「It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world has at bottom — a very deep bottom, in most instances — an immaterial source and explanation… In short, that all things physical are information-theoretic in origin and that this is a participatory universe.」
John A. Wheeler, 1990
撰文 | 蔡榮根、阮善明、楊潤秋
一、背景：It From Qubit？
物理學是研究物質和時空的基本結構、相互作用及其運動規律的科學。所以物理學誕生始，物理學家們就一直在努力尋找描述從大到宇宙、小至微觀粒子的基本規律。可是何為「基本」？著名物理學家約翰·惠勒（John Wheeler）在1990年的一篇文章中[1]提出了一條三字「箴言」——「It From Bit」（萬物皆比特） 。這條「箴言」建議我們從信息理論中提取新的思想，來將廣義相對論和量子力學統一起來。
在這之後二十多年的時間裡，這簡單而深刻的洞見在理論物理學的研究中展示出越來越多令人驚訝的證據。比特的概念也逐漸地讓位於量子比特（qubit），進而產生了進化版的三字箴言——「It From Qubit」（萬物皆量子比特）。2015年，在西蒙斯基金會（Simons Foundation）的資助下，高能理論物理學家和量子信息學家，這兩個通常不會有交集的群體走在了一起， 開始了名為「It From Qubit」 的研究計劃[2]。這裡「It」 可以理解為時空。這個想法暗示時空可能並不是最基本的概念，而是從更為基本的量子比特中呈現（emerge）出來的。在這當中扮演重要角色的是AdS/CFT （anti-de Sitter/Conformal Field Theory）對偶和量子糾纏（quantum entanglement）。
AdS/CFT 對偶描述了引力理論和量子場論之間的一種對偶關係。它由 Maldacena 於1997年根據超弦理論提出的一個猜想發展而來。簡單來說，這個對偶表明一個d維時空的共形場論（CFT）和一個 d+1 維的漸進反德西特（AdS）時空中的引力理論是等價的。這個對偶經過二十多年的發展，已經成為引力理論研究中一個十分活躍和重要的研究方向。量子糾纏則是描述了量子態之間的特殊關聯性。它是量子系統區別於經典系統的一個重要性質。例如兩個量子比特組成的 EPR 態 （也被稱作「Bell態」或者「貓態」）
是由兩個糾纏在一起的量子比特構成。無論這兩個糾纏的量子比特相距多遠，我們一旦知道了其中一個量子比特的狀態，另一個量子比特的狀態自然就知道了。愛因斯坦將這種「奇異」的現象稱為「幽靈般的超距作用」（「spooky action at a distance」）。
為了定量地描述量子態中糾纏的強弱，人們引入了「糾纏熵」的概念。糾纏熵與AdS/CFT雖然屬於兩個完全不同領域，但是最近的研究表明這一對概念蘊含著深刻的內在聯繫。Shinsei Ryū 和 Tadashi Takayanagi 在2006年提出了「全息糾纏熵猜想」 [3]。在這個猜想中，d+1 維反德西特時空邊界上的子區域 A 的糾纏熵，等於這個子區域延伸到時空內部的最小面的面積（如圖1所示）， 亦即：
這裡 GN（N為下標） 是 d+1 維時空中的牛頓引力常數。這樣一個公式與黑洞的貝肯斯坦-霍金熵（Bekenstein-Hawking entropy）公式非常相似。
圖一：d+1 維反德西特時空的 d 維邊界上CFT理論的一個子區域 A 的糾纏熵等於這個子區域延伸到在 d+1 維的時空內部時的最小面的面積。
它不僅暗示了時空幾何與糾纏熵之間存在關聯，而且開啟了「It From Qubit」研究的大門。基於此研究，Maldacena 和 Susskind 在2013年合作提出了新的迷人猜想
ER = EPR
其中左邊的「ER」是愛因斯坦-羅森橋（Einstein-Rosen bridges）的簡稱，這裡代指廣義相對論中大名鼎鼎的「蟲洞」。右邊的「EPR」則是 Einstein、Podolsky 和 Rosen 三人名稱的縮寫，這裡代表量子力學中的量子糾纏。嚴格地說，這並不是一個數學或者物理方程式。它更像一個標語——強調量子糾纏和時空之間存在著深刻的內在聯繫。如果這種聯繫存在的話，那麼它不僅可以自然地把現代物理學的兩大基石——廣義相對論和量子力學——聯繫起來，而且也暗示了量子糾纏在時空結構的呈現中扮演了重要角色。
