分球悖論
史上最詭異的悖論
今天，8歲表妹的老師給她獎勵了一塊大巧克力，超模君打趣她能不能分給我點，遭到殘忍拒絕，超模君很憤怒，暗下決心要神不知鬼不覺地吃上表妹的巧克力。
超模君趁表妹在認真做作業的時候，靈機一閃，拿起刀就是切，偷偷吃了好幾塊。
假裝幫表妹切好了巧克力，把剩下的拼好，成功矇混過關。
乍一看，巧克力好像沒有變少，但是實際上巧克力是不斷減少的。這讓我想起了那個說一個球可以變為兩個球，而且這兩個球和原來的球一樣大的分球悖論。
在我們的認知里，這是非常荒唐的事情。但是在數學上，分球怪論理論上是成立的，只是以人類目前的認知無法在物理世界去證實它。為了更改的理解分球悖論，先從超級韋氏字典講起。
超級韋氏字典
超級韋氏字典是一本包含了所有英文單詞的字典，你的名字，你的故事，你的everything都可在這本字典找到。
這本字典的開頭是A，然後是AA，接著是AAA……在無限多個A之後，是AB，然後ABA，接著ABAA……一直到無限多個Z開頭的序列。大概是這個樣子：
我們都無法想像這本字典有多大，每個字母開頭的序列都印一卷的話，一共要印26卷，那出版社要出版這麼一本字典肯定得破產。不過，有人發現如果A捲去掉開頭的A，剩下的就是B-Z的所有序列內容。
出版社只需印去掉開頭的A的A卷就完成了字典，因為人們在使用的時候自覺加上A就行，這就大大減少了成本。下面我們就藉助超級韋氏字典來理解分球悖論。
分球悖論
分球悖論：可以將一個三維實心球分成有限（不勒貝格可測的）部分，然後僅僅通過旋轉和平移到其他地方重新組合，就可以組成兩個半徑和原來相同的完整的球。
「分球悖論」最重要的部分，就是如何分割三維的球體，而我們選取的方法，就是讓三維球體，變成一部超級韋氏字典。
首先，給球面上的所有點，取一個獨一無二的名字。取名的方法如下：
1.選擇一個起點O，然後以適當的單位長度，讓O一步步地移動；2.移動的方向只有四個：上（U）、下（D）、左（L）、右（R）；3.O每向一個方向移動一步，就記錄一步，直到O不動為止，所列出來的序列就是O停下時所在點P的名字；4.為了避免兩個序列結束在同一個點上，移動不能原路返回。
比如，求點O向上移一步停下，則P1記為U，再向右一步停下，則P2記為RU。在這裡大家會注意到，序列的書寫順序是右到左的，因為要配合後面的步驟。
因為不能原路返回，所以像UD、DU、LR、RL...這些數列不存在，因為這樣相當於點O根本沒動。
現在我們把所有可能的序列都列出來，球面上的點就變成一部超級韋氏字典了：
用序列代表點，還是太抽象了！要從視覺上著手，才能更形象直觀。為了形象表達這序列，我們可以對它們做個分類：以最後一步的動作為準，最後一步是向上移動的（即序列以U結束）記為橙色，向下D點記為藍色，向左L為紫色，向右R為紅色。
按照上述方法，將這些序列標註在球面上，每個序列都會對應一個顏色的點：
這樣的點有可數無限個，但是並不能占滿整個球面，因為球面上有不可數無限個點。（不了解可數和不可數無限的模友可以看康托爾的集合論）那麼該怎麼用這些序列來表示整個球面上的點呢？
很簡單，在沒有塗色的點中，選一個新起點，然後將這些序列應用到新起點上，再給可數無限個點命名。重複這一過程，我們就可以將球面上所有點分成五類點：起點O、U點、D點、L點、R點。
按照之前的做法，我們分配顏色給這五類點：起點O為綠色、U點為橙色、D點為藍色、L點為紫色、R點為紅色。
這還沒有結束，因為每個序列都有兩個極點，在這類點裡面被重複命名，需要把它們單獨抽出來。用黃色給它們來標上顏色。
