成功證明一個數學或者物理問題擱在任何人身上都是了不起的成就。然而，證明首先要有值得證明的東西。找出龐加萊猜想、費馬大定理之類問題的證明者，論智慧已是人中龍鳳，但是比較而言，提出值得證明的問題才更見能耐，比如黎曼之於黎曼猜想，龐加萊之於龐加萊猜想。得到猜想不是靠瞎猜，而是靠在艱苦探索過程中等到的靈光一現。思想來自實踐，偉大的思想來自偉大的實踐。
——曹則賢
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撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
咬牙寫完這30篇短文(《驚艷一擊-數理史上的絕妙證明》)，長吁一口氣的時候，筆者也為在此過程中了解到的那些人物、學問、文獻與軼事而感到心滿意足。40年前筆者第一次在平面幾何的課堂上知道有證明這檔子事，後來知道那個證明結尾的標誌性縮寫QED來自拉丁語Quod erat demonstrandum (thus it has been demonstrated )，今天我想靜下心來想想關於證明我知道些什麼。Quod erat demonstrandum 的縮寫QED出現在證明的末尾 , 我覺得該後接感嘆號才對，它傳達的有如釋重負的感覺，也該有一份證明者氣吞山河的自信。在我的心目中，QED 和 詹森（Samuel Johnson）的「I refute it thus （我就這樣反駁）」，尼采的「Also sprach Zarathustra」，都是一樣氣勢磅礴的宣言。尼采的這本書，不管是英譯的Thus spake Zarathustra，還是漢譯的《查拉圖斯特拉如是說》，都是對尼采精神與著作的閹割。尼采這本書的原題是Also sprach Zarathustra: ein Buch für Alle und Keinen，重點在於副標題 「一本寫給所有人又不寫給任何人的書！」 把這個副標題所傳達的高傲，還有一絲絕頂之上的涼意，閹割了以後，這書的譯文不過就是一塊軟踏踏的抹桌布。QED所達成的過程也應該有酒神降臨的痕跡。當懷爾斯歷經7年辛勞證明了費馬大定理時，他一定會感到如釋重負，而當佩雷爾曼證明了龐加萊猜想的時候，我希望他曾重重寫下 QED! 咦，正是：「大道隱冥冥，卻待天才出。一擊磅礴神鬼泣，聞者安得不動容？」
證明大概是這個世界上最有需求有時候又特別難辦的事情。一個煮好了粥的小和尚，發現粥鍋上面有一團掉落的灰，他怕師傅罵又捨不得糟蹋粥, 於是把落灰的那些粥舀出來自己喝了。剛喝下去，師傅過來看到了，說小和尚煮粥時假公濟私偷喝。小和尚如何能證明自己不是故意偷粥喝的呢？他無法自證清白，他師傅的懷疑也算合理，以今天的狹義相對論來理解，我們知道他喝粥的原因在他師傅的過去光錐之外。波利亞教授散步時尷尬地路遇年輕情侶好幾次，他能證明自己不是偷窺是因為他有能力發展出隨機行走的數學模型，而且還得靠他的年輕朋友能看得懂。人世間事的證明大體都是不能指望的，所以懂科學的人一般會放棄證明自己無辜的努力，所謂「清者自清、濁者自濁」不過是託辭或者無奈的自我安慰罷了。
數學證明的方式是多姿多彩的、多層面的。一般的數學證明，從一些自明的公理出發，證明就是個根據一套規則推理的過程，所以懂邏輯很有必要（邏輯是一套特殊的語言體系。Logic的字面意思就是言說、論證）。這證明就是為了把認知建立在一塊普適的基石上，基石動搖了，結論就完了。或者，基石動搖了，就得換一塊基石，又能導出一片新天地。平行公設被放棄後，非歐幾何就誕生了。從公理出發直接邏輯地推導，或者用歸納法和反證法，這些常規的證明方法是數學人的基本功。然而問題哪有那麼簡單呃。對有些問題，不是如何證明的問題，而是什麼是關於這個問題的證明都是要思考的事情。有些問題初看很難，但一旦掌握了理解它的語言，證明會非常簡單，但理解那語言卻又不是很容易，比如康托集合論里的那些證明。