圖二：蟲洞的藝術圖片。連接左右兩個時空的區域就是蟲洞，亦即愛因斯坦-羅森橋（ER）。| 圖片來自 Tomáš Müller for Quanta Magazine
「It From Qubit」 項目的宏大目標是期望可以通過量子信息的概念來理解時空的呈現，從而最終通過量子的觀念來描述引力。理論物理學家對這個目標的追求已近百年。愛因斯坦在發現相對論之後就投入到對這個最終理論的追求，可是直至他生命的最後也未成功。現在看來，「It From Qubit」儘管離最終的殿堂也還遙遠，但是它最大的意義或許在於開啟了許多嶄新的、值得追尋的方向。
二、量子信息：計算複雜度？
在 Shinsei Ryū 和 Tadashi Takayanagi 指出 AdS/CFT 對偶中時空與糾纏熵的關係之後，全息糾纏熵的研究在過去十幾年中一直是高能物理中的熱門研究方向之一。年已古稀的著名理論物理學家 Susskind 在2014年產生了不同的想法。Susskind認為，我們應該在全息時空中或者「It From Qubit」的框架下考慮不同於糾纏熵的概念。他認為一個被稱為「複雜度」的概念就是這樣一個候選者。
「複雜度」這個概念最早來源於計算數學領域，被用來刻畫完成算法的難易程度，進而對計算問題進行分類。常用的度量複雜度的量有計算所需要的時間、算法需要的基本運算的數目等。量子電路中，複雜度則由電路中所含有的基本量子邏輯門（quantum gate）的數量來度量。
雖然複雜度的概念起源於計算科學，可是不同於關心算法的計算科學家，高能物理學家關心的則是從一個初始量子態 |ΨR（R為下標）> 到目標量子態 |ΨT（T為下標）> 的複雜度。例如我們選取 N 個量子比特的簡單態
作為初始的量子態。這樣的態可以理解成N枚全都是正面向上的硬幣組成的態。目標態則是其它可能的複雜態，如
在將上述初始態轉變為目標態的過程中，最簡單的基本操作就是反轉一個比特的態。顯然在這樣的設定下，所需最少的基本操作的數目就是目標態中「1」的個數。在量子理論中，純態之間的轉換由么正的算符U 表示。所以實現從初始態到目標態的轉換就是在構建一些特定的么正變換以滿足
「複雜度」這個概念在量子信息中有著重要的應用。利用它我們可以研究量子計算的速度。在量子系統中，信息以「量子比特」的形式儲存在一系列量子態中。因為量子計算的速度依賴於單位時間內能對量子態實施基本操作的數目，所以複雜度隨時間的變化率正好可以用來刻畫量子計算的速度。量子信息理論中對於複雜度的研究表明，一個平均能量為 E 的系統每一秒鐘最多可能實施 4E/h 次改變系統量子態的操作[4]。這裡h是普朗克常數，約等於 6.63×10^-34J·s。這個上界一般被稱作 Lloyd 上限。它給出了在給定能量的系統中量子計算的速度所能達到的上限。
在上面的介紹中，我們考慮的是離散的、有限自由度系統。但是理論物理學家感興趣的量子場論（QFT）卻是一個無窮維的連續系統。如何將複雜度應用到QFT中呢？這時我們需要藉助黎曼幾何[5, 6]——它是研究廣義相對論時的重要數學工具。在黎曼幾何中，兩點之間距離最短的連線被稱為測地線（geodesic）。例如，平面中的測地線就是直線。在黎曼幾何的框架下，我們可以將初始態和目標態看作態空間中固定的兩個端點；兩者之間不同的么正變換則可以由其間的不同曲線表示；曲線的長度則代表了需要的量子門的數量。這樣尋找最優量子電路的問題就轉化為尋找最短路徑的問題，亦即求解黎曼幾何中測地線的問題。
三、複雜度與黑洞物理
我們已經看到「複雜度」這個概念起源於計算科學和量子信息領域。那麼它為什麼會被引入到黑洞物理和 AdS/CFT 對偶的研究當中呢？故事還要從上文提到的 Susskind 和 Maldacena 提出的「ER=EPR」猜想以及 AdS/CFT 對偶開始說起。
在一個含有蟲洞的漸進AdS時空中，連接了左右兩個時空的愛因斯坦-羅森橋（ER）顯著地依賴於黑洞內部的幾何，它的體積會在很長的時間內近乎線性地增長。AdS/CFT對偶告訴我們：一個漸進反德西特時空和其邊界上的量子場論等價。因此，從AdS/CFT對偶的角度來看，愛因斯坦-羅森橋的演化應該對應於邊界上某種物理量的演化。一個看似有道理的想法是，愛因斯坦-羅森橋的演化對應著糾纏熵的演化。不過 Susskind 卻提出了不同的看法。
Susskind認為，僅僅用量子糾纏來描述是不夠的（entanglement is not enough! ）[7, 8]。因為糾纏熵只是在很短的時間內增長，並很快達到極值，所以糾纏熵無法體現愛因斯坦-羅森橋體積的變化。Susskind認為計算科學中的「複雜度」似乎正好能夠用來描述愛因斯坦-羅森橋能夠在很長時間近乎線性演化的現象。他與合作者先後提出兩個不同版本的猜想，將時空中的幾何量和場論的複雜度聯繫起來。這兩個猜想可以簡單地由幾個字母表示：
