歷史的回顧與漫談——中國學者與統計物理學

圖1 丁西林(1893—1974)

最早對該定律進行驗證的中國學者，是當時在英國伯明罕大學O. W. Richardson教授指導下學習的我國學者丁西林1) (圖1)，他歷時三年，改進了O. W. Richardson和W. H. Schottky在他之前進行的實驗，利用熱電子發射驗證了Maxwell定律 (Ting S L. Experiments on Electron Emission from Hot Bodies. Proceedings of the Royal Society of London，1921，A98：374—394)(圖2)。

圖2 丁西林驗證Maxwell分布律的文章

繼丁西林之後，在驗證Maxwell真空分布律方面做出重要成就的我國學者是葛正權2) (圖3)。

圖3 葛正權(1896—1988)

隨著真空技術的發展，1920年代之後，驗證Maxwell分布律的研究逐步轉移到分子束實驗。著名德國物理學家O. Stern用銀蒸氣分子束實驗獲得銀分子有著確定的速度分布的信息，但未能給出定量的結果。當時在美國加州大學伯克利分校攻讀博士學位的葛正權經過近三年的艱苦努力，獲得了此項定律的精確驗證成果 (Ko C C. The Heat of Dissociation of Bi2 Determined by the Method of Molecular Beams. J. Franklin Institute，1934，217(2)：173—199)(圖4) 。葛正權這篇長達26頁的論文是驗證Maxwell速度分布律的有名文章，曾長期被許多專著和教科書引用 (比如Sears的University Physics，程守洙等著《普通物理學》，李椿等著《熱學》等)。

圖4 葛正權1934年的論文

丁西林和葛正權兩位先輩驗證Maxwell速度分布律的貢獻，是我國學者對國際統計物理學發展所作貢獻的最早記載，值得我們永久銘記。

2

我國統計物理學研究的兩位先驅和奠基者——王竹溪和張宗燧

在統計物理學研究中最早獨立提出理論而為國際學界承認的中國學者是王竹溪和張宗燧。

20世紀30年代中期，統計物理學研究重點正處在從理想氣體和低溫固體等准自由粒子系統轉向有比較強的相互作用的合作系統，此時合金及溶體的合作現象和相變問題成為研究熱點3)。王竹溪和張宗燧先生正好在此時相繼投入當時統計物理研究的重鎮——英國劍橋大學理論物理學教授Ralph Fowler4)的門下，在當時的這個學術研究熱點上做出了突出的成績。

王竹溪 (1911—1983)(圖5)，湖北公安人，1929年夏入清華大學。1933年進入清華研究院，跟周培源研究湍流理論。1935年獲公費留英資格後，同年８月到劍橋大學師從Ralph Fowler 研究統計物理。

圖5 王竹溪(1911—1983)

王竹溪在劍橋學習期間，先對較簡單的吸附作用問題發展了一個普遍的統計理論，然後把其主要思想用到超晶格問題，推廣成普遍理論，既適用於組元濃度相等，也適用於組元濃度不等的情形，而且處理的是相當普遍的一類長程相互作用，找到了計算超晶格位形配分函數的近似方法，從而在形式上給出了超晶格問題的普遍解。王竹溪的工作對貝特 (Bethe) 理論有明顯改進，得到了與實驗更接近的結果 (圖6)。在隨後的多年中，超晶格和相變仍是王竹溪繼續研究的主要問題。

圖6 王竹溪的兩篇具有長程相互作用的超晶格的統計理論的首頁

王竹溪在劍橋期間發表了6篇論文，計為：

(1) Wang J S. On the Diffusion of Gases through Metals. Proc. Camb. Phil. Soc., 1936, 32: 657—622；

(2) Wang J S. Properties of Adsorbed Films with Repulsion Interaction. Proc. Roy. Soc., 1937, A161: 127—140；

(3) Wang J S. Statistical Theory of Superlattices with Long-Range Interaction. I. General Theory. Proceedings of the Royal Society of London, 1938,

A168: 56—67；

(4) Wang J S. Statistical Theory of Superlattices with Long-Range Interaction. II. The Simple Cubic Lattice and the Body-Centred Cubic Lattice. Proceedings of the Royal Society of London, 1938, A168: 68—77；

(5) Wang J S. Statistical Theory of Adsorption with Long Range Interaction. Proc. Camb. Phil. Soc., 1938, 34: 238—252；

(6) Wang J S. The Kinetics of Adsorption with Long Range Interaction. Proc. Comb. Phil. Soc., 1938, 34: 412—423。

王竹溪1938年獲博士學位後旋即回國，未及回家省親即趕赴昆明西南聯大擔任教授，遂有「王師母千里尋夫」的故事傳出5)。王竹溪先生回國後，為推進我國的熱力學和統計物理學教學和研究進行了不懈的努力，1955年被聘為中國科學院學部委員。

教學方面：他相繼在西南聯大、清華大學、北京大學講授熱力學和統計物理學課程，舉行統計物理學講座，持續地將他的研究生、青年教師 (林家翹，應崇福，楊振寧，李蔭遠，梅鎮岳，徐亦莊，徐錫申等) 引入統計物理學研究；20世紀50年代，王竹溪撰寫了我國第一部熱力學和統計物理學教材。他的《熱力學》和《統計物理學導論》成為我國幾代人學習的教科書，至今仍在重印 (圖7) 。

