P: 0

Constant: 4.90146

AR: {}

Trend: 0

Beta: [1×0 matrix]

Covariance: 12.087

1-Dimensional VAR(0) Model

html

varm with properties:

Description: "ARIMA(0,0,0) Model (Gaussian Distribution)"

SeriesNames: "Y1"

NumSeries: 1

P: 0

Constant: 0.0084884

AR: {}

Trend: 0

Beta: [1×0 matrix]

Covariance: 12.6876

1-Dimensional VAR(0) Model

顯示估計的狀態轉移矩陣。

html

2×2

0.9088 0.0912

0.2303 0.7697

估計後的EM算法

在估計馬爾可夫轉換動態回歸模型中考慮模型和數據 。

創建部分指定模型進行估計。

創建完全指定的模型，其中包含估計過程的初始參數值。

加載並預處理數據。

html

diff(Data(2:230))./Data(2:229);

100*((1 + qrate).^4 - 1);

使模型擬合數據。當估計過程終止時，繪製對數似然比與疊代步驟。

html

Plot(Mdl,Mdl0);

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Matlab馬爾可夫鏈蒙特卡羅法（MCMC）估計隨機波動率（SV，Stochastic Volatility） 模型

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使模型擬合模擬數據

使用來自已知數據生成過程（DGP）的模擬數據評估估計準確性。本示例使用任意參數值。

為DGP創建模型

為轉換區制創建一個完全指定的兩狀態離散時間馬爾可夫鏈模型。

html

P = [0.7 0.3; 0.1 0.9];

對於每個狀態，為過程創建一個完全指定的AR（1）模型。

html

% 常數

C1 = 4;

C2 = -1;

% 自回歸係數

AR1 = 0.5;

AR2 = 0.3;

% 方差

V1 = 3;

V2 = 2;

% AR 子模型

arima('Constant',C1,'AR',AR1,'Variance',V1);

為DGP創建完全指定的Markov轉換動態回歸模型。

模擬來自DGP的路徑

從DGP生成10條長度為1000的隨機路徑。

html

rng(1); % 重現性

N = 10;

n = 1000;

simulate(DGP,n,'Numpaths',N);

Data 是模擬的1000 x 10矩陣。

創建估計模型

創建一個部分指定的馬爾可夫轉換動態回歸模型，該模型具有與數據生成過程相同的結構，但是指定了未知的轉移矩陣和未知的子模型係數。

創建包含初始值的模型

創建一個完全指定的馬爾可夫轉換動態回歸模型，該模型具有與相同的結構 Mdl，但是將所有可估計的參數都設置為初始值。

html

P0 = 0.5*ones(2);

dtmc(P0);

ms(mc0,[mdl01,mdl02]);

估計模型

使模型擬合每個模擬路徑。對於每條路徑，在EM算法的每次疊代中繪製對數似然圖。

html

figure

hold on

for i = 1:N

estimate(Data(:,i),'Plot',true);

end

hold off

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R語言BUGS/JAGS貝葉斯分析: 馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法（MCMC）採樣

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評估準確性

計算每個估計參數的蒙特卡洛平均值。

將總體參數與相應的蒙特卡洛估計進行比較。

html

DGPvsEstimate = 6×2

5.0000 5.0260

-2.0000 -1.9615

4.0000 3.9710

2.0000 1.9903

0.4000 0.4061

0.2000 0.2017

html

P = 2×2

0.7000 0.3000

0.1000 0.9000

html

PEstimate = 2×2

0.7065 0.2935

0.1023 0.8977

預採樣數據

考慮 估計馬爾可夫轉換動態回歸模型中的數據，但假設關注期間為1960：Q1–2004：Q2。另外，考慮向每個子模型添加一個自回歸項。

創建部分指定的馬爾可夫轉換動態回歸模型進行估計。指定AR（1）子模型。

html

arima(1,0,0);

ms(mc,[mdl; mdl]);

由於子模型是AR（1），因此每個子模型都需要進行一次預採樣觀察以初始化其動態分量以進行估計。

創建包含用於估計過程的初始參數值的模型。

html

P0 = 0.5*ones(2);

mc(P0,'StateNames');

加載數據。將整個集合轉換為年化利率序列。

使用與年率序列相關的日期來確定預採樣和估計採樣周期。由於轉換應用了一階差分，因此必須從原始樣本中刪除第一個觀察日期。

html

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...