所謂的極點，就是某個點運動到這個點時，無論在序列中添加左右或者上下，都不會變成第二個點的點。對於以左右（L\\R）作結尾的序列而言，它們的極點是南北極點。當點運動到南北極點時，無論是向左旋轉還是向右旋轉（因為球面上點的移動的本質就是旋轉），都不會產生新的點，但是在序列中卻會產生新的序列，所以必須單獨拿出來命名。上下（U\\D）結尾的序列的極點則是東西極點。
現在球體上所有的點都被標上顏色了，可分為6部分：起點部分，U點部分，D點部分，L點部分 ，R點部分， 極點部分。因為每個點到球心的點列是獨一無二的，只用點來代表就行。
當然，球心也需要單獨拿出來，因為它是獨一無二的。
拆分後的球體如下圖：
現在將 L點部分拿出來看，L點部分對應的序列為所有以L結尾的序列，如果將L點部分向右旋轉一下，序列會發生怎樣的變化呢？
讓人驚訝的是：L點部分所對應的序列變成了U點、D點、L點、起點部分所對應的序列。
還記得上面超級韋氏字典里的A卷，把A去掉就是剩下的B到Z的序列嗎？現在正是利用這一點！如圖，向右旋轉L點部分，相當於在L點部分所對應的序列之後再加上一個R：
前面也說過，RL這樣的序列是不允許出現的，現在這麼做，所有序列的最後一個L都被抵消，就好像超級韋氏字典第一卷那樣，剩下的部分就是構成代表U點、D點、L點部分的序列，而只有一個L的那些點，因為被R抵消，還原回所有起點。
只是旋轉一下，就得到了球體的四個部分，那剩下的部分只需要用之前分離出來的R點部分和極點部分填上，以及把球心放進去，就是一個完整的球體了。
一個球體組好了，剩下U點部分、D點部分和起點部分。
這三部分如何組成新的球體？
我們把U點部分向下轉動，與前面向右旋轉L點部分相類似，U點部分所對應的序列就會變成U、L、R點部分對應的序列，還有起點的序列。
但是起點部分還沒有用上呢？怎麼辦呢？
不要緊，把序列U所代表的點先行移到D點部分，然後再對整個U點部分進行旋轉就行。
可是我們會發現，先清除再旋轉後的U點部分，序列UU會變成序列U，與D點部分中先行到達的序列U相重複，所以我們必須先將所有的重複排列U的序列全部先行移除，然後再旋轉剩餘部分，最後再組合，才能夠得到一個僅包含U、L、R點部分的序列集。
接下來把剩餘的部分全部組合在一起。但是，你會發現這個球沒有極點部分和球心。設想這個球可以繞某條軸旋轉，某個圓經過球心和極軸上的任意一個點，圓的周長為2πr，利用無限的概念即可補上。
就這樣，一個球就變成兩個和它一樣大的球了，這不是1=1+1嗎？這就是詭異的分球悖論，在數學理論上是成立的，只是以人類目前的認知無法在物理世界去證實它。
看完分球悖論確實很燒腦，如果還沒有理解，可以結合希伯爾特旅館悖論來理解會輕鬆一些。
希爾伯特旅館悖論
希爾伯特旅館有無限可數個房間，但是住滿了客人。
這時候來了一客人要住店，希爾伯特讓1號房的搬去2號房，2號房搬去3號房...n號房搬去n+1號房，1號房就騰出來給客人住了。
現在旅館來了無限個客人要住店，希爾伯特讓1號房的搬去2號房，2號房搬去4號房......n號房搬去2n號房，把奇數的房間騰出來給這無限個客人住。
這就像一個希爾伯特旅館變成兩個和希爾伯特旅館一樣大的希爾伯特旅館一和二，都有無線個房間，就像一個球分為兩個和原來這個球一樣大的兩個球。雖然這樣理解分球悖論不完全正確，但確實好理解一點。
現在如果有無數輛車，每輛車裡面有無數個人來住店怎麼安排呢？很簡單，安排住在質數的房間即可，已住店的客人搬到2^n號房間，新來的第一輛車住進3^n房間，第二輛車裡的人住進5^n房間......
正是這些科學家使人們對數從有限過渡到無限的認識更加深刻，腦洞大開乃至三觀盡毀，正因為無限的發現才有後來的極限，微積分，高等數學等，社會才有今天的發展。
表妹還小，說不定過幾年就知道我偷吃她的巧克力了！