圖7 王竹溪先生所著《熱力學》(第一及第二版)和《統計物理學導論》封面

研究方面：他相繼在超晶格相變、勒夏特列原理、高級相變、范氏氣體性質、熱力學系統平衡與穩定性質以及熱力學在植物生理的應用方面做出了獨創性的結果。

王竹溪先生是公認的我國熱力學和統計物理教育和研究的開創者和奠基人。文革期間，王竹溪先生因在江西勞動感染血吸蟲病，1983年因病逝世。

張宗燧 (1915—1969)(圖8)，浙江杭州人，1934年畢業於清華大學物理系，後留校攻讀學位。1936年入英國劍橋大學隨Fowler研究統計物理學，僅用兩年時間，即於1938年獲英國劍橋大學哲學博士學位。

圖8 張宗燧 (1915—1969)

張宗燧在學習期間推廣Bethe的金屬合金相變理論到包括次近鄰格點間相互作用的貢獻，明顯地改進了合金有序—無序相變的Bethe理論與實驗符合的程度(圖9)；他通過求出合金系統的巨配分函數，證明了Bethe近似與Guggenheim等人提出的准化學近似完全等價 (圖10)；嚴格證明了Bethe假設的兩個組合公式，被稱作「張宗燧組合公式」，此一結果被Fowler和Guggenheim收入到他們的名著《統計熱力學(Statistical Thermodynamics)》中作為第1323節 (圖11)。

圖9 張宗燧推廣Bethe理論論文的首頁

圖10 張宗燧導出合金系統巨配分函數論文的首頁

圖11 Fowler和Guggenheim名著《統計熱力學》扉頁及其中收入張宗燧組合公式的一節

張宗燧在劍橋期間發表了6篇論文：

(1) Chang T S. An Extension of Bethe′s Theory of Order-Disorder Transitions in Metallic Alloys. Proceedings of the Royal Society of London, 1937, A161: 546—563；

(2) Chang T S. Specific Heats of Solids due to Molecular Rotations. Proc. Comb. Phil. Soc., 1937, 33: 524；

(3) Chang T S. Superlattice Formation of the Type AB in Alloys with Applications to the Theory of Adsorption. Proc. Comb. Phil. Soc., 1938, 34:224；

(4) Chang T S. Statistical Theory of the Adsorption of Double Molecules. Proceedings of the Royal Society of London, 1939, A169: 512—531；

(5) Chang T S. The Number of Configurations in an Assembly and Cooperative Phenomena. Proc. Comb. Phil. Soc., 1939, 35: 265；

(6) Chang T S. The Number of Configurations of an Assembly with Long-Distance Order. Proceedings of the Royal Society of London, 1939, A173: 48—58。

從以上成就可見，張宗燧先生與王竹溪先生一樣，是我國統計物理學研究的當之無愧的開創者和奠基人之一。

與王先生不同的是，張宗燧獲博士學位後主要研究方向轉向量子場論，相繼在瑞士高工及哥本哈根玻爾研究所跟隨泡利 (Pauli) 和玻爾 (Bohr) 從事量子場論研究，1939年回國在中央大學物理系任教。1945年經李約瑟推薦，再回英國劍橋大學，在該校講授場論。1947年經狄拉克 (Dirac) 推薦去美國普林斯頓高等研究院從事研究，1948年秋回國任北京大學物理系教授。之後相繼任北京師範大學教授和中國科學院數學研究所研究員，1957年被聘為中國科學院學部委員6)。值得指出的是，張宗燧先生在以量子場論為主要研究方向的同時，仍潛心研究統計物理問題，在任意濃度比的合金、多種類型的固溶體特別是多元多原子分子固溶體的統計力學方面得出重要成果。張宗燧一生潛心向學，無奈命途多舛，於文化大革命期間受迫害而去世，令人扼腕痛惜。

3

在非平衡統計物理學中做出傑出貢獻的兩位女物理學家——王明貞和王承書

20世紀是非平衡態統計物理迅速發展並取得廣泛應用的世紀。在此一世紀中，非平衡態統計物理的內容得到極大的充實和擴展。首先，由克勞修斯 (Clausius)、麥克斯韋 (Maxwell)、玻爾茲曼 (Boltzmann) 在19世紀創立的分子動理論從僅能處理稀薄單原子氣體被發展到能處理固體、液體和氣體非平衡輸運特性的輸運理論，並廣泛應用於化學、生物學和化工、航空航天、能源、環境、大氣等科學技術領域；其次，布朗運動理論成為非平衡態統計物理的重要內容，使得人們不僅能夠精確處理受隨機環境影響體系的運動規律，而且促進了隨機過程數學理論與物理學的緊密結合，在天文、化學、生物、通信、計量以及其他領域得到大量應用。

20世紀40年代，我國的兩位女物理學家王明貞和王承書在非平衡態統計物理學中做出了傑出貢獻，她們二人的工作，分別在布朗運動和氣體輸運理論兩個方面產生了深遠的國際影響。巧合的是，與上述王先生和張先生都師從一位導師R. H. Fowler類似，指導這二位女物理學家博士論文的也是同一個人7)。

王明貞 (1906—2010)(圖12)，江蘇蘇州人，1926—1930年先入金陵女子大學後轉燕京大學物理系學習，1930年畢業後繼續在燕京大學物理系工作學習，1932年獲燕京大學碩士學位，1932—1938年在金陵女子文理學院數理系任教。1938—1942年赴美在密西根大學物理系作研究生，1942年獲博士學位。1943—1945年在美國麻省理工學院 (MIT) 輻射實驗室從事雷達研究。1947—1949年回國任雲南大學物理系教授。1949—1952年二度赴美在Notre Dame大學從事理論物理研究。1955年歸國後一直任清華大學物理系教授。

