宇宙的公理化：《几何原本》示范及其扩大

我把牛顿力学视为一个近似于《几何原本》的扩大了的公理系统，这里有“近似于”的限定。为什么要加这一限定，因为在《自然哲学的数学原理》一书中推导定理之前提并非都是公理，其中有一些是作为科学经验真实之假设。《自然哲学的数学原理》之所以有那么大的说服力，是因为其用万有引力公式得出与天文观察符合的推论和预见。和牛顿三定律同样重要甚至在当时更重要的是，牛顿提出万有引力的公式：“两物体之间的引力和它们的质量（注意这是‘引力质量’）乘积成正比，和它们之间距离的平方成反比。”他正是以此来证明开普勒三定律，并做出行星和月球运行及其他惊人的预言的。

上述万有引力公式实际上是一个猜测，而且只是近似正确的。因为它建立在超距作用之上，是反对亚里士多德科学经验真实观之结果。20世纪相对论证明超距作用不存在，牛顿力学的万有引力公式被广义相对论取代。正因如此，《自然哲学的数学原理》中推理的出发点是数学真实和科学经验真实的混合体。科学史学家早已指出，牛顿的工作虽具有巨大的原创性，但理论体系的公理化做得不好。牛顿第一定律“仍然坚持亚里士多德的观点，认为任何运动都需要推动者，只不过是以巴黎唯名论者的修改后的形式，即这种推动者处于物体之中”。至于第二定律，实际上只是给出“力”和“惯性质量”的定义。牛顿第三定律实为动量守恒的另一种表述。

亚里士多德

由此我们能得出什么结论呢？那就是牛顿在《几何原本》的示范作用下，从亚里士多德的科学经验真实观中跳了出来，尽可能地回到了数学真实。他相信数学真实的存在，由于他在数理天文学中引进了新的公理，数学真实实现了从几何到力学的大飞跃，这就是牛顿带来的巨大的革命。但牛顿的《自然哲学的数学原理》本身是新的数学真实系统和数理天文学（科学经验真实）的混合物，这直接表现在其内容上：《自然哲学的数学原理》共有三卷，第一卷讨论运动物体一般的动力学（数学）原理，表述了牛顿三定律；第二卷论述物体的运动，如阻力下物体的运动，为流体力学开了先河；第三卷讨论如何将这些原理应用于宇宙系统。

牛顿的出现可谓是横空出世，如果没有他，作为公理系统的数学真实的大扩张是不可能的，所以我称这一步是突变。在《几何原本》和《大汇编》中，古代科学家从来只讲数量之间、测量之间、几何之间的关系，而没有研究过变化率。牛顿的伟大之处在于，他在数学上定义了变化率——如“无穷小的速度变化”除以“无穷小的时间”，即“流数法”。这个定义看起来很荒谬：在我们的常识中，无穷小是无限逼近于0，两个无限逼近于0的数字之比是什么意思呢？牛顿认为这是有意义的，“无穷小的速度变化”除以“无穷小的时间”等于加速度，由此就引申出了力的概念。自此以后，一个由几何解释的数学世界，就拓展为一个由力学解释的世界，后者的结构仍然是和《几何原本》一样的公理系统。

正是《几何原本》示范的存在，可以帮助我们理解牛顿的理论建构为何总是遵循如下三种方法：第一，数学上主要应用以几何学为基础的“综合法”，而非他发明的“流数法”；第二，应用大量最新实测数据，包括他自己所做实验的结果；第三，作为“实验哲学”，是从基本原理出发，经过数学推理，应用于所有能够处理的现象，但所得结果必须全部与实测结果相符合，基本原理才得以建立。换言之，牛顿的“流数法”只是在《几何原本》的公理结构中加入一个新的假定——无穷小除无穷小，以此来归纳实验结果，然后再通过近似于《几何原本》的推导方法来推出行星轨道和抛射体的运动规律，进而得出可以和实验结果进行比较的结论。

然而，在牛顿那个时代，“流数法”是有问题的。关键在于无穷小的量是否等于零。无论答案是肯定还是否定，都会导致矛盾。也正因如此，牛顿的时代是数学大革命的时代，也是数学面临危机的时代，我称之为第二次数学危机。事实上，牛顿在建立“流数法”之后，迟迟不愿发表，也没在其《自然哲学的数学原理》中全面应用。这很大程度上是因为他深感“无穷小”等概念难以明确界定。1676年，牛顿在撰写第三部介绍微积分的专著时，也避免使用“无穷小量”，而代之以“初始增量的最初比”和“渐趋于零的增量的最终比”。然而，已经消失的两个增量之间会有比吗？牛顿依旧没能给出一个清晰的定义。因此，虽然牛顿的《自然哲学的数学原理》在那个时代暴得大名，但上述问题历来是遭受攻击的，英国哲学家乔治·贝克莱就是牛顿数学批判者中的典型代表。

