R語言基於ARCH模型股價波動率建模分析

## t

## 2.37881

##

## $p.value

## [1] 0.01779151

更具體地說，檢驗H0:μ=0和Ha:μ≠0H0:μ=0和Ha:μ≠0的ｔ比為2.3788，p值為0.01779.因此，對Intel公司股票的對數收益率，有rt=μt+εtrt=μt+εt，其中μt=μμt=μ為常數。

ARCH效應的檢驗

對於Intel公司股票的月對數收益率序列，均值方程僅僅由一個常數構成。

記εt=rt−μtεt=rt−μt為均值方程的殘差。平方序列ε2tεt2可以用來檢驗條件異方差性，即ARCH效應，我們採用Mcleod和Li(1983)提出的將Ljung-Box統計量ＱQ(m)Q(m)應用於序列ε2tεt2，該檢驗統計量的原假設是序列ε2tεt2前ｍ個間隔的ACF值都為０.

ε2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−m+et,t=m+1,⋅⋅⋅,Tεt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2+et,t=m+1,···,T

ARCH模型的建立

ARCH模型的基本思想是:1)資產收益率的擾動序列εtεt是前後不相關的，但不是獨立的;2)εtεt的不獨立性可以用其滯後值的簡單二次函數來表述。ARCH(m)模型假定

εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−mεt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2

其中ϵtϵt是均值為０、方差為１的獨立同分布(iid)隨機變量序列，且α0>0α0>0,對i>0i>0有αi≥0αi≥0.係數αiαi必須滿足一些正則性條件以保證εtεt的無條件方差是有限的。我們假定ϵtϵt服從標準正態分布。

上圖給出了均值調整對數收益率的平方序列的樣本ACF和PACF.從PACF圖中，我們可以看出在間隔為１、２、３和１１上有顯著的相關性。為了保持模型簡單，我們對波動率建立一個ARCH(3)模型。相應的，為Intel公司股票的月對數收益率建立一個如下模型：

rt=μ+εt,εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+α2ε2t−2+α3ε2t−3rt=μ+εt,εt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+α2εt−22+α3εt−32

假定ϵtϵt是獨立同分布的標準正態序列。

我們得到的擬合模型為：

rt=0.0126+εt,σ2t=0.0104+0.2329ε2t−1+0.0751ε2t−2+0.0520ε2t−3rt=0.0126+εt,σt2=0.0104+0.2329εt−12+0.0751εt−22+0.0520εt−32並且，各個參數估計值的標準誤差分別是0.0055、0.0012、0.115、0.0473和0.0451,統計報告見附錄。

可見，α2α2和α3α3的估計值在5%的水平下不是統計顯著的。我們去掉兩個不顯著參數，簡化模型為ARCH(1) ,重新得出如下擬合模型rt=0.0131+εt,σ2t=0.0110+0.3750ε2t−1rt=0.0131+εt,σt2=0.0110+0.3750εt−12其中，各個參數估計值的標準誤差分別是0.0053、0.0021和0.1126,並且所以估計都是高度顯著的，統計報告見附錄。

ARCH模型的思考

我們對於Intel公司股票波動率建立的上述模型是不是就能充分地描述給定數據的條件異方差性了呢？

以下，我們對殘差進行標準化處理，得到序列{εt^εt^}，{εt^εt^}的樣本ACF和樣本PACF圖如下所示：

PACF圖表明在標準化殘差的平方序列的高階間隔上仍然有序列相關性。{εt^εt^}的Ljung-Box統計量為

Q(10)=16.58Q(10)=16.58,p=0.08p=0.08;Q(20)=38.81Q(20)=38.81,p=0.007p=0.007.因此，如果只是關注低階的模型，那麼在５％水平下，以上所求的ARCH(1)模型就能充分地描述給定數據的條件異方差。