因為疫情，今年的聖誕新年假期哪兒也去不了，倒成了我們家的整理收拾月。
上次在收拾逃逃的書籍時，和大家掰了美國孩子的閱讀。今天想和大家聊的話題，其實也是因最近的整理而起，是在收拾逃逃的玩具時非常有感的。
比起很多老美家庭通常要安排一兩個房間來存放玩具的陣勢，逃逃的玩具不算多，我們比較節制，一般只買很有必要和非常喜歡的。一輪整理下來，發現我們最捨得花錢的「玩具」都很有共性，很多很多的積木，平面的、立體的，很多很多的摺紙、拼圖、立體書，還有好幾大箱的樂高積木…
其實不止我們家，走進任何一家美國幼兒園、小學教室，除了書，最多的肯定也是這一類。看起來都是玩具，但它們有個共性，培養孩子的「幾何感」，也就是老美數學老師所說的「Geometric Intuition」。
我們常說「數感」培養，卻很少提到「幾何感」。但實際上，從長遠看，幾何感對孩子的幫助會更大，幾何感強的孩子也會具備更強的競爭力。
今天就來和大家說說孩子的「幾何感」。
它究竟指的什麼？對孩子有什麼幫助？搭積木？畫輔助線刷幾何數學題？大家平時花了很多錢買積木買玩具買教具到底值不值？哪些玩具/教具的性價比最高？有什麼需要注意的地方？…
EASTWEST
好幾年前，逃逃剛在美國上學不久時，我曾花了些時間來研究美國的教學大綱，其中這一小段關於幾何的「意義和重要性」，被我高亮標記出來了：
怎麼講？
第一，幾何和數學的「every strand」，每一絲每一縷，都有緊密的關係。
我算是數學還不錯的，至少到了大學的高數和線數，還能保持滿分記錄。「藝高人膽大」地說一句， 孩子的幾何能力不行， 數學肯定好不了。也許在開始學習簡單圖形變換時還能勉強撐過去，但到了中學，和代數結合的坐標幾何，以及三角函數、複雜的幾何證明時，數學也就差不多到頭了，後面會舉步維艱。
第二，幾何始於數學，但它的意義和影響卻遠超數學。
從古希臘文明，到文藝復興的繪畫、雕塑，到現代的設計、建築，無一不和幾何有關。忘了是哪位名人說過，「我們這一代人努力學習數學和科學，我們的孩子，才能從容地學習文學哲學，我們孩子的孩子，才能好好學習藝術。」而 幾何， 本身就連通了從數學到哲學到藝術，可以說是一項既仰望星空，又腳踏實地的硬核能力。
柏拉圖：「幾何會帶你走向真理，並創造哲學的精神。」
下面，我們就來腳踏實地的，看看孩子的幾何能力究竟指的是什麼，幾何感怎麼培養？
我會借用我比較熟悉的美國K12的幾何教學框架來講。實際上和咱們國內是差不多的，因為全世界孩子的幾何知識來源都一樣，都源自歐幾里得的《幾何原本》。歐幾里得肯定是所有數學迷的偶像了，逃逃在他的視頻號里就談過他（瞄一眼就回來接著看文章啊～）：
孩子的幾何能力，主要包括了這7個方面：
其中，
前3項是最基本的，學齡前和小學低年級就必須開始重點培養，它們是後面幾項的基礎，對應的玩具/教具也很多，我會掰得比較細；
第4-6項，也需要開始得很早，和前3項有所不同的是，它們會走得更深，更遠；
第7項，幾何中的邏輯推理，孩子會接觸得比較晚一些，集中體現在需要嚴密邏輯演繹推理的幾何證明題里。
01.