直到19世纪20年代，才有数学家开始关注微积分的严格基础：捷克数学家波尔查诺给出了连续性的正确定义；挪威数学家阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；法国数学家柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式，他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；德国数学家狄利克雷给出了函数的现代定义。换言之，虽然牛顿没能解决“流数法”运用中“无穷小”界定的问题，但他为影响更广泛的新科学革命奠定了基础。这里我们看到，牛顿时代的数学面临的挑战和发现不可测比线段带来的挑战一样，二者的发生都导致数学真实的大扩张，其解决都用了几百年。

牛顿力学的出现虽意味着数学真实从过去的科学经验真实观中跳出来，去接近科学真实，但实际上它是数学真实和科学经验真实的混合物。而且牛顿三定律很容易被认为是科学经验真实，速度、加速度、力和质量更是被等同于科学经验真实，这样一来，整个被解放出来的数学真实很容易就再一次被想象成科学经验真实（客观存在的真实）中。牛顿的绝对时空观正是这种新科学经验真实观念的典型代表。对速度、加速度、力或者质量的测量都发生在特定的时空之中。通常人们都是通过自身对物体的感知来认识时间和空间的，牛顿认为这会带来一定的偏见。为了消除这些偏见，他将对时空的度量分为绝对的和相对的、真实的和表面的、数学的和普遍的，而“绝对的、真实的和数学的时间，它自身以及它自己的本性与任何外在的东西无关，它均一地流动”，“绝对的空间，它自己的本性与任何外在的东西无关，总保持相似且不动”。表面上看，牛顿对绝对时空的定义是形而上学的，似乎代表了一种形而上学的科学经验真实观。实则不然，绝对时空观是为了给物理学（力学）提供一个公理基础，在此基础上，“度量”在经典力学之中才是可能的。对时间与空间的测量也成为现代物理学的核心之一，一直延续到量子力学的研究中。

随着牛顿力学（包括绝对时空观）的建立，一种新的物质世界观成熟了，数学变成了研究数量和空间的学问。从此，客观存在的科学经验真实观起源，至今还支配着我们对真实的认识。这就是从启蒙运动至今真实观演变的历史，亦是真实心灵一步步解体的过程。

本文整理自《消失的真实》 金观涛著 中信出版集团 2022.3

知名学者、思想家金观涛新作

直面当下危机，重新梳理20世纪以来的哲学和科学发展

唤醒哲学思考，在后真相时代，找回现代人的真实价值和意义

《消失的真实：现代社会的思想困境》

作者：金观涛

定价：88元

出版时间：2022年3月

出版社：中信出版集团

【内容简介】

近年在新冠疫情的冲击下，世界越发动荡，区域冲突加剧，经济萎靡不振，迷茫与失序感充斥于公众情绪中。经济持续下行的压力急需寻找出口，以致许多人似乎忘记了战争的教训，心态倒退回19世纪，变为民族主义和反全球化的拥趸。这个世界到底怎么了？也许我们应该意识到，现实层面的危机与思想层面的困顿是一对孪生兄弟，其背后是现代社会价值基础的混乱和人文精神的衰落。

何为人文精神的衰落？繁荣的物质文明，前所未有的科学革命使大量的知识、数据、信息涌动于普通现代人的日常生活，我们沉醉于虚拟体验，寄希望于科技发展带来秩序的革新和社会的持续繁荣，却无法规避后真相时代的人心浮躁、意义丧失、真假不分。我们缺乏对现代科学的宏观理解，虚浮于技术带来的狂欢，放弃了思考，因此陷入无可避免的现代性危机。

为了回应这一问题，本书提出了“真实性哲学”的概念，详细剖解了 20世纪的三场革命——全球化的兴起、科学革命、哲学的语言学转向，尝试从历史的角度分析技术发达的现代社会如何陷入了今天的困境，探索现代社会中科学和人文分离的本质。我们需要唤醒哲学思考，通过明确什么是科学，确立科学的边界，关照作为现代人真实的价值和意义，重塑 “真实心灵”，在此基础上，明晰对理想现代社会的追求。

【作者简介】

金观涛

金观涛，生于1947年，现任中国美术学院南山讲座教授、香港中文大学中国文化研究所高级名誉研究员。

主要著作有《系统的哲学》《历史的巨镜》《轴心文明与现代社会：探索大历史的结构》。与刘青峰长期合作研究，合著代表作有《兴盛与危机：论中国社会超稳定结构》《开放中的变迁：再论中国社会超稳定结构》《中国现代思想的起源：超稳定结构与中国政治文化的演变（第一卷）》《观念史研究：中国现代重要政治术语的形成》《中国思想史十讲（上卷）》。