C=V 或者 C=A
它們分別被稱為「複雜度-體積」（Complexity-Volume）猜想[9]和「複雜度-作用量」（Complexity-Action）猜想[10]。
為了具體介紹這兩個猜想，我們首先需要引入廣義相對論中廣泛使用的彭羅斯圖（Penrose Diagram）。彭羅斯圖的基本想法是通過共形（保角）變化將無窮遠處的點放在有限的區域內。我們可以通過這種方式完整地表示無窮大的時空。在壓縮 d-1 維的空間後，我們就可以用一個有限的二維圖表示整個 d+1 維的時空。如圖三所示，在漸進反德西特時空的彭羅斯圖中存在兩個邊界（r=∞處），並且存在兩個對稱的、平行的宇宙。在經典圖像中，這兩個宇宙只是被平凡地「堆砌」到了一起，雙方並不會發生任何關聯。然而 Maldacena 在其一篇論文中指出：對於一個穩態的黑洞來說，左右兩個時空是糾纏在一起的[11]！糾纏就像是時空的粘合劑，將時空碎片粘合在一起形成一個完整的時空。從AdS/CFT對偶的角度來看，沒有糾纏的時候，左右兩個時空對偶的量子態就是左右兩個邊界上量子態的平凡直積。但是實際上由於左右兩個宇宙是糾纏在一起的，因此他們對偶的量子態則是一個特殊的糾纏態，一般簡稱為「TFD態」（thermofield double state）
現在一個自然的問題是：我們製備這樣的TFD態所需要的複雜度是多少呢？Susskind 猜測，這個複雜度可以由連接左右兩邊的愛因斯坦-羅森橋（亦即圖三中綠色的蟲洞）的最大體積來表示，
圖三：漸進AdS-黑洞時空的彭羅斯圖。圖中四個區域分別是黑洞、白洞以及兩個平行的宇宙；藍色的線代表黑洞的邊界，即視界；綠色的線代表蟲洞，連接了左右兩個宇宙。
這裡L是一個具有長度量綱的量。這就是 CV 猜想。在這個猜想中，由於複雜度直接與愛因斯坦-羅森橋的體積相關，所以它包含了黑洞內部的信息——這正是糾纏熵難以描述的部分。CV 猜想中的複雜度和前文中提到的全息糾纏熵相似，他們都是由純粹的幾何量來描述，並且不涉及物質相互作用的細節。這使得複雜度的計算變得相對簡單。可是這樣一個猜想並不如全息糾纏熵那般「完美」，因為這其中仍然包含了任意性：長度量綱 L 無法由理論唯一確定。這促使了Susskind 和合作者們更多的思考，並進一步提出 CA 猜想。在這一版本的猜想中，全息複雜度不再由蟲洞的體積描述，取而代之的是引力理論的作用量
圖四：漸進AdS-黑洞時空的彭羅斯圖。圖中由紅色類光超曲面包圍的區域即是 Wheeler-DeWitt 區。
值得注意的是這裡的作用量並不是整個時空的作用量，而是在一個特殊時空區域中的作用量（如圖四的紅色區邊界內部的區域）。這個區域一般稱為 Wheeler-DeWitt 區 （WDW patch）。特別是，基於「複雜度-作用量」猜想，Susskind 和布朗等人通過考慮全息複雜度的時間演化發現，黑洞恰恰可以看作是最快的「量子計算機」——因為漸進反德西特時空中史瓦西黑洞的複雜度變化的最終速度剛好能夠達到前文所說的 Lloyd 上限。
和 CV 猜想相比，CA 中複雜度不再是簡單地由時空的幾何給出，而是直接包含了物質相互作用的細節。另外它不僅涉及到黑洞的內部信息，還涉及到奇點附近的性質和時空整體的因果結構。從表面上看，CA 猜想不像 CV 猜想那樣存在任意選擇的長度尺度。這個特點曾是 CA 猜想比 CV 猜想更受青睞的一個原因。可是最近更為細緻地研究卻發現，事實並非如此簡單。由於 WDW-patch 含有類光邊界，我們恰恰又需要引入一個任意的長度尺度 L 以保持作用量在類光面上的「重參數化不變性」[12]。因此在CA猜想中依舊不可避免地存在著任意性。目前對於這兩個猜想本身的性質以及它們是否真的可以描述 TFD 態複雜度的問題還仍然處在熱烈探討之中。
四、結束語
雖然「複雜度」這個概念正在吸引越來越多來自引力理論和量子場論領域的研究人員的興趣，但是將複雜度的概念應用到黑洞和量子場論中來也面臨著許多障礙。不同於在量子系統甚至是無窮維量子場論中定義良好的糾纏熵，複雜度在量子場論框架下的定義仍然存在許多不清楚的地方。這也導致通過全息對偶計算得到的複雜度的物理含義並不十分明確。在利用AdS/CFT對偶計算複雜度時，CV猜想和CA猜想得到的結論並不完全一致，目前尚無法判斷哪一個猜想更為正確。相關的研究也表明，CA猜想得到的複雜度的增加率可以違背量子信息理論中複雜度增加率的上限。
