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原文出處：拓端數據部落公眾號
分析師：Luoyan Zhang
集成電路板等電子產品生產中，控制回焊爐各部分保持工藝要求的溫度對產品質量至關重要。通過分析爐溫曲線，可以檢查和改善產品生產質量，提高產量和解決生產問題。高效溫度曲線測試系統的必要組件包括：採集溫度信息的熱電偶傳感器，採集數據的數據採集記錄器，保護數據記錄器的隔熱箱以及最為重要的分析和保存所有溫度數據的溫度曲線測試軟體。研究依據各焊接區域中心溫度的爐溫曲線來控制回焊爐各部分的溫度以保證工藝要求。
任務/目標
通過對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型
問題進行簡化，利用機理分析建立了熱傳導方程模型。設計最小二乘法擬合模型中，對問題進行數值模擬。最後基於最小二乘原理，在約束條件下建立爐溫曲線的多目標優化模型。
數據源準備
利用MATLAB 程序解出待定的溫度，時間，厚度參數係數，最終將新的溫度和速度及厚度
建模
微分方程模型法：
數學微分法是指根據邊際分析原理，運用數學上的微分方法，對具有曲線聯繫的極值問題進行求解，進而確定最優方案的一種決策方法。系統不能直接有關變量之間的直接關係一一函數表達式,但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關係式,這時往往採用微分關係式來描述該系統即建立微分方程模型。
最小二乘法模型：
最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其它一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。
線性規劃：
線性規劃是研究有限資源的最佳分配問題，即如何對有限的要求背景作出最佳方式的規劃，以便最充分地發揮資源的效能去獲取最佳的條件。在總體計劃中，用線性規劃模型解決問題的思路是，在背景需求條件約束下，求允許的最大的傳送帶過爐速度。當我們得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。
模型 檢驗
使用有限分差法中的 空間反演法，把爐溫曲線當做已知條件，結合給出的傳送帶運行速度來確定數學模型中擬合的預測值分布和真實值內容要點：結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正； 結果表示如圖該預測值與真實值的方差，標準差和極差的情況。
模型評價
優點：
1.在數據處理方面,我們詳細分析了數據,規範了數據的格式和可用性。
2.最小二乘法有最優解唯一、求解方便的特點，用最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。
3.在圖像處理和顯示上,我們采MATLAB作圖,合效據的變化趨勢,使問題結果加清晰,條理和直觀。
4.模型公式方面,儘量貼近數學建模思想——「用最簡單的方法解決最難問題「的思想。
缺點：
1.使用數值方法求解偏微分方程組，可能引入誤差。
2.最小二乘法會將誤差開平方，所以當某個預測值和真實值差別過大的時候，最小二乘法會願意「犧牲」其他本來不錯的數據點，使得整個擬合曲線受異常值擾動影響較
例如：
相應的爐溫曲線如下：
給出各溫區溫度的設定值，求允許的最大傳送帶過爐速度。以約束條件為目標進行二維搜索：利用數值模擬優化問題，設定的溫度時間的限定範圍。使用MATLAB軟體進行求解。
在各溫區溫度的設定值分別為182ºC（小溫區1-5）、203ºC（小溫區6）、237ºC（小溫區7）、254ºC（小溫區8-9），用MATLAB計算出允許的最大傳送帶過爐速度約為 Vmax=0.0133m/s。
由於焊接區域的過高溫度時間不宜過長，峰值溫度不宜過高。提出爐溫曲線中溫度超過217℃至峰值溫度的覆蓋面積最小化。由焊接區域的厚度一定，綜合覆蓋面積最小化以及製程界限等約束條件。
聯立不等關係式，由MATLAB進行數值分析可知，滿足條件的傳送帶的過爐速度為0.0076m/s
各溫區的設定溫度如圖：