空間關係
空間關係，是最直觀、孩子也最容易感知到的。不過很多我們大人看起來再自然不過的事，孩子卻需要慢慢去學習和體會。它主要包括三方面：
物體和空間的關係
包括物體在空間中的位置、方向，比如上下、左右、前後、中間等等；以及從不同視角觀察，物體和空間的關係會有所不同這樣的現象，比如家裡的窗戶看出去，樹在房子的左邊，但從路的另一邊看過來，樹卻是在房子的右邊。
這些知識，在生活中處處可見，只要家長稍微留心，就能給孩子足夠多的輸入，並不需要藉助特別的玩具/教具。
物體和物體之間的關係
基本概念很簡單，就三點： 全等、對稱、相似。
孩子的認知，也是由淺入深慢慢來。逃逃小時候玩各種積木玩具時，我會時不時跟他做一些「夾帶私貨」的練習。比如用樂高方塊，我先搭一個圖形，再請逃逃搭出一個一模一樣的「全等」圖形；或者自己搭出愛心的一半，讓他搭出對稱的另一半；然後讓他自己搭小一點兒的，或者大一點兒的「相似」愛心...
同樣的，還可以搭3D圖形的全等、對稱和相似：
類似這樣的練習，其實用任何積木方塊、磁力片、甚至彩色紙片都可以做，我比較喜歡用樂高方塊，是因為它們可以和底板固定卡緊，免得娃手一抖就弄亂了。
可別小看這幾個概念啊，大家回想一下，咱們以前刷過的很多幾何題，都是落在這些知識點上。而且，到了後面學坐標幾何時，還需要把這些概念應用到直角坐標系中去，比如對稱，就有X軸對稱、Y軸對稱、原點對稱等等。
從小玩透了，才容易有「感」。
2D和3D的關係
主要也是要理解三個概念： 視角、投影和 透視。但因為是2D和3D圖形之間的變換，要難很多。
- 視角 ，指的是從不同角度觀察物體，看到不同的樣子；
- 投影 ，指的是用一組光線將物體的形狀投射到一個平面上去，在該平面上得到的圖像；
- 透視 ，來自拉丁文「perspicere」，意為「透而視之」。指的是通過透明平面觀察、研究透視圖形的發生原理、變化規律和圖形畫法，最終使3D物體的立體形狀落實在2D平面上。
這方面的練習，如果家長沒有相關領域的背景，比如美術、建築、設計等，估計很難自己發揮，最好是藉助專業的玩具/教具。
名氣最大的，應該是以色列教育品牌FoxMind出品的桌遊 「天才建築師」。它有好幾個系列，是數學家Michel和Robert Lyons專門為培養孩子的幾何空間思維而設計，有針對性地練習幾何圖形的構成、分解組合，以及2D和3D關係的轉換。
FoxMind的「天才建築師」系列
其中的 「建築大師」（Architecto）和「空間大師」（Perspecto）這兩個系列，就是比著2D和3D的視角變換知識點來做練習。
FoxMind的「天才建築師」系列的題卡
題卡會給出各個不同的視角圖（前視圖、後視圖、俯視圖），要求孩子搭出滿足這個視角圖的建築體，一開始只需要滿足一個視角，漸漸地難度加大，要同時滿足幾個視角，孩子需要非常仔細地觀察幾何體組合的變化。
2D和3D的轉換是個難點，需要大量的觀察和感受。一些摺紙、立體書也很有幫助，比較容易讓孩子get到 「投影」和 「透視」的感覺。
特別推薦一本收錄了 頂級建築大師貝聿銘經典建築的立體書，也是逃逃今年的聖誕新年禮物之一，我專門從國內海運過來的～
書中再現了幾座貝聿銘先生親自設計的，世界級的建築：羅浮宮金字塔、蘇州博物館、美國國家美術館、日本美秀美術館、香港中銀大廈，非常震撼。
《貝聿銘的建築密碼》
任何一座美的建築，都是數學幾何，工程科學和美學設計的完美結合。而且 立體書的方式， 紙片從摺疊到立體的變化， 正好也讓孩子觀察和體會2D和3D之間的轉換。
02.