圖12 青年時期(左)和老年時期(右)的王明貞

在密西根大學學習期間，王明貞獨立地從Fokker—Planck方程和Kramers方程中推導出了自由粒子和簡單諧振子的布朗運動。後與導師Uhlenbeck合作，撰寫了綜述布朗運動理論的長篇論文 (Wang M C，Uhlenbeck G E. On the Theory of Brownian Motion II. Review of Modern Physics，1945，17：323)(圖13) ，享譽國際。文章根據王明貞1942年在密西根大學的博士論文的部分結果，以及他們二人1943—1945年在MIT輻射實驗室理論組從事噪聲分析的科學積累，總結了Uhlenbeck與Ornstein在1930年發表第一篇布朗運動理論綜述8)以後的發展，集中對高斯型分布隨機場中的布朗運動作了系統的分析。

圖13 王明貞與 Uhlenbeck綜述論文的首頁

這篇文章對布朗運動理論的基本貢獻在於：(1)早於他人，詳盡完整地給出了耦合諧振子的布朗運動理論結果，對於噪聲分析，特別是線性無源電路熱噪聲分析具有指導意義；(2)這篇文章第三節給出了對隨機過程最為系統和完整的分類，此一分類已成為所有後續討論的標準分類，被普遍採用。

王明貞與Uhlenbeck合作的這篇文章，據SCI引用統計表明，至今該文的引用數已達1900次以上，而且被引用隨時間分布很平：從2014年至今不到10年，這篇文章已被引用296次，每年平均被引用約30次。充分說明了王明貞先生78年前發表的這一工作的科學價值。

王明貞歸國後，1955—1966年在清華大學物理系講授理論物理學，深得學生熱愛和其他教師的尊敬。不料在文化大革命期間竟遭遇無妄之災，被關押審查達5年8個月之久。好在她胸襟開闊，以堅毅之精神面對艱難，喜得長壽。晚年寫出「轉瞬90載」回憶長文[1]，總結了自己奮鬥的一生。

王承書 (1912—1994)，湖北武昌人，1934年畢業於燕京大學物理系，1934—1936年在燕京大學物理系作研究生，獲碩士學位。1941年赴美，1944年獲密西根大學博士學位。後又從事兩年博士後工作，曾任密西根大學副研究員和研究員，並曾兩度在普林斯頓高等研究所工作，直到1956年回國。

圖14 王承書 (1912—1994)

在美國期間，王承書與其導師G. E. Uhlenbeck合作完成了多篇氣體動理論的重要論文[2]。其主要貢獻為：

(1)用半經典方法，通過修改Boltzmann方程碰撞項，導出適用於具有內部自由度的多原子氣體的修正玻爾茲曼方程；用Chapman—Enskog方法解修正方程，研究了多原子分子氣體的輸運性質，得出單原子分子氣體所沒有的新粘滯係數——體積粘滯係數，而且發現，多原子分子氣體導熱係數與單原子氣體有顯著差別(圖15)；

(2)對線性化Boltzmann碰撞運算元的本徵函數和本徵值進行了透徹研究，嚴格證明了Maxwell氣體情況下線性化Boltzmann碰撞運算元的本徵函數就是索南多項式；

(3)在討論氣體中聲波色散時，把計算推進到三級近似，發現Maxwell氣體的「高矩聲波」；

(4)對激波層厚度等高速空氣動力學問題進行了開創性探索，引起大量後續研究。

圖15 王承書等用修正Boltzmann方程討論多原子分子氣體輸運性質文章中的兩頁

王承書的多數工作，在她離美回國前均以密西根大學報告的形式存在，並未公開發表。王離美歸國後，Uhlenbeck為王承書工作的出版付出了持續努力，將這些論文公開發表在他自己擔任主編的Studies in Statistical Physics叢書的卷2和卷5，並著文廣為介紹，使得學術界廣為知曉。1994年應純同等將其中主要部分譯為中文，出版了《氣體運動論——王承書論文選集》(圖16) 。

圖16《氣體運動論——王承書論文選集》封面

王承書的以上貢獻得到國際同行的高度評價和持續不斷引用，引發了大量後續研究，至今不絕。她和Uhlenbeck導出的多原子分子氣體動理學方程，被稱為王承書—Uhlenbeck方程 (Wang-Chang—Uhlenbeck方程)，廣泛應用於高溫氣體、化學流體和原子分子物理研究中，已成為國內外出版的有關輸運理論專著和教材的經典篇章而長傳後世。

王承書1956年回國後，相繼任中國科學院近代物理研究所研究員兼北京大學物理系教授9)，中國科學院原子能研究所聚變研究室副主任，1961年起從事鈾同位素分離研究，為我國鈾同位素分離理論和技術發展、戰略武器的研製成功作出了特殊貢獻，成為我國鈾同位素分離理論的奠基人。1981年被選為中國科學院院士，1994年在北京逝世。

4

楊振寧和李政道對統計物理學的貢獻 (加入美國籍前)

楊振寧和李政道二位是國際知名的理論物理學家，他們二人在統計物理學方面也都做出過傑出的工作，楊振寧先生成績更為顯著。不過二人分別於1964年和1962年加入了美國國籍10)，不能再算是中國學者，所以這裡只簡單地介紹一下他們還是中國學者時做過的三件事，這三件事都有重要的國際影響。

圖17 楊振寧(1922— )

圖18 李政道(1926— )

第一件事是楊振寧關於相變的重要工作。早在西南聯大時期，楊振寧得到王竹溪真傳，在二元合金的有序—無序轉變問題上做出了較好的工作。1946年赴美後，他花了許多時間鑽研Onsager二維伊辛 (Ising) 模型準確解，獨立完成了難度極大的關於二維Ising模型的自發磁化的論文，得到了1/8這一臨界指數，有意思的是，他還啟發了另一位中國物理學家在這方面的創造性工作11)。

