陳省身訪談錄：數學是我唯一能做的事

陳省身是當代最偉大的幾何學家之一。他1911年10月28日生於中國嘉興，2004年12月3日逝世，明天是他逝世15周年的日子。下文是1998年刊發於《美國數學會通報》(Notices of AMS) 的陳省身訪談錄，採訪者傑克遜女士 (Allyn Jackson) 是該刊的資深作家和副主編。

陳省身幼年時期，正是中國興西學，創辦西方式大學學院之時，他未滿15歲便進了南開大學學習，深深地被物理學所吸引，只是當他發現自己從事實驗工作並不太順手時，最終改為主修數學。1930 年，陳先生進清華大學研究生院，在那裡，有許多已在西方社會獲得了博士學位的數學家，其中中國微分幾何研究的先驅者之一孫光遠 (Dan Sun) 教授曾經是芝加哥大學萊恩 (E. P. Lane) 教授的學生。大約20 年後，陳先生成了萊恩教授的繼任者。1932 年，德國漢堡大學的數學家布拉施克（Wilhelm Blaschke）訪問北京大學時，他的講演給陳省身帶去巨大的影響。

陳省身 | 攝影：Peg Skorpinski

傑克遜: 您在中國學習以後，就決定到西方來獲得博士學位了？

陳省身: 我是1934 年獲得獎學金由清華大學派遣來西方深造的。我1930年在清華做了一年助教，之後在研究生院學習了三年。我覺得對我來說去歐洲比去美國更合適，通常的情況是來美國，但是我對普林斯頓大學和哈佛大學並不感興趣。

傑克遜: 為什麼?

陳省身: 感覺是不太適合我的情況。我想成為一個幾何學家，美國方面不具備那種我想繼續從事的幾何研究的條件，所以我想去歐洲。那時，儘管我是初出茅廬的學生，但是我有自己的長處，對於我想研究的、國際上的數學狀況、誰是最好的數學家以及什麼地方是最突出的研究中心，我都有自己的想法。我的估測可能不對，但是我有自己的思想。我決定去漢堡，事實上，後來證明這是一個非常好的選擇。十九世紀末期科學的中心在德國，包括數學也是如此, 而德國的數學中心是在哥廷根，還有柏林、慕尼黑也不落後。當然，巴黎始終是數學的一個中心。

我於1934 年從清華大學畢業。1933 年希特勒在德國篡奪了政權, 德國大學開展大清洗運動，逼得猶太籍教授不得不流亡國外, 哥廷根從此一蹶不振, 漢堡成了最好的地方。漢堡大學是第一次世界大戰以後新建立的大學，不是頂出名, 但是它的數學系是出色的。於是, 當時我就去了那兒。

就是在漢堡大學，陳省身首次接觸了嘉當的研究工作，這給先生對數學的研究方法以決定性的影響。那時漢堡大學的凱勒是嘉當思想的主要闡述者之一: 凱勒已出過一本書，書中闡述的基本定理就是如今聞名的「嘉當—凱勒定理」 。凱勒在漢堡大學組織了研討班，研討班的第一天，所有的教授如布拉施克、阿廷、赫克等都參加了。

陳省身: 研討班看上去就象慶祝會，班級里擠滿了人。書也正好出版了，凱勒拿了一大堆書走了進來，每人分發一本。但是內容太難了，因此研討班開了幾次以後，就不再有人光顧參加。我想堅持到最後的就只有我一個了。我認為我能堅持到最後是由於我能緊跟其主題的緣故。不僅是那樣，我當時正在寫一篇有關應用其方法到另一個問題的論文。因此研討班對我來說具有很重要的意義，我甚至去找凱勒先生。有多少次我們在一起吃飯。學院附近有一個餐館，我們一邊吃飯一邊談論各種各樣的事情。我的德語是有限的，而那時凱勒先生不講英語。不管怎麼說，我們相處得很好。因此, 最後我很快地完成了我的論文。

