01.
「上帝不擲骰子」
「量子力學是很酷炫。可內心的聲音告訴我，它並非真實之物。這理論說了一大堆，但並沒有真的帶領我們更加接近『老頭兒』（上帝）的秘密。無論如何，我都確信，上帝不擲骰子。」
（Quantum mechanics is certainly imposing. But an inner voice tells me that it is not yet the real thing. The theory says a lot, but does not really bring us any closer to the secret of the 'old one'. I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice.）
1926年，愛因斯坦寫給同為物理學家的好友馬克斯·玻恩（Max Born）的信中，如是說到。信里所指的老頭兒（old one），是愛因斯坦私下對上帝的稱呼。
愛因斯坦用擲骰子做了一個比喻，「上帝」意味著確定性和規律，上帝是不會去擲沒有確定結果的骰子的。這封信是對波恩在1926年發表的文章《碰撞過程中的量子力學》（On the quantum mechanics of collision processes.）的回應。
玻恩論文英譯版
後來，愛因斯坦的這段話被簡化為「上帝不擲骰子」，並且在往後的學術交鋒中頻頻被使用。
第二年（1927年），世界上腦袋最聰明的人齊聚第五次索爾維會議上。這次會議討論的主題是「電子和光子」。會議期間，愛因斯坦用「上帝不和宇宙擲骰子」（God does not play dice with the universe）來反對不確定性。
當時，丹麥物理學家尼爾斯·波爾（Niels Bohr）回敬愛因斯坦的話，也廣為流傳：
「愛因斯坦，用不著你告訴上帝該做啥。」
（Einstein, stop telling God what to do）
會議的硝煙散去後，愛因斯坦依然喜歡「上帝不擲骰子」這個梗。
1944年，愛因斯坦在給波恩的另一封信中，寫到：
「我們對科學的期望正好相反。你相信擲骰子的上帝，我卻相信客觀世界中存在著完備的規律和秩序。我要用廣泛的推論方法去抓住這一規律與秩序」
（We have become Antipodean in our scientific expectations. You believe in the God who plays dice, and I in complete law and order in a world which objectively exists, and which I, in a wildly speculative way, am trying to capture. ）
第五次索爾維會議，1927年，攝於國際索爾維物理研究所。圖中與會者有薛丁格、泡利、朗之萬、狄拉克、普朗克、居里夫人、愛因斯坦、玻恩、洛倫茨、玻爾、海森堡等。來源：wikipedia
02.
一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀
也許愛因斯自己也沒有想到，用來反對不確定性的比喻，竟然在日後成了混沌理論的標誌性口號。
英國數學家伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）用來科普混沌理論的名著《上帝擲骰子嗎？——混沌之新數學》（Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos），書名便來自愛因斯坦的名言。
《上帝擲骰子嗎》
作者：伊恩·斯圖爾特
譯者：潘濤
出版社：上海交通大學出版社
出版時間：2016
譯者潘濤老師曾指出，這本書所討論的混沌理論，最準確的稱呼應該是「非線性動力學」，或者「非線性的系統理論」，但這個名稱，也許會讓普通讀者頭暈。在大眾傳播中，反而是「混沌理論」更加深入人心。
所謂混沌，其實離我們的生活很近。比如，我們老抱怨天氣預報測不準，這就是因為混沌理論的作用，影響天氣的變量太多，以至於儘管我們的預測機器已經無比精確，還是會出現混沌的情況。
實際上，混沌理論的出現，也跟天氣緊密相關。這個理論始於美國數學與氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茨（Edward Norton Lorenz）在工作時發現的一個奇異現象。
洛倫茨發現，小數點後相差三位，居然可以造成模型的巨大變化。初期的小小變化，帶來了後來的不可預測性，這讓洛倫茨認識到，天氣是不可預測的，一個小小的變數就會造成完全不同的結果。
1963年，洛倫茨發表論文《決定性的非周期流》（Deterministic Nonperiodic Flow），分析了這個效應。他後來總結道：
「一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一隻海鷗扇動翅膀足以永遠改變天氣變化。」
此時洛倫茨使用的還是海鷗扇動翅膀的比喻，但之後，這個比喻被新名字——「蝴蝶效應」所取代，風靡世界。1972年，洛倫茨參加美國科學促進會舉辦的學術會議，因為他沒有事先擬定標題，主持人便為他擬了一個《可預測性：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在德克薩斯引起龍捲風嗎？》（Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?）
洛倫茨當時的與會報告
這便是人們耳熟能詳的「蝴蝶效應」。「蝴蝶效應」的提出，推動了非線性數學的研究。1963年，洛倫茨寫成影響深遠的論文，提出了「洛倫茨吸引子」。這個數學模型展現出的圖像就是「蝴蝶」的樣子。
「羅倫茨吸引子」圖像
圖中黃色和藍色的圖像
其參數相差10的負5次方
來源：jiehsin.wordpress.com
03.