第二件事是楊、李二人關於氣液相變的工作。1937年J. E. Mayer基於將位力係數表示成分子間作用勢的積分，提出了氣—液相變的統計理論，得到R. Fowler，M. Born等大家的支持。不過到了1950年前後，這個理論受到實驗和理論兩方面的質疑。1952年，楊振寧和李政道合作完成並發表了兩篇關於相變理論的論文 (圖19，圖20)。兩篇文章同時投稿和發表12)。論文通過解析延拓的方法研究了巨配分函數的解析性質，發現它的根的分布決定了狀態方程和相變性質，消除了人們對於同一相互作用下可存在不同熱力學相的疑惑。這兩篇論文的高潮是第二篇論文中的單位圓定理，它指出吸引相互作用的格氣模型的巨配分函數的零點位於某個複平面上的單位圓上。這兩篇文章指出，Mayer給出的以集團積分表示的狀態方程只與氣態有關，解釋不了氣液相變，澄清了Mayer理論對氣—液相變帶來的爭論。文章發表後引起愛因斯坦的興趣，並專門會見了二人。

圖19 楊—李關於氣液相變的第一篇論文

圖20 李—楊關於氣液相變的第二篇論文

第三件事是有關稀薄玻色子多體系統的研究 (圖21)。楊振寧在1957年左右與李政道及其他合作者 (黃克孫、Luttinger等) 發表或完成了一系列關於稀薄玻色子多體系統的論文。他們得到的能量修正中最令人驚訝的是著名的平方根修正項，但當時無法得到實驗驗證。不過，這個修正項隨著冷原子物理學的發展而得到了實驗證實。

圖21 李、楊關於量子統計力學中的多體問題系列論文第一篇的摘要

楊、李在加入美國籍後對統計物理學又有許多新的重要貢獻，比如楊振寧在1967年提出Yang—Baxter方程以及1969年得到的有相互作用的量子統計模型在有限溫度 (T>0) 的嚴格解等，因已超出本文範圍，故不再介紹。好在這方面的情況已有不少文章論及，讀者欲知其詳，可參閱這些文章13)。

5

馬上庚在臨界現象理論中的工作

在統計物理學發展的歷史上，1966年無疑是一個值得紀念的年份，因為這一年之後的不到十年間，人們對相變和臨界現象的理解深入了大大的一步，這段期間，以1966年L. Kadanoff引入團塊標度變換為起始，到K. Wilson引入重正化群方法達到高潮，不到十年，實驗中發現的有關相變和臨界現象的大量疑難問題在理論上得到了相當透徹的解決。

圖22 馬上庚在Review of Modern Physics發表的綜述論文的前兩頁

在1966年左右開始的臨界現象研究的熱潮中，有一位青年學者十分活躍，他就是來自中國台灣的馬上庚14)。1972—1975年期間，在美國加州大學任教的馬上庚在重正化群理論方面做出過重要貢獻。1973年他在Review of Modern Physics，Vol 45：589發表重正化群理論的第一篇綜述 (圖22)，就1/N的展開、標度變量和維度、鐵磁和自旋玻璃的臨界動力學等進行了深入討論。

圖23 馬上庚專著《臨界現象的現代理論》的英文和中文版封面

1976年他出版了專著Modern Theory of Critical Phenomena (Benjamin / Cummens Pub. Company，1976)，現已成為這一領域的經典著作。2016年中國科學技術大學出版社出版了該書的中文譯本 (《臨界現象的現代理論》，馬紅孺譯，2016)(圖23)。

6

「文化革命」時期開出的兩朵統計物理學之花

1966年正當國際上研究相變和臨界現象的熱潮興起之際，中國大陸爆發了史無前例的「無產階級文化大革命」，這場浩劫徹底地掃蕩了中國的科學和文化的各個方面，使得我國此後十年內基礎研究的成果幾乎蕩然無存。值得慶幸的是，在這期間，我國統計物理學花園中還是開出了兩朵精緻的小花。

圖24 郝柏林(1934—2018)

圖25 於淥(1937— )

其一為於淥、郝柏林15)的「連續相變臨界指數的骨架圖展開」一文 (《物理學報》(1975年5月) 24卷第3期，187—199頁) (圖26) 。

圖26 於淥、郝柏林題為「連續相變臨界指數的骨架圖展開」文章中的兩頁

這篇文章是我國大陸學者在連續相變重正化群理論發展初期的唯一貢獻16)。1975年美國物理學會曾組織一個固體物理代表團到中國訪問，調查、了解文革期間物理研究和教學的實際情況，代表團中包括了John Bardeen等4位諾貝爾獎獲得者。在代表團的正式總結報告中，高度評價這個工作：「物理所磁學組的理論學家向我們描述了相當複雜、有想像力的連續相變臨界指數計算，用的是重正化群和圖解分析法，與西方及蘇聯當代最先進的研究類似。……我們看到中國多數固體理論學家關注經典及半經典唯象理論，這項研究是引人注目的例外。」關於這篇文章的產生過程，於淥有一篇文章作了饒有興趣的回憶[4]，大家不妨一讀。

其二為郝柏林與兩位數學家聯合發表的「三維晶格統計模型的一種封閉的近似解」 (《物理學報》(1978年1月) 27卷第1期，47—62頁) (圖27) 。

圖27 郝柏林等「三維晶格統計模型的一種封閉的近似解」一文中的三頁

自L. Onsager於1944年發表長方格子上二維Ising模型的準確解並證明其確實存在相變，樹立起統計物理學發展史上的一個里程碑以來，一直有人試圖解決或宣稱解決了三維Ising模型的準確解問題。然而據我所知，迄今為止沒有一個是真正成功的17)。

