曾經，如果你問蘋果手機上的Siri，「零除以零等於多少」，它會說：
「假如你有0塊餅乾，要分給0個朋友，每個人能分到幾塊？你看，這個問題沒有任何意義吧？甜餅怪會難過，因為沒有餅乾吃，而你也會難過，因為你一個朋友都沒有。」
拋開這個傷人的回答不論（有朋友誰會跟你聊天啊喂！），除以零確實是個困擾很多人的問題。十除以二等於五，六除以三等於二，一除以零是多少？小學數學就會告訴你，答案是不能除。但是為什麼？零也是個數字，它到底哪裡特殊了？
01 小學篇
小學算術里，這個問題很簡單。那時我們把除法定義成「把一個東西分成幾份」，分成一二三四五六七份都很容易想像，但是你要怎麼把10個餅乾分給0個人呢？想像不出來嘛！所以不能除。
敏銳的同學可能會想到，要是0個餅乾分給0個人的話，本來無一物，好像就沒關係了。但既然無物也無人，每個人分得多少都是可能的呀，根本無法給出一個單一確定的數值。
這結論沒錯，但這都是憑直覺而得到的東西。你想像不出來，不一定意味著它沒有。遠古時代的數學是建立在直覺上的，買菜是夠用了，但要進一步發展，就必須要有定義和證明——所以，我們上了中學。
02 初中篇
現在我們開始接觸最最基本的代數學——也就是解方程。我們發現，除法和乘法互為逆運算，所以問 1 / 0 = ?
就等於是解方程 0 * x = 1
好了，按照定義，0乘以任何數都是0，不可能等於1，所以滿足x的數字不存在，所以不能除。
同樣，如果問 0 / 0 = ?
就等於是解方程 0 * x = 0
同理，任何數字都可以滿足x，所以也不能除——無法確定一個單一的答案。
03 高中篇
等到接觸了基本的形式邏輯，我們又會發現另一種證明方式：反證法。
一堆真的表述，不能推出一個假的表述，所以如果我們用「能夠正常地除以零」加上別的一堆真表述，最後推出假的來，那只能說明「除以零」這件事情不成立了。
所以，已知 0 * 1 = 0
0 * 2 = 0
推出 0 * 1 = 0 * 2
兩邊同時除以零，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2
化簡得到 1 = 2。
這顯然是錯的啦。
那麼，問題解決了吧！其實還沒有。想想另一個問題：-1的平方根是多少？
你可能會說，-1不能開平方根，因為所有數的平方都是非負的。但是這說的是實數，我要是增加一個定義呢？定義i^2=-1，這就創造出了虛數，於是-1也能開平方根了。
那麼，為何不能定義一個「新」的數，讓 1 / 0 也等於它，並為這個數設立一套運算法則呢？這就得去大學裡回答了。
04 大一篇
剛學微積分課程就會立刻接觸到∞這個符號。咦，這不就是「無限」嘛。我們都學了極限的概念了，那麼我令b趨向於0，然後把a/b的極限定義為無窮，不行嗎？
這就立刻遇到一個問題，它的左極限和右極限不一樣啊。b是從負的那頭靠近0，還是正的那頭？這一個是越來越負，一個是越來越正，碰不到一起去。這樣的極限是沒法定義的。
因此，微積分課程里會反覆說，雖然用到了∞這個符號，但是這只是代表一個趨勢，絕對不是一個真正的數，不可參與運算。
05 大二篇
那麼吸取教訓，我不用現成符號了，我直接定義 1 / 0 = w，w是個「無限大」的數，不碰什麼極限，你總沒話說了吧！
然而，定義不是說來就來的，你雖然可以隨便定義東西，但定義完了如果和現有的其他系統矛盾，那就不能用，或者很不好用。
而我們面對w立刻就遇到了問題。首先，w要怎麼放入基本的加減乘除體系里？1 + w等於多少？w - w等於多少？如果你造了一個數，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對吧。
比如直覺上，1 + w 應該等於 w，它都無限了嘛！而 w - w 則等於0，自己減自己嘛！
但這樣立刻會和加法里極其重要的「結合律」產生矛盾：1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。結合律是加法里非常基本的東西，為了一個w，連結合律都不要了，這成本有點大——不光是結合律本身，多少數學定理證明過程中不自覺都用了它，扔了它就都得重來，建立新體系。新體系不是不能建，但是費心費力又（暫時）無卵用，所以大家還是在老實用舊的——而舊的裡面，為了保住結合律，就不能這麼玩。
歡迎讀者們發揮自己的想像力，嘗試為 w 給出運算方式。但是你會發現，無論怎麼規定w和別的數字之間的關係，只要你還堅持 1 / 0 = w，你就沒法讓它和你從小學習的基本數學不矛盾。還是那句話，你可以另立門戶，在w的基礎上建立起你的新數學，但它和大部分傳統數學是不相容的，而且肯定會非常不好用，所以我們用了一個不能除以零的體系是非常合理的。
06 大三篇
你可能會提出反對：有那麼多的定義方式，我都試過？要是沒試過，我怎麼知道不會某一天冒出來一個能夠自洽的辦法？
「新發現推翻舊結論」這種事情，在生物里可以有，化學裡可以有，物理里可以有，唯獨數學裡沒有。因為數學建立在邏輯上，個案有例外，邏輯沒有例外。當然我們的數學還沒有完成最終公理化，還要面對哥德爾的幽靈，但至少在這個例子裡，如果w是一個真正的數，那它就違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。
比如有一組基本的公理叫「皮亞諾公理」，其中有一條說，每一個確定的自然數都有一個確定的後繼，後繼也是自然數；另一條說，自然數b=c，若且唯若b的後繼=c的後繼。
那w是誰的後繼呢——或者說，誰加上1能得到w呢？顯然所有其他的數字都已經有了自己的後繼，w在其中沒有位置，沒有任何其他的數加上1能成為w。那麼就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句話矛盾。而沒有皮亞諾公理，整個自然數的體系都不能成立。
這裡假定w是自然數。其他情況會略微複雜一些，但無論如何，類似的事情發生在w的各種定義里。如果你想把w當成一個數，那就沒法和我們現有的實數兼容。所以我們在幾乎所有場合下都只能宣布，不能除以0。
07 大四以上篇
既然我們之前說了個「幾乎」，那就是有例外的——在個別奇葩場合下，可以。
比如有一個東西叫做「復無窮」，它是擴充複平面上的一個點，真的是有定義的一個點。在這個特殊的規則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式。這麼做的原因就說來話長了，但它不是平常意義上的運算——比如你不能把0拿回來，不能寫 1 = 0 * ∞。
另外，「無窮」二字在一些別的場合下是可以當成一個「東西」去對待的。比如當你衡量一個集合的大小的時候，它可以是無窮大的。但這就有很多種不同的無窮大了——自然數是無窮多的，有理數是無窮多的，實數也是無窮多的，可是奇數和偶數和正整數和負整數和自然數和有理數都一樣多，而實數卻比它們都多！同樣是無窮，有的無窮比別的無窮更無窮。但這就是另一個話題了，打住。
08 總結篇
所以，當我們說不能除以零的時候，理由……竟然出乎意料地充足。有許多直覺在數學裡被推翻了，但是這一條沒有。我們有種種數學上的方式去證明它無法成立的原因，雖然也許聽起來不如Siri的回答那麼心暖（或者心寒），但這些理性的愉悅也是一種美麗，對吧？
作者：魏朗尓
編輯：Fangorn
題圖來源：pixabay
一個AI
不能除以零真的不只是個小學問題
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