崇拜的華羅庚當年宣傳優選法時的盛景。當年華教授的小分隊到無錫時，何炳生有幸聆聽了一回，後來華羅庚親自來南大做了優選法報告，他也去聽了，兩次均給他留下深刻印象，所以他報考研究生時非最優化專業不讀。何炳生可以被當之無愧地稱為華羅庚在「優化」方面的傳人之一。

從1982年2月到1984年7月，王思運、倪勤、錢邁建和我依舊同窗了兩年半，其讀書階段的一大特點是每學期都有討論班，導師何旭初先生一直堅持和我們同堂討論。第一學期，剛從美國進修兩年歸來的沈祖和老師給我們講授了專業基礎課。到了第二學期，就由我們每人上台表演了。王思運、倪勤和錢邁建三人各自寫出了關於無約束最優化方法的碩士論文，而導師則放任我異想天開地進入由耶魯大學經濟學系教授斯卡夫(Herbert Scarf，1930-2015)於1967年開墾出的一塊處女地，稱為單純不動點算法。這一「改行」又讓我有機會了解我未來博士論文導師李天岩教授在馬里蘭大學讀博士階段時所做的關於現代同倫算法的開創性工作，並有幸在第二年六月初和他相見於他應邀回祖國講學的第一站中山大學。1986年元旦那天我去了密西根州立大學留學，成為他的博士研究生。從相識到他2020年6月25日去世的三十五年中，我們之間，如他曾經對我說過的一句話，「是有緣分的」。

王思運、倪勤和錢邁建三人的博士學位也是在國外取得的，他們都繼續在最優化的大海里遨遊。倪勤從德國的一個數值最優化高人那裡學到高招，他後來的研究領域還包含張量計算，這是揚州名人祁力群教授所開創的一個新天地。倪勤本在理學院院長的位置上做得穩穩妥妥，甚至有機會像田剛那樣干到副校長的位置，但他把行政職務統統辭了，只留下辭不掉的二級教授職稱。這樣他天天晚上有時間和太太手拉手散步，這是我早在2003年就發現的一道「風景線」，值得國內的院長們向他看齊。王思運在美國最優化界領袖之一、哥倫比亞大學戈德法布(Donald Goldfarb，1941-)教授門下受教，畢業後以他的專長服務於紐約的金融界。錢邁建在西雅圖的華盛頓大學博士畢業後，和我一樣留在美國當教書先生，一直在加州州立大學位於洛杉磯的一個分校任教，後來成為數學系副主任，直至2017年退休。有趣的是我博士論文導師的高中同學是她的師爺，因此這個我碩士時代的師姐，可以稱我為「師叔」了。

我由於在南京大學自學了「同倫算法」而與李天岩教授通過跨越太平洋的一條曲線「同倫」相連，並沿著這條光滑曲線從中國滑到美國。然而我的博士論文卻聚焦一個我在國內沒有聽說過的領域——計算遍歷理論，它起始於波蘭裔美國數學家烏拉姆(Stanislaw Ulam，1909-1984)於1960年提出的「烏拉姆方法」，而興起於1976年李教授對一維映射「烏拉姆猜想」的證明。又過了二十年，我也沾了點烏拉姆的光，與中國科學院計算數學與科學計算研究所的周愛輝博士證明了對多維映射的烏拉姆猜想。趕在新世紀到來之前，我被晉升為正教授。雖然我幸運地拿過一次校級教學獎和兩次校級研究獎，以及州議會頒發的卓越高校教師獎，但自己做過的最有現實意義的一件事，或許是與湯濤教授為中國的數學系研究生們合寫了一本書《數學之英文寫作》，因為這對他們儘快「擠出」SCI論文拿到學位可能有所幫助。