在嘗試過求解三維Ising模型的眾多人物中，郝柏林可能屬於少數沒有完全空手而歸者。文化大革命初期郝柏林在比較二維Ising模型解法的基礎上，提出一種以四元數做轉移機率的三維無規行走模型，其嚴格解可以回到正確的二維Ising模型。經過他多年努力，並與許以超、石赫兩位數學家合作，得出了三維Ising模型的一個封閉近似解。

1970年代末，王竹溪先生曾用三個半天，在他主持的討論班上講述二維Ising模型的Onsager和Kaufmann解。王先生最後說，關於三維模型的最好結果是郝柏林得到的18)。

郝柏林和於淥之所以能在文革期間仍然做出較好的工作，驗證了一句老話：「機會是留給有準備的人的」。原來，從1959年開始，在中國科學院物理研究所理論室聚集起來一批對理論物理特別是對凝聚態和統計物理學有濃厚興趣的青年學者，形成了所謂「陳春先學派」19)，郝柏林和於淥都是這個學派的成員。在文革之前，他們都已在統計物理和凝聚態理論方面有了較好的理論準備。尤其是郝柏林，在蘇聯科學院物理問題研究所隨阿布里科索夫(Abrikosov)做研究生期間，於1962年翻譯了Abrikosov等三人合著的《統計物理學中的量子場論方法》一書，1963年由科學出版社出版 (圖28)，進一步加強了自己對統計物理的理解和對場論方法的掌握。故而當機會出現時，他們才有可能做出這些成果。

圖28 郝柏林翻譯的《統計物理學中的量子場論方法》中文版(1963，2014)封面

7

黃祖洽對輸運理論的貢獻

在運用和發展統計物理學的我國理論物理學家中，黃祖洽先生無疑是傑出的一位20)。黃祖洽在長期科研實踐中運用和發展了輸運理論，主要表現在：

圖29 黃祖洽(1924—2014)

(1)1954年給出中子輸運理論中無限長黑圓柱情形下的米爾恩 (Milne) 問題的球諧函數展開近似解。l955年底至1956年中參加接受蘇聯援助我國重水反應堆的理論設計時，結合反應堆結構複雜的實際情況，認真考慮了非均勻性對堆中中子輸運的影響，發現蘇聯提供的設計中所給出的臨界尺寸數據有誤並在該反應堆啟動時的臨界實驗中得到了證實。

(2)在1960—1965年開展氫彈預研時，考慮到對象是一個在極高溫度下起核反應的，包含輕核、重核、電子、中子和光子等粒子的混合系統，不能沿用通常氣體分子運動論中使用的Boltzmann方程，而必須加以推廣，使方程中能正確反映粒子間有可能起各種反應的事實。1961年在《關於起反應的粒子混合系統的運動論》一文中寫出包含多體相互作用和反應的廣義運動論方程組。並在此基礎上導出了帶中子的輻射流體力學方程和反應動力學方程組。後者是核彈理論研究中經常用到的重要方程組之一21)。

(3)1982年以後，黃祖洽指導博士研究生丁鄂江對稀薄氣體的非平衡輸運和弛豫過程進行了研究。發現在與速度變量相應的傅氏空間中，Boltzmann方程可以通過奇異擾動方法求解，而且在所得對小克努森 (Knudsen) 數的展開式中，可消去久期項，從而解決了Boltzmann方程求解時久期項難以消去這一歷史難題。另外，該方法在各級近似中都導致納維—斯托克斯 (Navier—Stokes) 流體力學方程組，而不會引到物理意義上有問題的Burnett方程。原則上可利用這一方法去研究非平衡系統隨時間的弛豫行為 (圖30)。

圖30 黃祖洽、丁鄂江關於Boltzmann方程的奇異擾動解法的系列文章

黃祖洽在輸運理論方面的貢獻，系統總結在他的以下兩本專著中：

黃祖洽：《核反應堆動力學基礎》(第一版，原子能出版社，1983年；第二版，北京大學出版社，2007年，2014年)和黃祖洽、丁鄂江：《輸運理論》(科學出版社，1987年第一版，2008年第二版)(圖31)。

圖31 黃祖洽兩本專著《核反應堆動力學基礎》和《輸運理論》第二版的封面

8

中國科學院理論物理研究所「四人幫」的閉路格林函數研究

文革結束後，中國理論物理學家立足於國內，對統計物理學的發展做出了一項重要的貢獻——閉路格林函數方法研究。這項研究把J. Schwinger在1961年建議、後來由L. Keldysh、R. Mills加以發展的閉路格林函數框架，發展成一套完整且實用的、可以統一處理平衡和非平衡統計物理問題的方法，引起了國際同行的廣泛關注。

圖32 郝柏林、於淥主編的《統計物理學進展》封面

鑒於文化大革命對我國物理學基礎研究的衝擊中統計物理和凝聚態理論的受害深重，故文革結束後的1978年在廬山召開中國物理學會年會時，幾位有識之士專門組織了統計物理討論會，討論會中由多位在文革期間仍刻苦跟蹤國際發展的學者介紹了文革以來國際統計物理學研究的進展。其中於淥介紹了重正化群在相變和臨界現象理論中的應用，周光召和蘇肇冰講解了閉路格林函數方法22)，郝柏林以「統計微擾論的生成泛函」為題介紹了量子場論的有關知識，霍裕平作了非平衡態統計概述。之後由郝柏林和於淥將這些報告編輯加工，以《統計物理學進展》為書名由科學出版社出版 (圖32)，這本書在20世紀80年代對促進我國統計物理學的研究和教學起了積極作用。

