歐拉錯了
柯西對了
為什麼正多面體只有五種？
這個問題困擾了柏拉圖一生，讓笛卡爾少了一個命名機會，差點讓歐拉大神犯錯，卻彰顯了柯西數學的逆天天賦！
柏拉圖立體
公元前387年，古希臘著名的哲學家亞里斯多克勒斯，也就是我們熟悉的柏拉圖，因為一次偶然的機會喜歡上了研究幾何。
據說柏拉圖為了深入研究幾何，還專門在雅典西北郊外陶器區的柏拉圖學院門口立著一塊「不懂幾何者，不得入內」的牌子。
經過深入研究，他發現只存在五種正多面體，分別是正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體，後來也被稱為「柏拉圖立體」。
即使柏拉圖很痴迷地研究，時不時有各路的學者前來交流探討，但始終無法用嚴謹的方式去證明，只存在五個正多面體這個結論。直到柏拉圖去世，也沒有人提出嚴謹的證明方法。
歐拉「搶注商標」
直到1750年，瑞士的數學大神歐拉，在多面體的研究上取得進展，這個神一樣的男人果然不簡單。
他提出了「歐拉多面體定理」：如果一個凸多面體的頂點數是V、棱數是E、面數是F，那麼它們總有這樣的關係：F+V-E=2，並且給出了證明。其中，F+V-E=2為歐拉公式。
其實，早在1635年，法國著名的科學家笛卡爾在研究多面體的時候，就通過不完全歸納法，發現了多面體存在一個關係：面+棱-頂點=2，也就歐拉定理。
可惜的是，笛卡爾因為沒有嚴謹的證明，所以沒有發表，後人在整理它的手稿時候才發現。因此，笛卡爾少了一個定理，歐拉「搶注」成功，當然這也沒有阻止笛卡爾成為偉大的科學家。
本以為歐拉已經把證明多面體存在F+V-E=2關係的問題完全就解決了，但讓人意外的是，隨著初等幾何的繼續發展，歐拉的證明被指出存在問題，人們開始重新去尋找嚴密的證明方法。
過了半個世紀，天才數學家柯西橫空出世，在1809年，20歲的柯西用一個簡單的方法嚴密地證明了這個問題！
20歲柯西天賦異稟
柯西，是法國巴黎偉大的科學家，他的出身不得了，他的父親是精通古典文學的律師，同時和著名的數學家拉格朗日、普拉普斯是好朋友。
柯西遺傳了父親強大的基因，不過是表現在數學上，他的數學天賦在少年時期就已經展露，他父親的朋友拉格朗日、普拉普斯都很欣賞，並預言他以後會是個偉大的人。
果不其然，柯西在20歲就提出了一個證明歐拉公式：F+V-E=2的嚴謹方法！
他是通過去面擦棱除角的方法，證明F+V-E=2的，我們以正六面體為例子，看看柯西是如何證明的：
20歲的柯西提出了這個嚴密的證明，不得不感嘆他驚人的數學天賦！經過嚴密證明後的歐拉公式，也為後面迅速發展的拓撲學打下了很好的基礎！
回想起來，20歲的超模君還在校園看別人戀愛呢。
正多面體只有五種
歐拉公式得到嚴密的證明後，柏拉圖「只存在五種正多面體」的問題還沒有得到解決。於是，人們繼續探索。
不久，只存在五個正多面體的命題被證實。用歐拉公式證明「只存在五個正多面體」的方法很多，下面提供一個供參考：
經歷了兩千年的發展、幾代數學大師的探討，當年困擾柏拉圖一生的問題終於得以解開。
但這遠遠不也是終點！
雖然證明了在三維空間裡只存在五種正多面體，但我們想一想，在四維空間會不會只存在五個正多面體呢，五維空間呢......n維空間呢？