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原文出處：拓端數據部落公眾號
最近我們被客戶要求撰寫關於Copula的研究報告，包括一些圖形和統計輸出。
這篇文章是關於 copulas 和重尾的。在全球金融危機之前，許多投資者是多元化的。
看看下面這張熟悉的圖：
黑線是近似正態的。紅線代表Cauchy分布，它是具有一個自由度的T分布的一個特殊情況。也許是因為Cauchy和t分布混在一起。我們總是可以計算出經驗方差。請看下圖。這是對1自由度的t分布（紅色的Cauchy分布）和5自由度的t分布（藍色）的模擬結果。
為了比較不同的尾部行為，我們有我們所謂的尾部指數。簡而言之，在幾乎任何分布中，某個閾值之後的觀測值（比如說最差的5%的情況下的觀測值）都是漸進式的帕累托分布。
其中x_m是截止點，α將決定尾巴的形狀。α也被稱為尾部指數。
現在大家都知道，金融收益呈現出厚尾。這使得保持投資組合為左尾事件做好準備變得更加重要，因為在那個區域，由於相關性的增加，你會同時受到所有資產的影響（正如金融危機所證明的那樣）。在這個討論中，copulas發揮了重要的作用。copulas的概念是相當巧妙的。copula這個詞起源於拉丁語，它的意思是捆綁。當我們有兩個（或更多）資產類別的收益，我們可以假設或模擬它們的分布。做完這些之後，我們可以把它們 "粘貼 "在一起，只對相關部分進行建模，而不考慮我們最初對它們各自分布的建模方式。怎麼做？
我們從英國統計學家 Ronald Fisher 開始，他在 1925 年證明了一個非常有用的性質，即任何連續隨機變量的累積分布函數都是均勻分布的。形式上，對於任何隨機變量 X，如果我們表示 作為 X 的累積分布，則 。請記住，當我們說 ，它僅意味著機率， 。這就是 [0,1] 的來源，因為它只是一個機率。從三種不同的分布進行模擬：指數、伽瑪和學生-t，變換它們並繪製直方圖：
par(mfrow=c(3,1)) # 分割螢幕
apply(tm, 2, hist,xlab="", col = "azue") # 繪製
您可以通過這種方式轉換任何連續分布。現在，將兩個變換後的隨機數表示為 和 . 我們可以將它們「綁定」（copula）： . 其中， 是一些函數，並且因為原始變量是「不可見的」（當我們將其轉換為 Uniform 時消失了），所以我們現在只討論兩個變量之間的相關性。例如 可以是具有一些相關參數的二元正態分布。我不會在這裡寫出雙變量正態密度，但它只是一個密度，因此，它將說明在中心地帶觀察到兩個變量在一起的機率，和/或在尾部一起的機率。這是繞過原始變量的分布，只談相關結構的一種方式。
現在讓我們對金融和消費必需品之間的相關結構進行建模。從拉取數據開始：
da0 = (getSymbols(sym[1])
for (i in 1:l){
da0 = getSymbols
w <- dailyReturn
w0 <- cbind(w0,w1)
}
apply(rt0, 2, mean) # 定義平均數
apply(rt0, 2, var) # 和標準差
cor(et0) # 無條件的相關關係。
我們現在要做的是按照討論的方法對數據進行轉換（稱之為機率積分轉換），並將其繪製出來。同時，我們模擬兩個具有相同（量化-非條件）相關性的隨機常模，並比較這兩個數字。
desiy <- kde2d
contour
# 現在從兩個具有相同相關性進行模擬。
smnom <- rmvnorm
trnorim_rm <- appl
mdni_im <- kde2d
plot
contour
title
乍一看，這兩個數字看起來差不多。但更詳細的觀察發現，角落更快地收斂到（0,0）、（1,1）坐標。這也是由這些區域的深色等值線顏色表明的。請記住，模擬數據使用的是與真實數據相同的經驗相關性，所以我們在這裡討論的其實只是結構。
現在讓我們生成一個copula函數，我們可以用它來 "包裹 "或 "捆綁 "我們的轉換後的收益。我們定義了一個重尾（df=1）和一個輕尾（df=6）的copula。我們可以直觀地看到這個函數實際上是什麼樣子的。這樣做的方式與我們可視化正態密度的方式差不多，但現在因為它是一個雙變量函數，所以它是一個三維圖。
she <- 0.3
persp(colahevy)
接下來你可以看到通常的相關性度量是相同的，除了尾部指數，因為我們只討論結構，而不是大小。
tau(colight)
tau(coheavy)
rho(colight)
rho(copheavy)
tailIpulight)
tailIheavy)
上下尾不一定相同。這只是 t-copula 是對稱函數的一個特徵。在應用中，應該使用更真實的非對稱 copula。
現在我們定義邊緣，並估計 copula 參數。為簡單起見，我為收益定義了 Normal 邊緣分布，但 copula 仍然是 t-dist 且重尾：
# 用從數據中估計的參數來定義你的邊際。
copurmal <- mvdc
# 擬合copula。這個函數的默認值是隱藏警告，所以如果發生錯誤。
# 添加 "hideWarnings=FALSE"，這樣它就會告訴你是否有什麼錯誤
coporm <- fitMvdc
該函數返回一個有那些可用的S4類。
copurm@mvc@cpla
coporm@estiat
summary
est <- coeffic # 我們自己的估計值
mycop <- mvdc
# 從擬合的copula進行模擬
simd <- rMvdc
plot
相關結構看起來還不錯--但你肯定可以看到正態邊緣是不夠的，有幾個黑點（真實數據）在紅色模擬簇之外。
順便提一下，現在我們也可以估計那些沒有預先指定形狀的copulas，比如正態或t，但它們本身就是估計。這屬於 "非參數copulas "這個更複雜的主題。
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