圖33 周光召(1929— )

在一定意義上，可以把此次會議看作是周光召 (圖33)、蘇肇冰 (圖34)、郝柏林和於淥四人開展的長達8年的對統計物理學一項重要課題合作的起始。

圖34 蘇肇冰 (1937— )

早在1977年11月全國科學規劃會期間，原在二機部從事核武器研究的周光召就建議科學院物理所的郝柏林和於淥參加他與在二機部九所工作的蘇肇冰已開始的一項研究：把量子場論用於處理平衡和非平衡統計物理的統一表述的閉路格林函數方法研究。1978年之後四人相繼調入新成立的中國科學院理論物理所，這個由該所「四人幫」為主開展的「關於非平衡量子統計的閉路格林函數研究」，從1978年開始到1986年的八年中，對1960年代由Schwinger建議的閉路格林函數理論框架做了系統分析，提出了一套有效的理論表述方案，並應用於臨界動力學、非線性量子輸運、淬火無序系統、雷射、等離子體等問題中，得到了一系列新的結果。

在理論框架方面，他們給出了一個定義在閉合時間迴路上的路徑積分和相應的生成泛函表述，使系統的非平衡態 (或平衡態) 統計信息被包含在它的有效拉氏量之中。把經典非平衡統計的動力學演化和統計漲落 (關聯) 兩個基本因素明顯地推廣到量子情形。他們闡明了這類閉路格林函數不僅適用於非平衡或平衡的非相對論量子多體系統，也適用於相對論場論系統。

在理論方法上，他們提出了求解序參量和統計格林函數的自洽方程組。對多時空尺度的系統，用閉路格林函數方法系統地分析了低頻、長波極限下的行為，對量子系統的流體力學描述和動態臨界現象有重要的應用。這個描述既充分體現了系統本身的對稱性，又完整地反映了統計漲落的作用。用閉路格林函數分析了非線性量子輸運過程，指出這是處理這類現象的有效方法。

圖35 周光召等四人刊於Physics Report上的長篇綜述的前兩頁

他們的這一組研究，曾總結在Physics Reports的一篇題為「平衡與非平衡系統的統一表述」的長篇綜述23)中，在國內外產生了重要影響 (圖35)。應當說，周、蘇、郝、於四人的這項研究成果是中國理論物理學家立足於國內所開展的對統計物理學的重要貢獻。

9

結 語

百年以來，我國一代又一代的學者，通過向西方學習、參與研究並在國內大力傳播，代代相傳，逐步在統計物理學的研究中取得了一定的創造性成果。對於先輩們為國家富強所付出的艱苦努力，我們充滿敬意和感激；對於他們的科學成就，我們表示景仰。

圖36 物理學史巨著《20世紀物理學》及其中有關統計物理學發展歷史的兩章首頁

然而，在講述20世紀物理學發展歷史的三卷本巨著《20世紀物理學》(圖36)中，在有關熱力學和統計物理髮展歷史的兩章內提到的上百位有貢獻的物理學家中，只提及了三個中國人的名字24)。百年以來，我們國家在統計物理學研究中沒有出現過可以與吉布斯 (Gibbs)、能斯特 (Nernst)、昂薩格 (Onsager)、朗道 (Landau)、威爾遜 (Wilson)、久保亮五、Prigogine、博戈留波夫 (Bogoliubov)、烏倫貝克 (Uhlenbeck) 等大師級學者的工作媲美的獨創性工作。完成這一光榮使命的任務，責無旁貸地落在了在座諸君以及比你們更年輕的後來者身上。正是：

先輩開路歷艱難，為國爭光代代傳；

統計物理攀高峰，唯賴後輩眾青年。

註：

1) 丁西林(1893—1974)原名丁燮林，字巽甫。江蘇省泰興人。1913年畢業於上海交通部工業專門學校(上海交通大學前身)，1914年入英國伯明罕大學攻讀物理學和數學。1919年歸國，歷任北京大學物理系教授(1919—1926)、國立中央研究院物理研究所所長(1928—1946)，山東大學物理系教授(1947—1949)，台灣大學教務長(1948)。丁西林重視物理實驗在物理教學中的作用，任北京大學物理系教授和系主任期間，對北大的物理實驗室的建設貢獻良多，為加強中學物理實驗，他曾撰寫了我國第一部初、高中物理實驗課本，1935—1937年曾領導製作上千套高、初中物理實驗儀器，由當時的教育部統購分發全國的中學。丁西林長期擔任中央研究院物理研究所所長，在他廣集人才、苦心經營下，該所從無到有，具有了相當的實驗設備和研究條件，做出了一定的科研成績。丁西林還是一位有名的劇作家，解放後任文化部副部長。

2) 葛正權(1896—1988)，字秉衡，別號葛蠡，浙江省東陽縣人。1920年畢業於南京高等師範學校。之後在本校工科與廈門大學物理系任助教。1929年赴美，1930年獲美國南加州大學物理學碩士，1933年在加州大學伯克利分校獲物理學博士學位。1934—1938年任武漢大學教授。全國全面抗戰爆發後，他投筆從戎，擔任國民政府航空委員會第一氣體製造所所長，後任制氧總廠廠長，抗戰勝利後任國民政府國防科學研究發展廳設計處處長兼雷達研究所所長。1949年在中共地下黨及國民黨革命委員會支持下，拒絕執行偽國防部將該所遷台的命令，帶領雷達研究所起義，將該所及所屬數百台雷達車完整地留給人民，使我軍有了第一批防空雷達設備。1951年後任第二軍醫大學數理教研室主任。

