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最近我们被客户要求撰写关于马尔可夫转换模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。
假设 有时间序列数据，如下所示。经验表明，目标变量y似乎与解释变量x有关。然而，乍一看，y在水平中间波动，所以它似乎并不总是有稳定的关系（背后有多个状态）
上面的样本数据创建如下。x和y之间的关系数据根据时间改变。
x <- rpois(500, lambda = 10)
y1 <- x * 4 + 20
y2 <- x * 2 + 60
noise <- rnorm(1:500, mean = 10, sd = 5)
y1 <- y1 + noise
y2 <- y2 + noise
y <- c(y1[1:200], y2[201:400], y1[401:500])
observed <- data.frame(x = x, y = y)
x和y1，y2之间的关系如下图所示。
数据
在马尔可夫转换模型中，观察数据被认为是从几个状态生成的，并且如上所示可以很好地分离。
观察到的数据
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01
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创建马尔可夫转换模型
模型公式
# Call:
# lm(formula = y ~ x, data = observed)
#
# Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -24.303 -9.354 -1.914 9.617 29.224
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept) 45.7468 1.7202 26.59 <2e-16 ***
# x 3.2262 0.1636 19.71 <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes:
# 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 11.51 on 498 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.4383, Adjusted R-squared: 0.4372
# F-statistic: 388.7 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
参数的含义是
- k：马尔可夫转换模型的状态数。在这里，它被指定为后面有两个状态。
- sw：指定每个参数在状态更改时是否更改
- p：AR模型系数
- family:(在GLM的情况下）概率分布族
# 马尔可夫转换模型
#
# AIC BIC logLik
# 3038.846 3101.397 -1513.423
#
# Coefficients:
#
# Regime 1
# ---------
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S) 69.3263 4.0606 17.0729 <2e-16 ***
# x(S) 2.1795 0.1187 18.3614 <2e-16 ***
# y_1(S) -0.0103 0.0429 -0.2401 0.8103
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 4.99756
# Multiple R-squared: 0.6288
#
# Standardized Residuals:
# Min Q1 Med Q3 Max
# -1.431396e+01 -2.056292e-02 -1.536781e-03 -1.098923e-05 1.584478e+01
#
# Regime 2
# ---------
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S) 30.2820 1.7687 17.1210 <2e-16 ***
# x(S) 3.9964 0.0913 43.7722 <2e-16 ***
# y_1(S) -0.0045 0.0203 -0.2217 0.8245
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 4.836684
# Multiple R-squared: 0.8663
#
# Standardized Residuals:
# Min Q1 Med Q3 Max
# -13.202056966 -0.771854514 0.002211602 1.162769110 12.417873232
#
# Transition probabilities:
# Regime 1 Regime 2
# Regime 1 0.994973376 0.003347279
# Regime 2 0.005026624 0.996652721
输出中的区制1和区制2表示模型的两个状态 。
# Regime 1
# ---------
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S) 69.3263 4.0606 17.0729 <2e-16 ***
# x(S) 2.1795 0.1187 18.3614 <2e-16 ***
# y_1(S) -0.0103 0.0429 -0.2401 0.8103
可以看到区制2 与y1 <- x * 4 + 20匹配。
从调整后的R方值看整体上有所改善。
# Regime 2
# ---------
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)(S) 30.2820 1.7687 17.1210 <2e-16 ***
# x(S) 3.9964 0.0913 43.7722 <2e-16 ***
# y_1(S) -0.0045 0.0203 -0.2217 0.8245
模型
对于每个状态，处于该状态的概率以阴影绘制
每个时间点的概率
每次获取状态和更改点
如果你想知道你在某个特定时间点所在的regime，那么就选择那个时刻概率最高的 。
> probable
[1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[30] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
异常值/变化点是状态更改的时间
c(FALSE, diff(probable) != 0)
[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[11] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[181] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[191] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE
[201] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[381] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[391] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE
[401] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[491] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
因此，我们可以看到检测到在第一次数据创建时指定的变化点。
点击文末 “阅读原文”
获取全文完整代码数据资料。
本文选自《R语言如何做马尔可夫转换模型markov switching model》。
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