不過這些不足不僅沒有使人們在研究黑洞的時候放棄「複雜度」這個概念，反而激發了人們對其進一步研究和改進。在最近的研究中，「複雜度」被運用到更加廣泛的領域。比如布朗等人發現複雜度在一般系統中也會滿足一個類似「熱力學第二定律」的定律[13]。邁爾斯等人則提出了一個複雜度版本的「第一定律」[14]。通過將複雜度和張量網絡相結合，人們發現在某些特殊情況下複雜度與時空以及引力的動力學有著千絲萬縷的聯繫[15]。在通過幾何化方法研究共形場論中的複雜度時，研究人員發現共形場論中的複雜度等價於二維引力的Polyakov作用量[16]。現在複雜度成為了黑洞物理、引力理論和量子場論研究等領域一個活躍的研究課題。
複雜度作為高能物理中的新概念，或許現在對其在理解量子引力和時空起源中所扮演的角色作出結論還為時尚早。但是它為從量子計算和量子信息的角度去理解時空的起源提供了新的視角，它或許能夠成為理解時空起源和黑洞量子性質的一把新鑰匙。
後 記
文小剛
It from bit 的原始意思是萬物起源於比特。這篇文章把 It 解釋為時空，討論了時空是不是也能起源於比特？事實上，我們發現時空不能起源於比特。但最近十幾年的理論物理研究強烈地暗示著，時空可能起源於量子比特，而時空連續的幻象可能起源於量子比特之間的糾纏。這就是我們為什麼需要量子比特，因為經典比特沒有量子糾纏。很多時空的幾何概念，如面積、測地線等等，都有其量子糾纏的對應。
我們的時空是有其特定的動力學性質的。它的扭曲所形成的波應當滿足愛因斯坦的波動方程。但我們對於時空動力學性質的理解還有欠缺，目前還找不任何一個（有良好定義的）量子模型能給出滿足愛因斯坦波動方程的引力波。這就是理論物理中有名的量子引力問題——即使有名的超弦理論也沒有解決這個問題。因為有的超弦理論沒有良好的非微擾定義，另外一些理論雖然能給出引力波，但還要加上其他許多波。它們給不出我們所熟悉的時空，其扭曲只包括引力波和電磁波。
和電磁波類似，引力波也只有兩個橫波模式，而沒有縱波模式。不同的是，電磁波的兩個橫波模式是兩個矢量型的偏振模式，而引力波的兩個橫波模式是兩個張量型的偏振模式。我們能不能找到一個量子模型，它能給出有兩個張量偏振的引力波和兩個矢量偏振的電磁波，而不附帶其它我們時空中沒有的波。這就是我們需要解決的量子引力問題。
近二十年，凝聚態物理的研究在這方面給出了一些進展。首先，通過對高溫超導體的研究，我們找到了量子比特模型（弦網模型），它能給出有兩個矢量偏振的電磁波，而不附帶其它的波。後來許岑珂有了一個突破性的發現， 他構造了一個量子比特模型，能給出有兩個張量偏振和一個縱模的波。我和顧正澄又找到一個改進的量子比特模型，能給出只有兩個張量偏振的波。這已經和引力波很接近了，但我們模型中得到的這個波，不像引力波那樣具有一個固定不變的速度，我們的波速度跟其頻率的平方成正比。這導致它不滿足愛因斯坦的引力方程，而是滿足 Lifshitz 引力方程。所以量子引力還是一個沒有完全解決的問題。
（左）許岑珂（右）顧正澄
回到 It from bit 的原意：萬物起源於比特。那構成萬物的基本粒子，如電子、夸克、光子等等，到底能不能起源於比特？答案是不能夠。但萬物，以及這些基本粒子，可以起源於量子比特。比如通過上面提到的量子弦網模型，我們發現糾纏的量子比特可以產生只有兩個矢量偏振的電磁波（其對應於光子）。電子、夸克這些對應於物質的基本粒子也能起源於量子比特。其實上面講的弦網的密度波對應於光波，而弦的端點正好對應於電子、夸克這些物質粒子。除了引力子，我們發現萬物（即組成萬物的基本粒子）的確可以起源於量子比特。（詳見《返樸》文章「拓撲序：看世界的一種新視角」）。
作者介紹：
蔡榮根：中國科學院理論物理所研究員。研究領域為黑洞物理，引力理論和宇宙學。發表文章260餘篇，共計引用15000餘次。
阮善明：加拿大圓周理論物理研究所博士研究生在讀，師從著名學者Robert Myers教授。中科院理論物理研究所碩士畢業，目前研究興趣為場論中的複雜度定義和複雜度與時空幾何的關係。發表多篇重要工作。
楊潤秋：韓國高等研究院博士後，中國科學院理論物理研究所博士畢業。目前研究興趣和方向是場論複雜度定義和全息複雜度，在相關領域發表多篇有影響力的文章。
參考文獻
[1] J. A. Wheeler, Information, physics, quantum: the search for links, in Complexity, entropy, and the physics of information (W. Zurek, ed.), pp. 309–336, Westview Press, 1990；