'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');

estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...

'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');

使模型擬合估計樣本數據。指定預採樣觀測值，並在估計過程終止時在每次疊代時繪製對數似然度。

訪問預期的平滑狀態機率和對數似然

在估計馬爾可夫轉換動態回歸模型中考慮模型和數據 。

創建部分指定的模型進行估計。

創建完全指定的模型，其中包含估計過程的初始參數值。

加載並預處理數據。

使模型擬合數據。當算法終止時，返回預期的平滑狀態機率和對數似然。

html

[EstMdl,SS,logL] = estimate(Mdl,Mdl0,arate);

SS 是預期平滑狀態機率的228 x 2矩陣；行對應於估計樣本中的周期，列對應於方案。 logL 是最終的對數似然。

顯示估計樣本中最後一個時期的預期平滑狀態機率，並顯示最終對數似然。

html

ans = 1×2

0.8985 0.1015

html

logL = -639.4962

執行約束估計

將模擬數據擬合到具有VARX子模型的Markov轉換動態回歸模型。指定用於估計的相等約束。

為DGP創建模型

為轉換區制創建一個完全指定的三態離散時間馬爾可夫鏈模型。

html

P = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.6 0.2; 0 0.1 0.9];

mc = dt(P);

對於每種狀態，為響應過程創建一個完全指定的VARX（1）模型。為所有子模型指定相同的模型常數和滯後1 AR係數矩陣。對於每個模型，為一個外生變量指定不同的回歸係數。

html

% 常數

C = [1;-1];

% 自回歸係數

AR = {[0.6 0.1; 0.4 0.2]};

% 回歸係數

Beta1 = [0.2;-0.4];

% VAR 子模型

dgp = varm('Constant',C,'AR',AR,'Covariance',5*eye(2));

為DGP創建完全指定的Markov轉換動態回歸模型。

html

ms(mc,[dgp1; dgp2; dgp3]);

模擬來自DGP的數據

通過從均值0和方差100的高斯分布中生成1000個觀測值來模擬外生序列的數據。

html

rng(1); % 重現性

X = 10*randn(1000,1);

從DGP生成長度為1000的隨機路徑。為子模型回歸指定模擬的外部數據。

html

Data = simulate(DGP,1000,'X',X);

Data 是模擬的1000 x 1向量。

創建估計模型

創建一個部分指定的馬爾可夫轉換動態回歸模型，該模型具有與數據生成過程相同的結構，但是指定了未知的轉換矩陣和未知的回歸係數。指定常數和AR係數矩陣的真值。

html

ms(mcEst,[mdl; mdl; mdl]);

由於常數和AR係數矩陣的值被指定在 Mdl， estimate 將它們作為用於估計等式約束。

創建包含初始值的模型

創建具有與相同結構的完全指定的馬爾可夫轉換動態回歸模型 Mdl，但將所有可估計參數設置為初始值，並將具有相等約束的參數設置為中指定的值 Mdl。

估計模型

使模型擬合模擬數據。指定回歸的外部數據。在EM算法的每次疊代中繪製對數似然。

html

figure

EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,Data,'X',X,'IterationPlot',true);

評估準確性

將估計的回歸係數向量和轉移矩陣與其真實值進行比較。

html

Beta1 = 2×1

0.2000

-0.4000

html

Beta1Estimate = 2×1

0.1596

-0.4040

html

Beta2 = 2×1

0.6000

-1.0000

html

Beta2Estimate = 2×1

0.5888

-0.9771

html

Beta3 = 2×1

0.9000

-1.3000

html

Beta3Estimate = 2×1

0.8987

-1.2991

html

P = 3×3

0.8000 0.1000 0.1000

0.2000 0.6000 0.2000

0 0.1000 0.9000

html

PEstimate = 3×3

0.7787 0.0856 0.1357

0.1366 0.6906 0.1727

0.0086 0.0787 0.9127

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本文選自《Matlab馬爾可夫區制轉換動態回歸模型估計GDP增長率》。

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