3) 1934年曼徹斯特大學的W. Bragg和E. Williams利用平均場概念，給出了二元合金的有序—無序相變的結果。1935年正在英國躲避納粹迫害的Hans Bethe考慮了近鄰相互作用後，改進了這一結果，稱為Bethe近似或Bethe理論。之後Gugenheim和Fowler又提出了准化學近似，使得當時的劍橋大學物理系成為研究這一類前沿熱點問題的中心。

4) Sir Ralph Howard Fowler(1889—1944)，著名理論物理學家，在熱力學、量子理論和天體物理研究中有重要貢獻，1925年被選入英國皇家學會，1932年起任劍橋大學卡文迪什實驗室理論物理主持人，1942年封爵。著有《統計力學》和《統計熱力學》(與Gugenheim合著)。他所創立的學派包括了三位諾貝爾獎獲得者和15位皇家學會會員。他的學生中包括赫赫有名的量子力學創立者之一Paul Dirac。

5) 王竹溪回國後久不歸家，遠在中日交戰區域湖北公安老家的夫人塗福玉女士不懼危險、不遠千里、歷盡險阻，獨自一人前往雲南昆明尋夫，終得團圓。詳見：王正行. 嚴謹與簡潔之美：王竹溪一生的物理追求. 北京大學出版社，2008。

6)張宗燧先生是我國量子場論研究的奠基人和開拓者，他在量子場論形式體系的建立特別是高階微商、高自旋粒子的量子場論等研究方面獨有創見，取得多項當時國際先進水平的成果。40—60年代在場論的數學形式、洛倫茲群的表示、重正化理論、色散關係、層子模型等方面作了大量研究，取得多項重要成果。

7)她們的博士論文導師都是荷蘭物理學家烏倫貝克(G. E. Uhlenbeck)(1900—1988)，Uhlenbeck因在師從P. Ehrenfest從事光譜學研究時期與同學S. A. Goudsmit於1925年一起提出電子自旋而名著於學界。他是對20世紀物理學發展有傑出貢獻的物理學家，被人稱為「沒有得過諾貝爾獎的諾貝爾獎獲得者」。Uhlenbeck一生以作為Ehrenfest的學生和Boltzmann的徒孫為榮，在統計物理特別是動理論和布朗運動理論方面有重大貢獻，對推動Boltzmann開闢的氣體動理論發展起了特別重要的作用。

8) Uhlenbeck G E，Ornstein L S. On the Theory of the Brownian Motion. Phys. Rev.，1930，36：823。

9) 王先生晚年還兼任了清華大學和大連理工大學的兼職教授。

10) 李政道1962年入美國籍。楊振寧1964年入美國籍，2015年放棄了美國國籍恢復了中國國籍。

11) 楊振寧的此一工作為Yang C N. The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model. Phys. Rev.，1952，85：808，他曾建議當時在美國留學的中國學者張承修研究長方形格子上的二維Ising模型，使得張得出關於臨界指數普適性的概念。楊曾在天津南開大學的一次講演中說：「在1951年我寫出了伊辛模型的方晶格的磁化以後，過了一年我到西雅圖華盛頓州立大學去訪問，那裡有個研究生，即張承修教授，現在武漢。我對他說，你也許可以把我年前的工作推廣到一個長方型的晶格做同一計算，這個計算也很複雜，不過方晶格計算用過的方法都可以搬來，只是要改一改。這樣他計算了幾個月，把結果得出來，文章非常有意思的是，在他的文章的尾巴上加了一段話，指出在二維空間中方晶格和長方形晶格得出同一β值的結果，都是1/8，也許具有普適性，我相信這是歷史上第一次在文章上有這樣的觀念」[3]。

12) 他們的這兩篇文章為：Yang C N，Lee T D. Phys. Rev.，1952，87：404及Lee T D，Yang C N. Phys. Rev.，1952，87：410。注意第一篇和第二篇論文作者姓名排序是顛倒過來的。

13) 比如：施郁. 物理學之美：楊振寧的13項重要科學貢獻. 物理，2014，43：57—62；葛墨林. 楊振寧先生的物理成就. 物理，2021，50：598—609；以及楊振寧本人就他研究統計物理體會的一篇談話記錄[3]。

14)馬上庚(1940—1983)，浙江平陽縣人，1940年生於重慶，其父為國民黨中央日報社社長馬星野，1949年隨父去台，1958年留學美國，1966年獲博士學位。後在加州大學聖地亞哥分校任教，1983年逝世，僅享年43歲。馬上庚後來入了美國籍，成為華裔美國物理學家，此處所述的他的成就，主要是他還是中國人時取得的成績。

15) 郝柏林(1934—2018)，河北正定人，中國科學院院士，理論物理學家，在凝聚態理論、統計物理學、非線性科學和理論生命科學方面有成就，曾任中國科學院理論物理所所長；於淥(1937— )，江蘇鎮江人，中國科學院院士，理論物理學家，在凝聚態理論方面有成就，曾任義大利國際理論物理中心凝聚態理論組負責人。

16) 文章產生的背景是：1971年林彪事件後，在周總理要求下召開了十年動亂期間唯一的一次全國科技會議，之後郝柏林得以應邀參加加拿大物理學會的年會，聽取了M. Fisher有關重正化群和ε展開的邀請報告，回國後他和於淥認真鑽研了Wilson關於重正化群的論文，經艱苦努力，與於淥一起採用場論中的骨架圖方法算出了有關臨界指數的高階項。文章於1973年成文，1975年才在剛復刊的《物理學報》發表。