[2] 「It From Qubit」, Simons Collaboration on Quantum Fields, Gravity and Information. Project Introduction (https://www.simonsfoundation.org/mathematics-physical-sciences/it-from-qubit/projects/) and Research Proposal (http://web.stanford.edu/~phayden/simons/simons-proposal.pdf)；
[3] S. Ryu and T. Takayanagi, Holographic derivation of entanglement entropy from the anti–de Sitter space/conformal field theory correspondence, Phys. Rev. Lett. 96 (2006), no. 18 181602；
[4] S. Lloyd, Ultimate physical limits to computation, Nature (London) 406(2000) 1047；
[5] M. A. Nielsen, M. R. Dowling, M. Gu and A. C. Doherty, Quantum computation as geometry, Science 311 (2006) 1133-1135；
[6]Jefferson, Robert A., and Robert C. Myers. "Circuit complexity in quantum field theory." Journal of High Energy Physics 2017.10 (2017): 107.
[7] Susskind, Leonard. "Entanglement is not enough." Fortschritte der Physik 64.1 (2016): 49-71.
[8] 糾纏熵本身只是糾纏這樣一個量子概念的一種度量方式，更嚴格地說這裡只是強調了 「entanglement entropy is not enough」；
[9] L. Susskind, Computational Complexity and Black Hole Horizons, Fortsch.Phys. 64 (2016) 44–48；
[10] A. R. Brown, D. A. Roberts, L. Susskind, B. Swingle and Y. Zhao,Holographic Complexity Equals Bulk Action?, Phys. Rev. Lett. 116 (2016)191301；
[11] Juan Martin Maldacena, 「Eternal black holes in anti-de Sitter,」 JHEP 04, 021 (2003)
[12] Lehner, Luis, Robert C. Myers, Eric Poisson, and Rafael D. Sorkin. "Gravitational action with null boundaries." Physical Review D 94, no. 8 (2016): 084046.
[13] A. R. Brown and L. Susskind,「Second law of quantum complexity,」Phys. Rev. D 97，no. 8, 086015 (2018)；
[14]A. Bernamonti, F. Galli, J. Hernandez, R. C. Myers, S.-M. Ruan, and J. Simon, 「First law of holographic complexity,」 Phys. Rev. Lett. 123 (Aug, 2019) 081601.
[15] B. Czech, 「Einstein Equations from Varying Complexity,」 Phys. Rev. Lett. 120, no. 3, 031601 (2018)；
[16] Caputa, Paweł, and Javier M. Magan. "Quantum computation as gravity." Physical Review Letters 122, no. 23 (2019): 231302.
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