數學的證明可以是一段邏輯的論證，只為了消除別人的疑慮，或者讓猜想得到證實。證明過程也可能對問題的理解提供新的洞見，甚至刺激新的數學思想，開拓出新的知識疆域。比如，高斯關於代數基本定理的證明，即代數方程必有複數解，就用到了複平面的拓撲性質。複數、複平面、拓撲學，都是代數方程範圍之外的學問。你看，為此我們甚至要發展新的數學語言。科學的最終目標是人類思維的榮耀，有些證明的最偉大的價值就在於證明我們能夠證明。證明除了有目標的不同，還有品味的差別。有些證明是令人信服的，但缺乏美感；有的證明卻像是一首詩，給人帶來心靈的愉悅。
物理的證明也是多姿多彩的。對於是否存在反粒子、地球是否是宇宙中心這類的問題，證明過程是一目了然的事情，結果比較容易讓人信服。這類證明，如同姑娘回復求愛信，要回答的是yes or no 的問題。是就是是，沒有就是沒有。只要看到安德森的宇宙射線新生髮的、相向偏轉的一對粒子的徑跡照片，或者透過伽利略的望遠鏡看到四顆繞著木星轉悠的衛星，存在反粒子和地球不是宇宙中心的結論就由不得誰不信服。至於引力彎曲光線問題的證明，關鍵在於理解憑什麼引力會彎曲光線，至於偏折多大的角度那倒在其次了。為了表明自己的觀測結果證明了愛因斯坦的引力彎折光線計算，憑著那幾張1919年拍攝的粗糙黑白照片就得出符合得很好的結果，人工的痕跡有點兒太明顯。至於再後來，有人為了證明存在超光速，對著手指頭數得過來的幾個數據計算出 系統誤差 偶然誤差形式的結果，還附送個賭咒發誓用的置信度，那就透著一股打一開始就遮掩不住的心虛。至於再再後來有人憑藉一個時序數列 反演出某種波之源頭處的動力學過程，我覺得那是屬於信仰領域的問題。
把反射定律、折射定律這種觀測事實歸於從費馬原理出發可證明的結論，如同平面幾何里從公理出發的證明，這公理化的圖景讓我們把問題上升到一個更高的層面，讓光學與力學有了融合的契機。這樣的證明，如同幾何證明，透著一股清純。然而在更多的物理證明過程中，人的角色帶入是迴避不了的現實，問題就複雜得很哲學。光子行為的探測就包含著自我設定的意象，一些光學實驗是否構成光(子)性質的證明，確實難以令人信服。人謂光(子)的雙縫干涉花樣證明了光的波動性，卻不知獲得干涉條紋的過程是把光(子)當成粒子對待的。所謂的波粒二象性，是歐洲二分法哲學的簡單頭腦映射。光是粒子還是波，取決於有人想把它當成什麼。X-射線譜有兩種探測模式，波長色散(wavelength dispersive )模式和能量色散 (energy dispersive)模式，就是證據。想看到光的波動性就用能得到看似可用波動性詮釋的設備去獲得一個看似可用波動性詮釋的結果，想看到光的粒子性就用能得到看似可用粒子性詮釋的設備去獲得一個看似可用粒子性詮釋的結果，或者乾脆只看到支持自己結論的結果。這是物理版的循環論證—這不是物理學的錯，因為人本來就在人研究的物理體系中。愚以為，對各種數學、物理的證明保持審慎的或深深的懷疑，都不為過。
成功證明一個數學或者物理問題擱在任何人身上都是了不起的成就。然而，證明首先要有值得證明的東西。找出龐加萊猜想、費馬大定理之類問題的證明者，論智慧已是人中龍鳳，但是比較而言，提出值得證明的問題才更見能耐，比如黎曼之於黎曼猜想，龐加萊之於龐加萊猜想。得到猜想不是靠瞎猜，而是靠在艱苦探索過程中等到的靈光一現。思想來自實踐，偉大的思想來自偉大的實踐。
本書提供了關於30個證明問題的簡短介紹，素材多來自第一手資料，就是希望將少年英才們引入神奇的數學、物理世界，激起他們學習數學和物理的興趣。作為引玉之磚，我也期盼本書能為教育者所青睞。天若佑中華，當不使吾國天才失教。
感謝你肯閱讀這本書。親愛的讀者，若你讀到了這裡，想必是讀完這本書了。你讀懂了很多內容，是吧？請證明！
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