大家都知道嘉當是最偉大的微分幾何學家，但是他的文章非常難懂。其中一個原因是，他用所謂的外微分。並且在我們微分幾何課題中，其中你談到了關於流形，一個困難是幾何是用坐標來描述的，但是坐標沒有 (內蘊) 意義，因為它們是允許進行變換的。並且為了處理這種情況，一個重要的工具是所謂張量分析或里奇演算，對數學家來說這是新的。在數學中你有一個函數，你要寫下這個函數、你計算，或加，或乘，或你能微分，你有非常具體的東西。在幾何中，幾何位置是用數 (坐標) 描述的，但是你能任意選擇你的數 (坐標) ，所以為了處理這些，你需要里奇演算。

陳省身擁有三年的獎學金資助，但是他僅花了兩年的時間完成了他的學歷。第三年，布拉施克安排他去巴黎和嘉當一起工作。先生不太懂法語而嘉當只說法語。第一次會面，嘉當就給先生出了兩個問題要他解決。過了一段時間，他們偶爾在龐加萊研究所的樓梯上遇見，陳省身告訴嘉當他還未能解出那兩個問題。嘉當讓先生到他的辦公室來一起討論它們。當陳省身在嘉當辦公時間準時到來時，卻見這位著名數學家的辦公室被許多求見者擠滿了。幾個月後，嘉當邀請先生到他家裡與其討論問題。

陳省身: 通常在與嘉當會面後，我總能收到他的一封來信。他總是說: 「自你走後，我對你的問題想得更多了…… 」 他會得出一些結果，並且也會有更多的問題，等等。他熟知所有的有關單李群，李代數的論文，而且爛熟於心。當你在街上遇見他或當某篇報告發表時，他總會抽出一些舊的信封，寫上些什麼, 給你一個答案。為了得到相同的答案，有時甚至花費我數小時或數天的時間。大概每隔二周看到他一次。很顯然，我必須努力地學習研究。這樣堅持了一年，到1937 年，我才回到了中國。

當陳省身返回中國後，成了清華大學數學系教授。殘酷的日寇侵華戰爭限制了他與國外數學家的聯繫。他寫信給嘉當說明了他的處境，嘉當寄了一箱他的重印本給先生，還包括一些以前的論文。先生花了大量的時間閱讀和思考它們，儘管與外界隔離了，但是陳省身繼續發表著他的論文，他的論文引起了國際上的注意。1943年他得到了幾何學家維布倫教授的邀請, 希望他去普林斯頓學院繼續深入研究。由於戰爭，先生花了一個星期才乘美軍的軍用飛機抵達美國。在學院的兩年期間，先生完成了他對高維高斯-博內定理的內蘊證明，這把任意維閉黎曼流形的歐拉示性數表示為曲率在整個流形上的積分。這個局部幾何性質和整體拓樸不變量的理論結合，在先生的工作中展示了深層的主題。

傑克遜：在您的數學研究中, 您認為最重要的是什麼?

陳省身：我想是纖維空間的微分幾何。你知道，數學正走向兩個不同的方向。一是一般的理論，例如每個人都必須學習點集拓撲學，學習一些代數學，由此打下一般的基礎，那幾乎覆蓋整個數學的基本理論。然而也有一些課題是特殊的，而它們在應用數學上卻起著重要的作用。這些東西你必須相當了解，例如一般線性群、甚至酉群。它們到處滲透，無論你是研究物理還是研究數學理論的。因此，數學中既有一般的基礎理論，也有某些美妙的東西。纖維空間便是其中之一。你擁有一個空間，其纖維相當簡單，這是經典空間，要把它們以某種方式放在一起。這就得到一個非常基本的概念。在纖維空間中，聯絡的概念極其重要，這是我研究工作的切入點。通常來說，最好的數學研究工作，是把一些理論與一些非常特殊的問題結合起來，在特殊的問題促使一般理論得以發展。我就是應用聯絡的思想給出了高斯—博內公式的第一個證明。

高斯一博內公式是最重要最基礎的公式之一，不但在微分幾何, 而且在整個數學領域也是如此。在我1943年來普林斯頓之前，我就已經考慮過這一點, 因此從某種意義上講，我在普林斯頓的發展是十分自然的。到普林斯頓後，我見到韋伊，他和阿侖道弗已經發表了他們的論文。韋伊和我很快成了朋友，所以很自然地，我們討論了高斯-博內公式，之後我得到了我的證明。我想這是我最好的工作之一，因為它解決了一個重要而基本的經典問題，並且思想十分新穎。為了讓你的思想付諸實踐，你需要有技術上的天才。這不是輕而易舉的，也不是只要你有想法就可以實行的。這是微妙的。所以我認為這是件非常好的工作。