「教的更少，學得更多」
當人們沿著混沌理論向前走的時候，「分形」（Fractal）的數學理論也被重新認識。人們發現，只要我們給定一個限制，然後隨機選擇，居然也可以得到對稱、均勻的圖案。
比如，當我們在一個三角形中擲骰子的時候，把三角形的邊長和骰子的數字的關係規定好，那麼即使我們隨機擲骰子，仍然會出現清晰的圖像，甚至得到的會是一個謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）。
圖為謝爾賓斯基三角形，是分形數學的經典模型。分形思想是探索簡單圖形的無限分形、細化的數學方法，在給定規範之後，通過隨機的方式能夠得到大自然中的圖像，如樹葉、雪花，從而研究複雜世界的圖形規律。來源：wikipedia
那麼，世界本身是混沌的，我們不過是找到一些說服自己的規律嗎？為什麼在一個複雜系統當中，我們無法預測未來的趨勢？憑藉科學，我們真的能了解我們身邊混沌的世界嗎？
對於這些問題，北京師範大學系統科學學院教授吳金閃老師細緻講解，帶我們從混沌數學的角度，看待我們周圍的世界，為我們打開一扇通往新世界的大門。
吳金閃老師本科畢業於北京師範大學，曾在不列顛哥倫比亞大學求學，博士畢業回國之後，致力於研究數學、量子力學和科學方法的教學。
吳老師興趣非常廣泛，除了專業領域，他還熱愛音樂，比如中國古樂。他也喜歡中國的漢字傳統，這看似和他所研究的領域有著很大的差異，其實不然。在吳金閃老師看來，這些領域之中有著相通之處，這或許能在他的教學法中體現出來。
吳金閃老師
在吳金閃老師的教學中，他奉行著「教的更少，學得更多」（Teach Less, Learn More）的理念，他贊成由老師引導的方式鼓勵學生去自學。因為在他看來，只有自學的知識才能算是自己的知識，他說過：
「不管是教科書上說的，還是一個偉大的人物說的，你都不能信，除非你通過邏輯和數學，從實驗和觀測開始，然後通過理性，真的能夠像別人告訴你的一樣你能夠這樣說服自己，那麼這樣的東西才是可信的。這個東西叫什麼呢？叫批判性思維。」
除了批判性思考，吳金閃老師還提倡系聯性思考，那就是將批判性思考的成果統合起來，運用到各種領域的思考當中，這是一種「看得見樹木更要看到樹林」的角度。他建議，不管學生對哪方面的知識感興趣，都要學一些物理學和數學，幫助建立有效的思維模式。
吳金閃老師認為，他的一切思考的根基是漢字，因此，他也研究漢字本身的邏輯與使用。至於全部思考、學習與教學的目的，他稱是為了「理解世界和自己」。對於他來說，理解世界就是通過優化的方法，思考物理學和數學的命題。
在批判性思考和系聯性思考的運用下，吳金閃老師不斷思考科學方法論的基礎和應用。他教授過的課程囊括量子力學、系統科學概論、系統的數學物理基礎和數學模型等。在這些領域，吳金閃老師也著有廣泛的著作，如《教的更少，學得更多》《量子力學》《系統科學導引》等。在吳金閃老師的數學模型的研究中，就已經包含了非線性數學的研究，對混沌理論也有獨特的見解。