【编辑推荐】

1.知名学者、思想家金观涛新作。万字长序追忆数十年学术生涯，回顾80年代至今的思想变迁。

2.直面当下危机，重新梳理20世纪以来的哲学和科学发展，解析疫情以来经济持续下行、反全球化情绪高涨，民族主义复兴背后现代社会的思想困境。

3. 唤醒哲学思考，在意义丧失、迷惘失序、功利主义盛行的后真相时代，找回现代人的真实价值和意义。

【目录】

序言：开放社会的理想VII

导论：重建真实的心灵001

第一编| 哲学的童年

第一章超越突破和真实心灵027

从一本畅销书谈起 027

哲学的转向 034

传统真实心灵：真善美的统一 040

认知理性的解放 046

第二章现代真实心灵为什么走向解体051

现代真实心灵及其稳定性 051

启蒙运动和“大分离”：理性主义的起源 056

经验主义和怀疑论：实然—应然、事实—价值 061

为什么韦伯先知先觉 066

“哲学之死”及其回光返照 070

第三章20 世纪对康德哲学的期待074

公共性丧失和康德的“第三批判” 074

政治哲学基础的改变：对自然法的再定位 076

《正义论》和文化相对主义 081

新康德主义、新儒学及其他 085

寻找重建现代真实心灵的方法 088

第四章康德哲学的宏伟结构 093

康德哲学诞生的背景 093

“三大批判”的结构 097

哲学的“哥白尼革命” 101

为什么康德能够制造“旷世奇迹” 106

第五章先验观念论的错误和“康德猜想” 112

哲学的“语言学转向”及其后果 112

形而上学“冻土层”的融解 115

数学等于逻辑？120

“康德猜想”：数学符号真实和科学经验真实同源 122

告别童年：从“康德猜想”再出发 127

第二编| 数学真实和科学真实

第一章《几何原本》之谜 135

如何证明“康德猜想” 135

科学的自相似性 137

神奇的武功秘籍 141

科学起源于数学真实 145

第二章数学真实的显现及其命运 150

数学真实的起源 150

不可测比线段的发现 154

柏拉图的“理型”和数学真实 158

几何学黄金时代和数理天文学 163

三个演变方向：形而上学、《几何原本》和新柏拉图主义 166

第三章数学真实被想象成科学经验真实170

亚里士多德：第一个科学家 170

物理学和形而上学 173

几何推理是否等同于三段论 178

种子与方舟：《几何原本》和《大汇编》的飘零 183

第四章牛顿力学：《几何原本》示范的扩大189

否定亚里士多德：数学真实的再一次兴起 189

哥白尼的新理论系统 193

经典力学等于“微积分”加“日心说”加“望远镜”吗 197

宇宙的公理化：《几何原本》示范及其扩大 202

第五章启蒙运动：客观世界的诞生210

宇宙模型的改变：从钟表到粒子运动 210

真空研究和客观存在的时空 213

新分类树和还原论：化学基础的发现 217

达尔文进化论：生物学的公理化 222

第六章大道之隐228

真实性哲学的十字路口 228

第五公理和非欧几何 231

解方程、群论和抽象代数 235

集合论和无穷研究 240

进一步的问题：“康德猜想”为什么成立 243

第三编|“语言学转向”阴影下的科学哲学

第一章科学和形而上学的对立249

科学哲学兴起的历史前提 249

逻辑经验主义 253

从逻辑推出自然数的失败 259

批判的理性主义兴起 264

第二章迷失在后现代主义的黑森林268

证伪主义科学观 268

科学史研究：“范式”的发现 273

证伪主义的修正及其他 278

科学哲学的“菲罗克忒忒斯之伤” 284

第三章来自中国的研究290

为什么要回到20 世纪80 年代 290

客观存在和受控观察普遍可重复 296

全称陈述不能确证吗 299

受控实验普遍可重复为真 304

通往数学真实之路 309

第四章科学是什么313

为什么现代科学起源于欧几里得几何学 313

再论科学发现的逻辑 318

在证伪的背后 322

科学图像中的不确定性 325

科学革命的终结 328

科学的增长：分形的形成和展开 331

第五章横跨经验世界和符号世界的拱桥335

被悬置的主体 335

因果性：对目的论和决定论的超越 338

自然规律和仪器同构 340

再论哲学的“哥白尼革命” 343

真实性哲学的方法论 347

后记351