網絡流(network-flows)是一種類比水流的解決問題方法，與線性規劃密切相關。網絡流的理論和應用在不斷發展。而我們今天要講的就是網絡流里的一種常見問題——最大流問題。

最大流問題(maximum flow problem)，一種組合最優化問題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運輸的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的標號算法最早由福特和福克遜與與1956年提出，20世紀50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的「網絡流理論」，是網絡應用的重要組成成分。

再解決這個問題前，我們要先弄懂一些定義：

網絡流圖是一張只有一個源點和匯點的有向圖，而最大流就是求源點到匯點間的最大水流量，下圖的問題就是一個最基本，經典的最大流問題

二.流量，容量和可行流

對於弧(u,v)來說，流量就是其上流過的水量(我們通常用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流過的最大水量(我們通常用c(u,v)表示)，只要滿足f(u,v)<=c(u,v)，我們就稱流量f(u,v)是可行流(對於最大流問題而言，所有管道上的流量必須都是可行流)。

三.增廣路

如果一條路上的所有邊均滿足:

正向邊: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向邊：f(u,v)> 0

假如有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足流量<容量，注意，是嚴格的<,而不是<=。那麼，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的最小值delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流。這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而這條路就叫做增廣路. From 網絡流(Network Flow)

則我們稱這條路徑為一條增廣路徑，簡稱增廣路。

好了，弄懂了一些定義，接下來就可以介紹著名的Ford-Fulkerson算法了。

如圖所示，如果我們每次都找出一條增廣路，只要這條增廣路經過匯點，那說明此時水流還可以增加，增加的量為d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。

我們可以這樣理解：對於每一條正向邊，他能添加的最大水流為c(u,v)-f(u,v)。而對於反向邊來說，當正向邊上的水流增多時，反向邊自身的反向水流會減少，而其能減少的最多水量為f(u,v)。由於要保證添加水流之後，所有的f(u,v)都是可行流，所以我們取最小值。

增加之後，我們要更新流量，每條正向邊+d,每條反向邊-d即可。

既然這樣，我們的思路就是：

1.找出一條增廣路徑 ——2.修改其上點的值——3.繼續重複1，直至找不出增廣路。則此時源點的匯出量即為所求的最大流。

那麼上代碼：

#include#include#define maxn 1200#define INF 2e9using namespace std;int i,j,k,n,m,h,t,tot,ans,st,en;struct node{    int c,f;}edge[maxn][maxn];int flag[maxn],pre[maxn],alpha[maxn],q[maxn],v;int read(){    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;}void bfs(){    memset(flag,0xff,sizeof(flag));memset(pre,0xff,sizeof(pre));memset(alpha,0xff,sizeof(alpha));    flag[st]=0;pre[st]=0;alpha[st]=INF;h=0,t=1;q[t]=st;    while(h0){                    flag[i]=0;pre[i]=-v;alpha[i]=min(alpha[v],edge[i][v].f);q[++t]=i;                }            }        }        flag[v]=1;    }}void Ford_Fulkerson(){    while(1){        bfs();        if(alpha[en]==0||flag[en]==-1){            break;        }        int k1=en,k2=abs(pre[k1]);int a=alpha[en];        while(1){            if(edge[k2][k1].c