其他四個計算數學碩士研究生（尹光炎、劉必躍、沈錦仁和盛秦）進入的領域是蘇煜城(1927-2022)和吳啟光(1933-2023)兩位導師擅長的微分方程奇異攝動理論。畢業後，沈錦仁去了空軍氣象學院，因為數值天氣預報是偏微分方程數值解的好戰場，全世界最超級的計算機都用到它身上去了。他最後以大校的文職軍銜退休。其他三人先後出國讀了博士。首先是回到家鄉蘇州大學的盛秦獲得Schlumberger獎學金，被英國劍橋大學錄取，在伊瑟萊斯(Arieh Iserles，1947-)指導下獲得博士學位後又去了倫敦大學學院，和皇家學會會士史密斯(Frank Smith，1948-)一塊研究計算流體力學。一年後他受聘於新加坡國立大學，與王宏玉及徐興旺成了同系的南大三劍客。後來他大概嫌那個小國家常有煙霧進犯，於是率領全家去了美國定居。他在美國搬家的次數不亞於李曉銘，先後在三所大學任教，一直到2005年受聘於德克薩斯州的貝勒大學並同時獲得終身教職為止。他前幾年畢業的兩位博士生分別去了德州理工大學和亞利桑那大學任職。盛秦目前是由Taylor & Francis出版社出版的學術期刊《計算機數學國際雜誌》的三位主編之一。

留在南京大學的劉必躍和分配到無錫江南大學的尹光炎則去了美國讀博。劉必躍博士畢業後先後在美國三所高校任教。她的第一份教職是在懷俄明大學，然後到羅德島大學工作並在那裡獲得終身教職，現在位於新澤西州的蒙莫斯大學當正教授並擔任過系主任。劉必躍和錢邁建一樣，也和我有一層學術關係。她在馬里蘭大學的博士導師凱洛格(Bruce Kellogg，1930-2012)教授於1973年講授的一門研究生課程導致聽課的約克弟子李天岩發明出歷史上第一個現代同倫算法，他們三個人的合作論文成了這個新領域的開山之作。這樣算來，在學術關係上劉必躍長我一輩。如果學術關係也是數學中所定義的「等價關係」的話，比錢邁建年輕五歲的劉必躍就是錢邁建的「師奶」級人物了。

尹光炎則跟隨猶他大學的計算數學家斯坦格(Frank Stenger，1938-)學到sinc函數逼近法這位祖師爺的一門武功。此類函數的英文名字前三個字母就是正弦，所以它應該是正弦函數的一個近親，應用也十分廣泛。事實上它的函數表達式和正弦函數幾乎一樣簡單：sinc x等於sin x除以x。拿到數學博士學位後，尹光炎覺得加一頂計算機碩士的帽子會讓他如虎添翼。果然，「一博一碩」的雙學位馬上使他成了一家位於洛杉磯的公司的高級工程師。那時的美國工作市場依然蕭條，許多博士找不到工作。於是，在大學時代就互有好感的老尹與老錢像張硯凝與潘衛平一樣「比鄰而居」，而尹太太則很快成了錢邁建任教大學圖書館的一名職員。

考到北京讀研的幾個同學中，考分在科學院計算中心內名列前三的張硯凝被送到史丹福大學統計系讀博。1989年，我在一次全家四口從美國中西部到西海岸的夏日之旅中，沿途先後見到在伊利諾伊大學數學系讀博的胡著信和在猶他大學的尹光炎，最後在史丹福見到了張硯凝。他對我的熱情較之他三年前歡迎我赴美的明信片所表達的熱情有增無減，讓正在體驗美國風情的家母和年僅三歲的女兒印象深刻，所以，當我幾年前回國後讓家母看張硯凝送給我的史丹福校帽時，她隨即說出的當時情景依然歷歷在目。我女兒更是沒有忘記他，工作後乾脆住到離他們家只有五公里遠的公寓，常年往來。張硯凝博士畢業後，一直活躍在統計研究和應用數學領域，最近幾年如火如荼的大數據浪潮，使統計應用遍地開花，造就目不暇接的挑戰與機遇，也給他提供了開闊的發展空間。工作之餘，他也發展了各種興趣，到國內外各地旅遊、自學鋼琴並且堅持運動——長跑、游泳、高爾夫，充分利用矽谷的好天氣。潘衛平在中科院軟體研究所拿到碩士學位後，留在北京工作了一些年，之後也去了美國的矽谷，目前在亞馬遜上班；與一般在美國就職的華人相比，大學時代話不太多的他，對美國兩黨的政治理念了如指掌，也對自己的政治立場直言不諱，因此他學會了美國人直截了當的好傳統。