17) 郝柏林同志曾在一篇實名博客[5]中描述過有關歷史：「年青的Luttinger曾寫信給Onsager，想用他的方法求解三維問題，作為博士論文。Onsager回信說，用我的方法解決三維伊辛模型的可能性等於零。1950年代初，在一次國際會議上有人寫出了三維問題的『解』。一位統計物理學家立即從座位上跳起來說，那不可能是對的。同一時期有流言盛傳，說一位年青的英國人解決了三維問題。直到Onsager專程去了一趟英國，傳言才銷聲匿跡。那位年青人叫John Maddox。他在失望之餘，放棄物理，改做科學記者，最終成功地擔任了許多年《自然》雜誌的主編。退休前後，英國女王賜封Sir頭銜。1985年Maddox訪問北京，筆者當面核對了這段歷史。1978年曾經傳聞，理論物理尖子之一，蘇聯的Polyakov解決了三維問題，但不久就煙消雲散，Polyakov轉去做量子引力。」十幾年前英國的一個雜誌上曾刊登了中國某學者解決三維Ising模型準確解的論文，但很快就被該領域專家M. Fisher和伍法岳指出其錯誤。

18) 可惜王先生的話沒有書面記錄，只留在一部分討論班參加者的記憶中。

19) 陳春先(1934—2004)，四川成都人，理論物理學家，1959年從蘇聯莫斯科大學物理系畢業後到中國科學院物理研究所工作，他因在蘇聯時期即隨從博戈留波夫院士研究超導理論和統計物理，在蘇聯著名物理刊物JETP上發表過研究論文，故回國後團結起一批青年物理學家，這批人中包括陳春先、陳式剛、霍裕平、郝柏林，他們在吃不飽肚子的1960年在物理所大樓頂上的電梯間旁邊的小屋裡討論非平衡統計物理的基本問題，1961年，於淥從蘇聯回來，也進入了這個集體。到1966年「文化大革命」前夕，在國內固體理論和統計物理領域發表的文章數量中，陳春先有過「三分天下有其二」的樂觀估計。國內物理界曾戲稱他們是「陳春先學派」(據郝柏林回憶，這個名稱是北京大學的趙凱華先生起的)。這個集體的成員，除了1980年就下海創辦民營企業的陳春先外，都先後在不同單位當選為中國科學院院士。

20) 黃祖洽(1924—2014)，湖南長沙人。1944年入西南聯合大學，1948年畢業，先師從錢三強學習核乳膠製作，後隨彭桓武研究理論物理，1950年獲清華大學碩士學位併入中國科學院近代物理研究所，相繼從事中子輸運、核反應堆理論以及原子彈和氫彈的預先研究和設計，在我國核武器研究中立有特殊功勳。1980年核武器研究任務完成後，轉入教育戰線，任北京師範大學教授，1980年被選為中國科學院學部委員。

21) 在氫彈預研時期，黃祖洽還撰寫了《關於高溫高壓熱核反應系統中的中子輸運方程》、《關於中子在高溫輕介質中的輸運》、《高速運動介質中中子輸運的新處理方法》、《中子輸運對介質流體力學運動的影響》等一系列有關動理學理論的創造性論文[6]。

22) 周光召，湖南長沙人，1929年出生，理論物理學家，中國科學院院士，在量子場論和統計物理學研究中有重要成就，在我國核武器研究中立有大功，曾擔任中國科學院理論物理研究所所長，中國科學院院長。蘇肇冰，江蘇蘇州人，1937年出生，理論物理學家，中國科學院院士，在凝聚態理論方面有成就，曾擔任中國科學院理論物理研究所所長。

23) 這篇綜述文章長達131頁：Zhou K C，Su Z B，Hao B L，Yu L. Equilibrium and Non-equilibrium formalisms made unified. Physics Reports，1985，118(1/2)：1—131。2000年，發布SCI統計的科學信息研究所(ISI)曾給這篇文章頒發了1981—1989年間的經典引文獎。

24) 在該書第七章7.5.7節講述氣體凝聚的統計力學歷史時，提到了楊振寧和李政道關於格氣模型的幾個嚴格定理[7]，在該書第八章8.2.2節講述布朗運動和克拉默斯(Kramers)方程歷史時提到了王明貞與Uhlenbeck那篇有名的文章[8]。

參考文獻

[1] 王明貞. 物理，2006，35(3)：174

[2] 應純同，張存鎮 譯. 氣體運動論——王承書論文選集. 北京：原子能出版社，1994

[3] 楊振寧 著，張奠宙 譯 . 我對統計力學和多體問題的研究經驗《楊振寧文集》(下). 上海：華東師範大學出版社，1998. pp. 654—666

[4] 於淥. 物理，2014，43：403

[5] 郝柏林. 伊辛(Ising)模型背後的故事. 2007年5月4日科學網實名博客

[6] 陳雁 . 憚思求火種，深情寄木鐸——黃祖洽傳 . 北京：中國科學技術出版社，上海交通大學出版社，2017. pp. 224—225

[7] Brown L M，Pais A，Pipard B 主編，劉寄星 主譯 . 20 世紀物理學(第一卷).北京：科學出版社，2014，p.466

[8] Brown L M，Pais A，Pipard B 主編，劉寄星 主譯 . 20 世紀物理學(第一卷).北京：科學出版社，2014，p.511

本文經授權轉載自微信公眾號「中國物理學會期刊網」。

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