萬物
皆可拓撲
不同的人，看到的世界是不一樣的。
就好像一個簡簡單單的甜甜圈，在吃瓜群眾看來只是一張普通的Jpg
但在拓撲學家的眼裡，卻是一張會上癮的Gif
所以，為了讓大家都可以像拓撲學家一樣，真正理解事物更本質的一面。今天，超模君就給大家來講一下關於拓撲的神操作！
如何解決城市貧民區問題
在全球快速城市化的浪潮中，貧民區交通問題就像996的腰椎間盤一樣，顯得尤為突出。
狹窄的道路，不僅妨礙了基礎設施的建設，而且還嚴重影響著應急車輛的通行。
但你要明白，沒有什麼東西是拓撲學解決不了。如果有，那可能是你拓撲學學得不夠好。
拓撲學：是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科，它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。
江湖甚至流傳，拓撲就是幼兒園裡的揉橡皮泥，研究被各種揉過的各種橡皮泥，以及研究怎麼揉橡皮泥。
2018年，在 Science Advances 上出現了一篇關於拓撲的神論文《Toward cities without slums: Topology and the spatial evolution of neighborhoods》。
作者是來自美國能源部橡樹嶺國家實驗室、薩姆休斯頓州立大學以及芝加哥大學的研究人員，他們希望通過將城市建築空間分割成不同的街區，用拓撲簡化城市結構，來解決問題。
具體怎麼操作？以下圖的理想街區S0為例（裡面的9個小格表示不同的街區），作線連接相鄰街區中心形成紫色對偶圖S1，再將S1中四個新小格的中點連接得出S2藍色小格，同樣道理類推直到最後S3的一個紅點。
對偶圖：是一種特殊的映射圖，在圖論及其算法研究中，通常建立平面圖的對偶圖，將面轉換為結點，鄰接面用邊相連，從而建立面之間的關係。
要知道，製作對偶圖的主要目的就是用於判斷城市的區塊複雜度。一般來說，城市最深的對偶圖層數代表該城市的區塊複雜度。
就拿紐約、布拉格和哈拉雷這3個城市進行對比，你會發現，紐約和布拉格的區塊複雜度是2，而辛巴威哈拉雷的區塊複雜度是3。
他們認為，貧民區的區塊複雜度，往往是最高的。而在其深層的對偶圖中，一定存在缺乏通道的場所。只要找出這部分，並對其進行小改造，就能以最低的成本解決問題。
在闡述完分析思路後，研究員便著手針對更貧困的南非開普敦市 Khayelitsha 地區進行討論。
南非開普敦市 Khayelitsha 地區
在上面花里胡哨的對偶圖，他們算出了這個Khayelitsha 地區的區塊複雜度是9。可以說，區域連通性已經差到不能再差。
右側的熱力圖描述的是任意兩點之間通行所需距離，距離越遠則顏色越紅。
道路改造前（圖B），所有點位之間通行的距離整體較長，連熱力圖顯示的是也是偏紅顏色。
為了擺脫這糟糕的狀況，研究員提出了改造4條短道路的方案。
萬萬想不到的是，在補充了四條短路之後（圖C的紅、黃、橙、綠），街區所有點位之間的平均通行距離得到了大幅度的減小：從220米減小至140米。在熱力圖上，基本沒有紅色。
要明白，這麼大的改變只是簡單的修了4條路，而且
目前，該論文的相關數學模型已經被應用在城市改造中，包括南非的開普敦和印度的孟買。
回顧這篇神論文，你會發現，正確的拓撲分析，會直接幫助研究員簡化了複雜的城市結構，讓他們可以更快速找出複雜程度高的地方，且能更直觀的針對街道作連通性的改造，進而改善交通風貌。
關於拓撲
當然，用拓撲解決實際問題並不是第一次，最早還得從著名的「七橋問題」說起。
18世紀，歐拉大神用實力證明了不可能在所有橋都只走一遍的情況下，走遍連接河中心兩個小島和兩岸的所有七座橋。
讀過數學史的都知道，歐拉的解決方法是忽略了橋的長度和島的大小，將島和橋簡化成了平面上的點與線。
歐拉的發現為後來的數學新分支——拓撲學的建立奠定了基礎。
1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）將歐拉的才智進一步發展，對於這一新的數學領域，引入了「拓撲學」的概念。
數學家們覺得拓撲學十分有趣，在此後的一個多世紀，數學家們進行了大量關於拓撲學應用的研究。但是，這只是在研究，並沒有將它進行實際應用。
直到20世紀90年代，拓撲學的應用終於開始真正的發展。比如說在生物學領域，通過扭結理論理解DNA的結構。
2010年，甚至有科學家證明了DNA可以通過多條鏈之間的配對關係，形成超螺旋環和鏈環結構等拓撲結構。（例如組裝一個莫比烏斯條）
他們稱這種原理，可以在分子工程中用 DNA 組裝出各種未知的有意思的結構。
又比如說宇宙學領域。
我們可以通過拓撲，來理解浩瀚宇宙的形狀。
在這裡，舉一個接近龐加萊猜想的實驗：拿一個子彈，其後面繫著一根無限足夠長的繩子，然後將子彈發射到太空。假設在子彈的帶領下，繩子繞著宇宙自由翱翔一圈後回到了地球。
圖片來源於NHK Documentary
當子彈飛回地球時，一個大繩圈便會形成。我們要做的，就是用力抓住繩子往地球上收回來。
圖片來源於NHK Documentary
根據能否收回繩子的兩種情況，你便能確定宇宙的拓撲形狀了。
圖片來源於NHK Documentary
可能會有些模友會懵逼，怎麼就確認形狀了呢？這時候，就需要各位發揮想像力了。
假想我們從上帝視覺去看宇宙，如果宇宙是球形的話，那麼繩子會收回地球：
圖片來源於NHK Documentary
但如果你發現繩子被卡住了，拉不回來了，那麼宇宙就很有可能存在一個你無法看見的巨洞。（此時，你也可以理解宇宙就是一個「甜甜圈」）
圖片來源於NHK Documentary
而用數學界的專業術語來解釋這種現象的話，那就是
還有在機器人領域中，我們需要融入拓撲學知識，使得機器人以有效、安全的方式連續改變方向。
當然，在生活中也有很多拓撲學的身影：
計算機學家通過扭結在一起的同軸電纜製造量子計算機；
醫生以同調論為基礎為病人做大腦掃描；
通信公司運用拓撲學來決定如何布置基站進行網絡覆蓋；
手機的照相功能也是通過拓撲學原理實現的
還有，超模君用莫比烏斯帶做了個戒指表白，然後被拒。
......
有人曾說，拓撲論之於數學就好比進化論之於生物學一樣的地位。因為幾乎在每個數學分支中，比如說動力系統，統計理論，微分幾何，現代代數，群論和圖論等等，都會涉及到拓撲知識。
而更重要的是，掌握了拓撲學的人，在看待問題的時候，都會能從一個全新的視角出發，去分析解決。
別問超模君是怎麼知道的，因為拓撲高手在民間。