幾何屬性
如果說「空間關係」是離得稍微遠一點兒，去觀察物體和空間、物體和物體之間關係，那「幾何屬性」，則要求把「鏡頭」拉近，對單個物體/圖形進行更細緻的觀察。
它包括 2D圖形的頂點、邊、角度，以及 3D 圖形的頂點、邊、表面等。
其中2D圖形的幾何屬性是小學學習的重點。整個小學的幾何知識點，至少有一半以上是落在這個知識點上，從角的初步認識，度量，到平行四邊形、梯形、三角形、圓形……
對應2D圖形的幾何屬性，有一套非常好用的教具，中文名叫 「edx幾何魔法條」，也是由數學家團隊設計的，帶頭人是澳洲數學教育專家Dr. Paul Swan。
這套教具有個很「吃虧」的地方，就是太像玩具了，晃一眼五顏六色，在商場裡很容易在玩具堆里淹沒。
但它卻是一個實打實的幾何教具。用來搭建不同的圖形，理解頂點、邊、角度等概念再合適不過。可以說整個小學階段都非常實用，到後面，還能非常直觀地讓孩子理解幾何中的一些定理。比如為什麼三角形任意兩邊之和大於第三邊？因為不滿足這個條件就搭不出三角形啊～
同樣的，3D圖形也有類似的教具產品：
不過低年級對3D圖形的幾何屬性要求不會太細，比如只要求孩子認識和理解，但不會像2D圖形那樣細緻到具體尺寸和角度大小，所以，用「牙籤」和「棉花糖」也是可以代勞的～
03.
幾何變換
幾何變換，實質上是剛才所說的第1項，「空間關係」的延展，主要包括平移translation，旋轉rotation，反射reflection，和縮放 scaling。
正因為是「變換」，所以變換練習真的特別多，我們熟悉的很多幾何積木類教具，都是著重練習這一塊。
最有代表性的，出自大品牌的有MIGHTY MIND的磁性積木MightyMind ，以及ThinkFun的Shape by shape等等。
還有我們更加熟悉的七巧板（Tangram）：
這類積木教具，都是需要孩子找到形狀大小合適的積木塊，按照合適的方向，擺放到合適的位置，在這個過程中不斷地實踐幾何圖形的變換。
其實很多思維練習冊上也有類似的訓練，比如我們一直很推薦的日本《兒童思維訓練365天》和《數學腦》，裡面有很多有意思的幾何思維訓練題。但需要提醒大家一點，孩子的幾何能力培養， 一定得從摸得著的實物開始， 上手觸摸、搭建， 從不同的角度觀察， 才更會有「感」。
不過，到了一定階段，練習冊也很有必要，因為這時孩子就得發揮TA的空間 幾何想像能力了，在沒有實物的情況也能在腦海里進行分解、組合，想像物體圖形之間的關係。
比如下面這樣的題目，很鍛鍊孩子在腦海里對幾何圖形的想像力：
《365兒童思維訓練》高級
《數學腦》
前面列出的3大項是幾何能力的基礎，主要集中在孩子 「具象幾何」思維培養階段，所對應的教具也很多；接下來這幾個項，主要是在孩子的 「抽象幾何」學習階段，會更難一些，我來大致和大家過一下。
04.
坐標幾何
坐標幾何，也叫解析幾何，或者笛卡爾幾何，因為它所用到的平面直角坐標，以及用代數來解決幾何問題的方法，就是法國數學家笛卡爾（Cartesian）提出的。
前面講到的很多概念，比如平移、旋轉、縮放，將來都會對應到這個坐標系裡，「形」和「數」相遇：
坐標幾何的啟蒙，其實從很小就可以開始做了，比如準確定位一件物品的位置，美國孩子低年級時學的很多有關地圖的知識，方位、方向、圖示、比例尺，讀地圖，畫地圖等等：
還有很多思維練習，比如根據「坐標」找出對應物品，或者用「坐標」類詞彙描述物體的位置，都是在為後面的「坐標幾何」學習做鋪墊：
《365兒童思維訓練》中級
05.