傑克遜: 你最重要的工作之一是對示性類的發展。

陳省身: 示性類一一它們不是給人以那麼深刻的印象: 示性類是非常重要的, 因為這些是纖維空間基本的不變量。纖維空間是非常重要的，所以示性類產生了。不過這沒傷我多少腦筋。它們經常出現, 包括一階陳示性類c1（1為下標）: 因為在電磁學中你需要複線叢的觀念。而複線叢引出c1（1為下標），這在狄拉克關於量子電動力學的論文中就有。當然狄拉克並沒有稱之為c1（1為下標）。當c1（1為下標）不為零時，它是與所謂的磁單極有關。示性類的重要性是明顯的，因為它們自然而然地出現在一些具體而基礎的問題中。

陳省身詩 | 圖源：林節玄

傑克遜: 1940年代當您首先發展陳類理論時，您是否意識到龐特里亞金的工作以及這樣的事實：一個實纖維叢的龐特里亞金類可以從其復化的陳類重新得到？

陳省身: 我的主要想法是，人們應該在複數情形下做拓樸和整體幾體的研究。複數情形有更多的結構，而且在許多方面要比實的情形更簡單。因此我引進復情形下的陳類，而實的情形要複雜得多。我讀過龐特里亞金的論文，但我沒有看到他的詳細論文，不過我想他在英語版的《科學紀事》上發表了摘要。我是從希哲布魯赫處得知陳類和龐特里亞金類之間的關係的。陳類可以用局部不變量曲率表達。我主要對局部性質與整體性質之間的關係感興趣。當你研究空問的時候，你所能測量的則是局部性質。重要的是，一些局部性質與整體性質是相關聯的。高斯-博內公式的簡單情況是，三角形三個內角的總和是180 度。它出現在非常簡單的事實中。

傑克遜: 您被視為整體微分幾何的主要專家之一，而且您喜歡用嘉當的微分形式和聯絡等工具。而德國學派，如作為代表的克林根伯格，卻以不同的方法研究整體幾何：他們不喜歡用微分形式，他們用測地線和比較定理等手段。你是怎樣看待這種差異的呢?

陳省身: 沒有什麼根本的差異，這是傳統的發展。例如，為了研究流形上的幾何, 標準的技巧是里奇演算。基本的問題是形式問題，這是由利普希茨和克里斯托斐耳尤其是後者解決的。而克里斯托斐耳的想法又追溯到里奇，里奇寫了關於張量的里奇運算的著作。所以所有的人，包括外爾，都是通過里奇演算來學習數學的。張量分析起著那麼重要的作用, 於是大家都學，大家在微分幾何方面都是從張量分析開始的。不管怎樣，在某些方面，微分形式應該引入。我通常喜歡說，向量場就象一個男人，而微分形式就象一個女人，社會必須由兩性構成。如果單有男人或單有女人，社會是不完整的。

1943 年至1945 年, 陳省身在普林斯頓研究所訪問兩年，之後返回中國。在中國也呆了兩年，他幫助建立了中央研究院數學研究所。1949 年他成了芝加哥大學的一名數學教授。1960 年又至加州大學伯克利分校任教。1979 年先生退休後依然積極活動，尤其是幫助創辦了伯克利的美國國家數學研究所。從1981 年— 1984 年先生出任首任所長。陳省身已培養了41位博士。這個數字還不包括他在頻繁的訪華中已有聯繫來往的許多學生。由於「文化大革命」，中國失去了許多天才的數學家，數學研究的傳統也幾乎喪失殆盡，陳省身做了許多事情以恢復這一傳統。特別是1985 年先生對中國天津南開數學研究所的創辦起到了重要作用。

傑克遜: 您多長時間回中國一次?