王雪平也像張硯凝一樣出國留學，他是我班第一個全面體驗歐洲風情的同學。王雪平於1982年7月14日這個法蘭西國慶節抵達法國，但是他沒有時間沉醉於法國的人文和藝術氣氛，而是和何炳生一樣恨不得每天學習二十四小時，很快他就在就讀的南特大學先後通過了法國「第三階段博士論文」和國家博士論文答辯。此後王雪平在法國國家科學研究中心工作了幾個月，直到他的太太在另一所大學通過博士論文答辯為止。然後他們「夫妻雙雙把家還」， 1987年元月回國。在我班所有同學中，王雪平是最早被國家級媒體報道的留學生，因為他回到北大擔任副教授，這在那時是個大新聞，我在美國念書時讀到了《光明日報》對他的整版報道。

更大的新聞是，當王雪平於1989年秋在德國柏林訪問時，他的博士論文導師專程來柏林和他談話，說南特大學有一個正教授職位已空缺一年多，希望他能過去。就這樣，王雪平於翌年10月正式擔任博士母校的正教授，直至今日。那一年他才三十四周歲，而我剛剛獲得博士學位兩個月，也剛當助理教授。考慮到他和我一樣高中畢業五年後才考進大學，他實際上通過自己的努力已經將這五年時間挽回。法國的「北大」「清華」——巴黎高師和巴黎高工優秀的畢業生一般也要至少到這個年齡才能拿到正教授職位。王雪平的經歷說明了「一分耕耘一分收穫」這個顛覆不破的真理。在我班所有吃過洋麵包的同學中，王雪平、何炳生和魏木生差不多都在1986年的某個月份獲得博士學位，但就職稱而言，王雪平應該是所有同學中最早成為正教授的。

張瑋在北大念的碩士學位與信息科學相關，巫孝南則專攻偏微分方程數值解。獲碩士學位後，他們分別在中科院自動化研究所和清華大學工作了一段時間，然後就去了美國。巫孝南繼續在本專業更上一層樓，而張瑋的興趣則轉到了經濟學領域，這是他的數學大有用武之地的疆場。後來幾十年，巫孝南在香港浸會大學任勞任怨地教書育人、鑽研學問，寫了不少高檔次的研究論文，直至六十歲退休。不幸的是，四年後他英年早逝。

我在拙書《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》中的最後一句是：「套用自學成才的英國大作家狄更斯著名小說的標題，他們的未來是無可限量的』遠大前程』。」田剛則是「遠大前程」強有力的實踐者。其實，大學畢業前，我們全班同學幾乎一致認為，田剛的未來之路最具有「遠大前程」的潛質。事實證明了我們的正確預測。他的求學和治學大道始終走得一帆風順，令人羨慕甚至妒忌，但是他成功的一個關鍵條件也是常人難以想像並且難以做到的，這就是「異常的用功」。中國有句老話「吃得苦中苦，方為人上人」，此話中的「吃苦」固然目的不純、境界不高，但要想在學問上達到「一覽眾山小」的高度，非「吃得苦中苦」不可。

田剛考上北大數學系的研究生後，在寫給他的朋友王宏玉的第一封信中，坦言天南地北考來的其他七十餘名同學「看上去都不含糊」。畢業前他就在國家級期刊《數學通報》上發表了一篇關於「爬山引理」的論文。1984年拿到碩士學位後，他和其他幾個同學到加州大學聖地亞哥分校讀博士。

我只列出田剛學術生涯的三個里程碑：1994年，獲沃特曼獎；1996年，獲美國數學會維布倫幾何獎；2002年，北京國際數學家大會一小時全會報告者。他更加完整的成就可在百度上搜到，無需我在這裡多花筆墨。

三十年來，田剛將大量時間和精力用於推動中國數學水平的提高，這一點他做得和他的老師一樣好，事實上，他現在比十年前做得更好，因為他已經成為普林斯頓大學數學系的榮休教授，全職回到國內工作。如今，他挂帥的北京國際數學研究中心成了少數幾個中國年輕數學天才攀登高峰的世外桃源。

這就是我班同學大學畢業後奮鬥史的一幅概略圖！與全中國七七級大學畢業生一起，在四十餘年的歲月中，用母校賦予的知識實踐了追求和理想，貢獻了才華和智慧，獲得了榮譽和認同。這是一代人難以忘懷的奮鬥史！

完稿於2024年9月2日星期一

美國哈蒂斯堡夏日山莊

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