並使每個，我們有：

如果我們對等式（2）進行微分，我們會發現 Y 的密度為：

方程 (3) 中的結果允許我們創建多變量模型，這些模型考慮了變量的相互依賴性（方程的第一部分）和每個變量的分布（方程的第二部分）。我們可以使用 copula 和邊緣部分的參數版本來創建可用於運行測試和執行預測的模型。在接下來的幾節中，我們將使用用於統計計算的 R 語言將高斯和 t-copula 擬合到介紹中描述的 ETF 的對數收益率。有了 copula 和邊緣，我們將使用模型來確定投資的風險價值 (VaR) 和預期損失 (ES)。

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三、算法實現與開發

像往常一樣，我們從讀取文件開始。圖 1 顯示了價格圖：注意 IVV 和 DBC（股票和商品）之間的關係以及 TLT 和 UUP（元和國債）之間的關係。

# 將 ETF 讀入

read.zoo("F.csv")

# 獲取最近501天

tf[(T-500):T,]

# 繪製價格

pdf("價格.pdf")

在這種情況下，我們計算對數收益率。圖 2 顯示了收益圖。

# 計算對數收益

le <- lag(e，-1

log(ef) - log(lef) ) * 100

然後我們做一個配對圖來確定結果是否相關，例如，正如期望的那樣，IVV 和 DBC 之間存在非常高的相關性。圖 3 顯示了配對圖。然後我們獲得邊距的參數，擬合每個變量的分布。結果見表一

# 擬合分布

fitdr

## 得到結果矩陣

# 將 AIC 函數應用於第一項（值）

# params 列表的第四項 (loglik)

AIC(saply (saply(prms, 4))

# params 列表的第一項（估計）

sapply (sapply(pams,3))

圖 4 顯示了擬合分布與來自變量的真實數據進行比較的圖。現在我們有了邊緣分布，我們需要找到模型的 copula。我們首先使用機率變換並獲得 中的每一個，我們知道它們是 Uniform(0,1)。這是通過以下代碼完成的：

# 現在我們需要均勻分布

IV <- pct(IVV, a)

rt <- cbind(uV uL, UP, DC)

圖 5 顯示了均勻分布之間的相關性。通過均勻分布，我們可以看到哪種類型的參數 copula 最適合。我們將擬合高斯 copula 和 t-copula，記錄它們的 AIC 並查看哪一個提供了最佳擬合。

圖 5：均勻分布之間的相關性

# 擬合高斯 copula

fit.gaussian <- fitCopula (ncp))

# 記錄擬合的AIC

fit.aic = AIC(filik,

############################################### ############

# 現在是 t-copula

fitCopula (tcop, url00))

# 記錄擬合的AIC

AIC(fiik

length(fite)

比較兩種擬合，如表 II 所示，我們發現 t-copula 擬合最好，因此我們將根據 t-copula 的參數創建一個模型。然後，我們使用該模型生成 10,000 個觀察結果，模擬我們模型的可能結果。我們的模擬模型與擬合模型之間的圖形比較可以在圖 6 中看到 - 模擬非常接近擬合模型。

tCopula(parun")

cop.dist <- mvdc(copt,

parast1)

rmvdc(co00)

現在我們有了模擬的觀察結果，我們將使用參數方法計算風險價值 (VaR) 和預期損失 (ES)。我們將假設一個投資組合（任意選擇）在 IVV 中投資 30%，在 TLT 中投資 15%，在 UUP 中投資 35%，在 DBC 中投資 20%。為了計算投資組合 w 的收益率 Rp，我們簡單地使用矩陣代數將我們的模擬收益率 Rs 乘以權重，如 Rp = Rs × w。然後我們將 t 分布擬合到 Rp 並使用它來估計 VaR 和 ES。對於 t 分布，VaR 和 ES 的公式為：

其中：

• S：倉位大小

• F -1 ν：逆 CDF 函數

• fν：密度函數 • µ：平均值

• λ：形狀/尺度參數

• ν：自由度

• α：置信水平

R中公式的應用實現如下。請注意，在代碼中，VaR 和 ES 被四捨五入到最接近的千位。結果在表III中。

# 計算模擬值的 VaR 和 ES

fitdistr(re, "t")

es <- -m+lada*es1*es2

我們的最終任務是計算非參數 ES 和 VaR，由以下公式給出：

其中：

• S：倉位大小

• qˆ(α)：樣本收益率的分位數

• Ri：第 i 個樣本收益率

R 實現如下：

# 計算真實值的 VaR 和 ES

ret <- (rf %*% w) / 100

ES <- -S * sum(ret * ir) / sum (iar)

結果示於表III中。

四、計算結果

表 I 顯示了 ETF 邊緣 t 分布的估計參數和 AIC 的結果：

表 I 邊緣分布

兩個 copula 擬合的 AIC 都在表 II 中。

表 II Copula AIC

VaR 和 ES 在表 III 中。

表三 VaR 和 ES

五、總結與結論

這項工作展示了如何估計邊緣和 copula，以及如何應用 copula 來創建一個模型，該模型將考慮變量之間的相互依賴性。它還展示了如何計算風險價值 (VaR) 和期望損失 (ES)。

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