陳省身: 近年來我每年都要回中國。通常呆上一個月或更長的時間。我在南開創辦了數學研究所，最重要的是擁有了一批紮根中國的傑出的青年數學工作者, 這方面我們已獲得了成功。我們新的研究人員包括龍以明 (動力系統) 、陳永川 (離散數學) 、張偉平 (指標理論) 、方復全 (微分拓撲) 等一批優秀的年輕人。我認為在中國對於數學研究最大的障礙主要是報酬太低。順便說一下，國際數學聯盟已將下一屆國際數學家大會選定在北京舉行。

傑克遜: 你認為中國在數學方面會有極大的提高嗎?

陳省身: 嗯，是的。我所擔憂的，倒是中國將會有太多的數學家了。

傑克遜: 中國是一個大國，可能他們需要大量的數學家。

陳省身: 我認為他們不需要太多的數學家。中國是一個大國，自然她有許多人才，特別是在一些小地方。舉個例子，有國際性的中學生奧林匹克數學競賽，中國學生表現都是十分出色的。不過象這種情況，為了贏得競賽，這些學生需要培訓，結果其它課題就被忽視了。在中國，父母們總想讓他們的孩子學英語，做生意，賺更多的錢。而競賽是不給錢的。我想，如果哪一年這種培訓方面他們投人得少了，中國的成績就可能立刻下跌。

1943 年當先生選擇去德國攻讀研究生時, 在美國，幾何學還只是一個剛剛起步的領域；到1979年他退休時，幾何已經成為最輝煌的方向之一。這種變化多半歸功於陳省身。然而，陳省身對他的成就卻極為謙虛。

陳省身: 我不認為我高瞻遠矚。我只是在做一些小問題。數學中湧現出許多概念和新思想，你只是提出一些問題，然後盡力得到簡單的答案，並期望給出簡單的證明。

傑克遜: 那就是說，你先觀察，然後產生想法？

陳省身: 對。在大多數情況下，你什麼想法也沒有。而在許多情況下，你的想法也行不通。

傑克遜: 您把自己描述為一個解題者，而不是理論創立者？

陳省身: 我認為這種差異是很小的。每一個好的數學家都應該是一個解題者。不然你僅有模糊的想法，如何能作出傑出的貢獻？你解決了某些問題, 你用某些概念，至於數學貢獻的評判，可能要到將來才能看到。

要評估一個數學家或數學的某個方面是很困難的。如可微性的概念。二三十年以前，許多人不喜歡可微性。許多人對我說: 「 我對任何帶有可微性概念的數學一概不感興趣。」 這些人想使數學變得簡單。如果拒絕接納涉及到可微性的思想，你就排除了許多數學。這就不夠了，牛頓、萊布尼茨應該發揮其作用。不過這是有趣的，因為在數學中有許多有爭議的想法。

傑克遜: 你可以舉幾個引起爭議的例子嗎?

陳省身: 一件事是當今一些論文太長了。如「 有限單群」 的分類，誰打算去閱讀1000 多頁的證明？或還有四色問題的證明。我想人們必須使數學有趣些。

我認為數學不會很快消亡。在一段時間裡它到處存在, 因為它還有許多美妙的事情要做。研究數學是個人的行為。我不相信可以由一群人來做數學，基本上這是一種個人行為，從而也容易做。數學不需要太多的設備，它不象其他科學，它們比起數學來需要更多的物質設備。所以數學可以延續一段時間。我不知道人類文明能持續多長時間，比起數學來，那是一個大得多的問題。但是就數學本身，我們還要與它相處一段時間。

86 歲高齡的先生繼續還在從事數學的研究。近年來他一直對芬斯勒幾何尤感興趣。兩年前他曾在本刊上討論過這一點( 「 芬斯勒幾何就是無二次型限制的黎曼幾何」 19 9 6 年9 月,9 5 9— 9 6 3 頁)。

陳省身: 芬斯勒幾何比起黎曼幾何要來得廣泛得多，而且能用統一的方法進行處理。它將是大學未來十年里微分幾何基本課程里的內容。

在數學上我沒有什麼困難，所以我當我做數學時，我是在欣賞它。我之所以一直在做數學研究，也是因為其他事情我做不了。我已經退休多年了，還有人問我是否仍在研究數學。我想我的答覆是：這是我能做的唯一一件事，沒有其他我能做的事。我一生都是這樣。

此文根據《蘇州教育學院學報》上的譯稿《當代最偉大的幾何學家陳省身先生訪談錄》修訂編輯。

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