幾何測量
幾何測量，非常直觀。孩子的學習，是沿著 從模糊到清晰， 從憑感覺到算清楚這樣的路徑。
學齡前接觸到測量，是不需要準確數據的，就憑感覺地做一些「比大小，按長度、重量排序」的練習；
接著到測量，計算長度、面積、角度，要求準確的數據，這時前面提到的那個 「edx幾何魔法條」的教具就非常好用，仔細看每個棒子上面都有長度、角度和刻度標註，就是專為孩子在學習精確測量階段而設計的。
測量咋一看還比較簡單，BUT，到後面上到三角函數階段，尤其是和坐標幾何再一結合的時候，很多孩子就暈菜了。
所以，前面的基礎要打牢，是硬道理。
06.
幾何建模
幾何建模，實際上孩子從接觸數學開始，就一直在用，只是沒覺察到，或者說不知道它有一個這麼fancy的名字。
指的是什麼呢？其實就是所有用幾何圖形、圖表來描述和解決實際問題的方法。而且並不限於數學問題。
比如孩子學數數、加減法時用到的數軸線，逃逃曾在視頻號里和大家介紹過：
比如用來統計比較數據的各種圖表：
或者是在物理中用來分析力的方向、大小的示意圖：
所有能「可視化」為幾何圖形、圖表的問題，都可以用幾何建模的方法，進行更直觀的描述和分析。 幾何建模，體現的是孩子對幾何知識的應用能力。
07.
邏輯推理
我自己，還有我知道的身邊很多喜歡數學的同學，都有一個共鳴：數學，學到幾何證明題時，突然感覺豁然開朗，非常「清爽」。
為什麼呢？因為實在很美， 簡潔， 嚴密， 系統。在幾何的世界裡，除了屈指可數的幾條公理，其他所有事情都不能想當然，都要有根據，有嚴密的推導過程。
我來幫大家回憶一下，在龐大的幾何證明領域，公理只有10條，真的是伸出雙手就能數清楚。
其中包括5條一般性公理：
- 如果a=b, b=c, 那麼a=c；
- 如果a=b，c=d，那麼a+c=b+d;
- 如果a=b，c=d，那麼a-c=b-d;
- 彼此能重合的物體（圖形）是全等的;
- 整體大於部分。
以及幾何知識相關的5條公理：
- 由任意一點到另外任意一點可以畫直線；
- 一條有限直線可以繼續延長；
- 以任意點為心，以任意的距離（半徑）可以畫圓；
- 凡直角都彼此相等；
- 過直線外的一個點，可以做一條，且僅可以做一條該直線的平行線。
這10條公理，還有一些基本概念的定義，是整個幾何學的基石，其他所有的定理、結論，都是從它們推導而出，而且推導過程必須符合邏輯。就這樣，整個幾何學的知識體系就被構建出來，是不是很清爽，但又夠霸氣？
幾何證明， 培養了孩子嚴密的邏輯思維和思辨能力，古希臘的數學家和哲學家往往是同一波人，現在美國中學數學俱樂部和辯論隊通常也是同一波孩子，估計就是這個道理。這些思維方式，在其他所有領域都能用到。
EASTWEST
上面的內容，前面幾項，相信大家會很有感，因為孩子正在學習經歷，後面幾項，估計大多數同學隱約有印象，但很多細節可能想不起來了。不過，孩子未來幾年，肯定也會沿著這個線路學習，咱們先稍做點兒預熱。
總的來說， 數學基礎學習， 「數感」重要， 「幾何感」也同樣很重要； 「數」和「形」要兩手抓， 因為到了後面， 它倆會在某個地方相遇、結合， 任何一手鬆了， 都會有問題。
今天的文章可能稍微有點兒長了，謝謝讀到這裡的你們。不過因為整個幾何學習體系的內容就是有那麼多，我總得把框架掰完整嘛^_^數學算是我自己，還有逃逃都很有感的一門學科，寫這篇文章時，腦海里湧出很多相關的話題，比如「數形」結合，數學和編程的關係，數學該不該超前學，怎麼超前學？……讀到這裡，也希望看到更多數學內容分享的朋友，請在右下方點個 「在看」告訴我吧。
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