每個時期，區制都根據以下的轉移機率矩陣進行轉換。

其中 pij是從區制 i 轉移到區制 j 的機率。

該模型類別是時間序列部分中的MarkovAutoregression。為了創建這個模型，我們必須指定k_regimes=2的區制數量，以及order=4的自回歸階數。默認模型還包括轉換自回歸係數，所以在這裡我們還需要指定switch_ar=False。

創建後，模型通過極大似然估計進行擬合。使用期望最大化（EM）算法的若干步驟找到好的起始參數，並應用准牛頓（BFGS）算法來快速找到最大值。

[2]:

#獲取數據

hamilton= pd.read('gndata').iloc[1:]

# 繪製數據

hamilton.plot()

# 擬合模型

Markovreg(hamilton)

summary()

我們繪製了經過過濾和平滑處理的衰退機率。濾波指的是基於截至並包括時間tt（但不包括時間t+1,...,Tt+1,...,T）的數據對時間t的機率估計。平滑化是指使用樣本中的所有數據對時間t的機率進行估計。

fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(7,7))

ax = axes[0]

ax.plot(margl_prob[0])

ax = axes[1]

ax.plot(smoomarginal_pro[0])

根據估計的轉移矩陣，我們可以計算出衰退與擴張的預期持續時間。

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print(expected_du)

在這種情況下，預計經濟衰退將持續約一年（4個季度），擴張約兩年半。

Kim, Nelson, and Startz (1998) 三狀態方差轉換模型。

這個模型展示了帶有區制異方差（方差轉換）和無平均效應的估計。

模型是:

由於沒有自回歸成分，這個模型可以用MarkovRegression類來擬合。由於沒有平均效應，我們指定趨勢='nc'。假設轉換方差有三個區制，所以我們指定k_regimes=3和switching_variance=True（默認情況下，方差被假定為在不同區制下是相同的）。

raw = pd.read_table(ew ,engine='python')

# 繪製數據集

plot( figsize=(12, 3))

res_kns.summary()

下面我們繪製了處於每個區制中的機率；只有在少數時期，才有可能出現高_方差_區制。

fig, axes = plt.subplots(3, figsize=(10,7))

ax.plot(smoothed_proba[0])

ax.plot(smoothed_proba[2])

ax.plot(smoothed_proba[3])

Filardo (1994) 時變的轉移機率

這個模型展示了用時變的轉移機率進行估計。

在上述模型中，我們假設轉移機率在不同時期是不變的。在這裡，我們允許機率隨著經濟狀況的變化而變化。否則，該模型就是Hamilton（1989）的馬爾可夫自回歸。

每個時期，區制現在都根據以下的時變轉移機率矩陣進行轉移。

其中 pij,tipij,t 是在 t 期間從區制 i 轉移到區制 j 的機率，並定義為。

與其將轉移機率作為最大似然法的一部分進行估計，不如估計回歸係數βij。這些係數將轉移機率與預先確定的或外生的變量xt-1向量聯繫起來。

[9]:

# 用標準差進行標準化

data['p']['1960-01-01':].std() / data['dlip'][:'1959-12-01'].std()

# 繪製數據

data['dlip'].plot( )

data['dmdlleading'].plot( figsize=(13,3));

時變的轉移機率是由exog_tvtp參數指定的。

這裡我們展示了模型擬合的另一個特點--使用隨機搜索的MLE起始參數。因為馬爾科夫轉換模型的特徵往往是似然函數的許多局部最大值，執行初始優化步驟有助於找到最佳參數。

下面，我們規定對起始參數向量的20個隨機擾動進行檢查，並將最好的一個作為實際的起始參數。由於搜索的隨機性，我們事先設置了隨機數種子，以便結果複製。

markovreg(data, k=2, order=4)

fit(search=20)

summary()

下面我們繪製了經濟運行在低生產狀態下的平滑機率，並再次將NBER的衰退情況納入其中進行比較。

ax.plot(smoo_marg_prob[0])

利用時間變化的轉移機率，我們可以看到低生產狀態的預期持續時間如何隨時間變化。

exp_dura[0].plot( figsize=(12,3));

在經濟衰退期間，低生產狀態的預期持續時間要比經濟擴張時高得多。

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本文選自《PYTHON用時變馬爾可夫區制轉換（MARKOV REGIME SWITCHING）自回歸模型分析經濟時間序列》。

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