第三，我們定義並運行我們的數學模型

請注意，PyMC3 提供了一種乾淨有效的語法來描述先驗分布和觀測數據，我們可以從中包括或單獨啟動模型抽樣。另請注意，PyMC3 允許我們定義先驗、引入樣本觀察數據並啟動後驗模擬。

# [NUTS]()，採樣器（漢密爾頓式）

step = pm.NUTS()

結果

或者通過更多的採樣和更多的鏈。然後，跟蹤摘要返回有用的模型性能摘要統計信息：

• mc_error通過將跡線分解為批次，計算每個批次的平均值，然後計算這些平均值的標準偏差來估計模擬誤差。
• hpd_* 給出最高的後密度區間。2.5 和 97.5 標籤有點誤導。有很多 95% 的可信區間，具體取決於左右尾巴的相對權重。95% HPD 區間是這 95% 區間中最窄的。
• Rhat有時被稱為潛在的規模縮減因子，它為我們提供了一個因子，如果我們的MCMC鏈更長，則可以減少方差。它是根據鏈與每個鏈內的方差來計算的。接近 1 的值很好。

summary

我們使用跡線手動繪製和比較先驗分布和後驗分布。確認這些與手動獲得的相似，後驗分布均值為 P（Tails|觀測數據）= 0.35。

但是，PyMC3還提供了創建跡線圖，後驗分布圖。

pm.traceplot(trace)

pm.plot_posterior(trace,ref_val=0.5);

我們有它。PyMC3 和其他類似軟體包提供了一組簡單的函數來組裝和運行機率模擬，例如貝葉斯推理。

個案研究：

使用貝葉斯推理評估保險索賠發生率

保險索賠通常被建模為由於泊松分布式過程而發生。

泊松分布由下式給出：

其中 lambda λ 是事件的「速率」，由事件總數 （k） 除以數據中的單位數 （n） 給出 （λ = k/n）。在泊松分布中，泊松分布的期望值 E（Y）、均值 E（X） 和方差 Var（Y） 相同;

例如，E（Y） = E（X） = Var（X） = λ。

請注意，如果方差大於均值，則稱數據過於分散。這在具有大量零的保險索賠數據中很常見，並且最好由負二項式和零膨脹模型（如 ZIP 和 ZINB）處理。

一、建立先驗分布

在這裡，我們生成一些觀測數據，這些數據遵循泊松分布，速率為 lambda，λ = 2。

n = 1000

lam_ = 2

axs.set_title('Histogram: Simulated Poisson $y$')

axs.set_xlabel('Poisson lambda=λ')

axs.set_ylabel('P(λ)')

axs.legend();

我們可以使用β泊松，或任何類似於觀察到的λ數據形狀的分布，但是伽馬泊松最適合：

• 泊松可以取任何正數到無窮大（0，∞），而β或均勻是[0-100]。
• 伽馬和泊松屬於同一分布家族。
• 伽馬的峰值接近於零。
• 伽馬尾巴走向無窮大。

伽馬泊松先驗為：

其中 a 是伽馬形狀，b 是伽馬速率參數。伽馬密度函數為：

其中 a>0 是形狀參數，b>0 是速率參數，以及

和

注意在 scipy 中，伽馬分布使用形狀 a 和尺度參數化，其中速率 b 等於尺度的倒數（速率 = 1/尺度）。

prior = lambda x: stats.gamma.pdf(x, a=a, scale=rate,loc=0)

priors = prior(x)

# 畫圖

axs.plot(x, priors, 'r-',label='Gamma')

二、似然函數與後驗

伽馬函數通常被稱為廣義階乘，因為：

sp.gamma(n+1) == math.factorial(n)

True

則似然函數為：

然後作為

後向分布再次為伽馬

def posterior(lam,y):

shape = a + y.sum()

如圖所示，後驗平均值（藍色）以我們在開始時設置的真實 lambda 速率為中心。後驗平均值為：

即後驗平均值是先驗平均值和觀測樣本平均值的加權平均值

posterior mean: {(a+y.sum()) / (b+y.size)}

sample mean:{y.mean()}""")

現在讓我們在 PyMC3 中重現上述步驟。

print(a,b,lam_,y.shape)

with model:

# 定義參數 [lambda]() 的先驗值。

prior_lam = pm.Gamma('prior-gamma-lambda', alpha=a, beta=b)

跡線圖顯示每個模擬的結果。

低於平均值、分位數、可信區間 （HPD） 94% 和任意參考值（橙色垂直）。

import warnings

with warnings.catch_warnings():

warnings.simplefilter("ignore")

您可能已經注意到，在這個例子中，我們已經根據觀察到的數據定義了我們的先驗分布，並對該數據應用貝葉斯推理來推導出後驗分布，確認 lambda 為 2。

結論：

在這篇文章中，PyMC3 被應用於對兩個示例進行貝葉斯推理：使用 β-二項分布的拋硬幣偏差，以及使用 gamma-泊松分布的保險索賠發生。

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