熵，是一個熱力學的概念。但在歷史的發展中，造就了它非常豐富的內涵，進入了很多學科的視野。本文會在數理層面對它進行一個解讀，釐清它在邏輯上到底是什麼。
1 混亂的熵
很多科普文章中，都提到熵是用來度量混亂的。比如下面這幅動圖，單詞「Entropy」（熵的英文）可見的時候，熵最小，這個時候最有秩序；而被打亂的時候，熵開始增大，直到最後一片混亂，熵變成最大：
熵之所以很重要，是因為它總結了宇宙的基本發展規律：宇宙中的事物都有自發變得更混亂的傾向，也就是說熵會不斷增加，這就是 熵增原理 。
比如說自己的臥室，要是不去收拾它，就會變得越來越混論，或者說熵不斷增大（下圖中上面的房間比下面的房間熵要小）：
要是年久失修，建築物會日益破敗（下圖中左邊的建築物就比右邊的廢墟的熵小）：
不過對混亂的判斷是帶有主觀色彩的，甚至有一些審美的意味。比如，如何判斷霧更混亂還是露珠更混亂（霧的熵更大）：
有同學喜歡「霧失樓台，月迷津渡」這樣的感覺，那麼可能覺得霧更有秩序；而有的同學可能更喜歡「蒹葭蒼蒼，白露為霜」，就很可能覺得露水更有秩序。總之通過混亂去理解熵的話，容易誤解，不夠精確。
2 可能的熵
所謂的整潔，指的是合適的物品放在合適的位置。比如將下圖定義為「整潔」，也就是說圖中大概有20件可以移動的物品，都放在了合適的位置：
而實際上，圖中至少有100個可以放置物品的位置（牆上的壁畫歪著掛，也可以看作換了一個位置）。通過組合，可算出20件物品放置在100個位置上，其總的放置方法為非常巨大的數字：
如果「整潔」被定義為上圖中的放置方法，其餘都統統稱為「混亂」。那麼「整潔」在所有放置方法中的占比，即「整潔」出現的機率是非常小的，幾乎為不可能事件；而「混亂」幾乎為必然事件，所以「整潔」很容易變為「混亂」：
熵越大，意味著發生的可能性越大。而整個宇宙，自發地朝著可能性更大的方向，也就是熵更大的方向在發展，這就是 熵增原理 的更準確的描述（要強調下，如果有人去收拾房間，那就不叫作「自發」）。
3 玻爾茲曼的熵的定義
3.1 玻爾茲曼
上面是對熵通俗的講解（emm，應該算通俗吧），下面開始進行一些嚴格的討論。寫到這裡有點惶恐，熵是熱力學的核心概念，而本人對熱力學的了解止於皮毛，所以之後的內容只能保證在個人理解範圍內儘量嚴謹，拋磚引玉，望同學們斧正。
在不同的歷史階段，克勞修斯、玻爾茲曼、吉布斯、香農等大咖都給出過不同的熵的定義。這些熵的定義本質是統一的，它們之間的差異反映了人們對熵的認知的發展。下面主要介紹玻爾茲曼對熵的定義：
他對熵的定義如下：
這個公式將傳統的熱力學重建在了統計上，奠定了統計力學的基礎。但它太過於跨時代，招來了很多的非議。玻爾茲曼本身精神狀況欠佳，而學術上的攻擊可能是最後一根稻草，最後他在情緒失控中自縊身亡。死後人們才慢慢接受了他的結論，並將這個公式鐫刻在位於維也納中央公墓的玻爾茲曼的墓碑上（下圖中墓碑的頂端，刻著的就是這個公式）：
3.2 宏觀態與微觀態
玻爾茲曼提出了一個有趣的問題：屋子裡空氣分子，會不會突然全跑到左半邊去，從而讓右邊的人憋死？
用腳趾頭想都知道，答案肯定是不會的。來看看玻爾茲曼是怎麼解釋的，並且借用這個例子來說明熵的定義是什麼意思。
下面把問題進行簡化，假設房間中只有四個空氣分子，用不同顏色來標記這四個空氣分子。這四個空氣分子在房間中可能的情況全部列舉如下：
上面這幅圖分為左右兩側，左邊的文字稱為「宏觀態」；右邊的分子分布狀態，稱為「微觀態」。比如宏觀態「左二右二」，指的是房間左邊有兩個分子，右邊也有兩個分子，這個時候人們會從宏觀上感受到空氣是均勻的，不論你站在房間的哪一邊都不會被憋死；但是，在微觀上對應的是六種分子的分布，而總共有16種分子分布，所以宏觀態「左二右二」發生的機率為：
相對於別的「宏觀態」，「左二右二」是機率最大的，也就是說最可能發生的。而我們擔心的「全在左邊」機率很低，所以不用擔心憋死：
似乎「全在左邊」和「全在右邊」加起來還是有
的機率，也就是說平均下來8個房間就有一個可能會憋死人。不過這裡只討論了4個分子的情況，實際房間中有非常多的分子，「全在左邊」、「全在右邊」這兩個宏觀態的機率幾乎為0，完全不用擔心它發生。事實上，也沒有聽到過類似事件的報道。
3.3 熵的定義
回到熵的定義熵來，宏觀態「左二右二」，對應的微觀態的個數為6。微觀態的個數就是熵的定義中的
，所以「左二右二」對應的熵為（其中k 為玻爾茲曼常數，該常數存在的意義，某種程度上是為了統一各種熵的定義的）：
所以，簡單來看，熵就是正比於微觀態的個數的：
那麼微觀態個數最大的「左二右二」，也就是熵最大的宏觀態。根據熵增原理，其它的宏觀態都是不穩定的（熵較小），會自發的變換為「左二右二」。謝天謝地，熵增原理保證了我們不用憋死：
4 熱傳導
兩個溫度不一致的房間，如果彼此可以進行熱交換的話，溫度最終會趨於一致：
為什麼不是反過來，
的房間溫度變得更低，而
的房間溫度變得更高？這是因為溫度均勻地分布在兩個房間中的機率非常高（也就是熵最大），集中在其中一個房間的機率幾乎為零，根據熵增定理，事物會自發地向熵更大的方向發展，所以房間的溫度最終會一致。
怎麼樣，你看懂了嗎？
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