文 | LJJ
From 不正常留學實驗室
微信號：LABUNIQUE
美東時間4月6日，美國確診人數突破36萬，死亡人數突破1萬——
*worldometers.org
在3月16日的美國確診人數預估當中，我給出三個階段性預測：
其中前兩項結論早早成為現實，時間節點完全一致。第三項結論也大致準確，只是時間上超前了100多個小時。
於是有讀者給我留言——
這太難為我這個塑料數學狗了，但我還是決定更新一下。
這次，我們用SIR模型做預測，這是傳染病動力學中被廣為接受的數學模型。
閱讀本文可能需要高中的微積分知識做儲備，如果你認真看完，你是能夠自己上手做預測的。
準備好紙筆，你會驚訝於這場新冠肺炎究竟會嚴重到什麼程度。
01 什麼是SIR模型？
當一個人得病的時候，他要滿足哪些條件呢？首先他得是個易感的人（Susceptible），其次才會染病（Infected），這場病結束後，他會康復或死亡（Removed）。
而SIR模型則將三種狀態的人數變化（三者不重不漏），用三個微分等式聯繫了起來：
dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - αIdR/dt = αI
其中α是康復率和致死率的總和，β是一個比例係數，均為常數。S + I + R = N，即總人口不變。由於新冠肺炎全人類易感，所以在初始狀態下，N = S0 + I0 ，即總人口數為初始易感人數與初始染病人數的總和。
你仔細看一下這三個等式，其實是現實情況的真實寫照。因為在一場流行病爆發時——
1. 健康的易感人數（S）一定是不斷減少的，而且這個減少的速度是與現有的健康人數（S）和已經染病的人數（I）相關的，所以就有了dS/dt = -βSI；
2. 染病人數（I）隨健康易感人數（S）的減少而增多，隨康復或死亡人數（R）的增多而減少，所以dI/dt = βSI - αI；
3. 康復或死亡人數（R）隨之不斷增長，所以dR/dt = αI 。
當然，知道什麼是SIR模型，並不足以預測疫情的走向，因為你還得知道一樣東西——
02 R0值
在這三個等式中，我們最想研究的是dI/dt =(βS - α)I ，因為它直接關係到染病人數（I）的預測。
假如一場傳染病要成為流行病，那麼dI/dt 必須大於0。什麼情況下dI/dt 會大於0呢？我們算一下——
-> dI/dt = (βS - α)I > 0->βS - α > 0 ->βS > α ->βS/α > 1
也就是說，在疫情初期，當βS0/α>1 成立的時候，這場傳染病就會成為流行病。而βS0/α這個數字，他有一個大名鼎鼎的名字，叫R0值（基本傳染數）。
基本傳染數，意為「一個染病的人平均會傳染多少個人」——
假如R0 < 1，傳染病將逐漸消失；
假如R0 > 1，傳染病會以指數方式散布，成為流行病，但不會永遠持續，因為健康易感染人數（S）不斷減少，而康復或死亡的人數（R）不斷增多；
假如R0 = 1，傳染病將成為地方性流行病。
而R0越大，傳染病控制難度越大——
需要注意的是，R0是會變化的，但你只需記住R0 =βS0/α就行了，後面的預測會用上。
現在咱們可以預測疫情的近期走向和未來峰值了——
03 近期走向
終於到你們感興趣的部分了。
我們先繼續研究dI/dt = βS I - αI 這條式子，看看能不能找出染病人數I(t) 的表達式：
-> dI/dt = (βS - α)I -> dI/I =(βS - α)dt->Ln(I) = (βS - α)t + C （C是常數）->I = e^[(βS - α)t + C]->I = P * e^[(βS - α)t] （P是常數）->I(t) = Pe^kt （k是常數）
發現了嗎？I(t) 的表達式其實是一個指數函數：I(t) = Pe^kt 。
I(t) = Pe^kt 意味著什麼呢？意味著在瘟疫爆發的一定時間內，流行病染病人數的增長會很大程度呈指數增長，變量為t（時間）。
所以才有了3月16日發布的「以指數函數為擬合方法」的塑料吹哨文，具體的預測方法與驗證方法可參考這個連結，這裡就不贅述了。
以下是我以美東時間3月26日至4月5日的確診人數做參考數據後，得出對4月6日（x=12）至4月14日（x=20）的預測：
對照數據，我們可以得出以下結論：
1. 4月9日，美國確診人數將突破50萬；
2. 4月12日，這個數字將超過80萬；
3. 4月14日，全美確診人數將超過100萬，並以每天超過20萬的速度持續增長。
也就是說，距離突破100萬可能只有1周的時間了。
*美國目前檢測試劑的發放量依然有限，以上預測時間點有可能會有延遲
指數增長可怕的地方在於，當人們正走在一個斜坡上的時候，他們眼前所看到的未來的增長是這樣的——
實際上，它很可能是這樣的——
這也是為什麼在疫情爆發的初期，人們普遍輕敵的原因。
但這個曲線，究竟會增長到什麼地步呢？未來染病人數的峰值會是多少呢？
我們繼續看——
04 未來峰值
這一段有點複雜
除了知道確診人數的未來走向外，我們還想知道染病人數峰值（I_max）在哪裡。
我們回到SIR模型中的dS/dt = -βSI和dI/dt = βSI - αI，看看能不能找到I(S) 的表達式：
-> dI/dS = (βSI - αI) /-βSI->dI/dS = -1 + α/βS->dI = ( -1 + α/βS) dS
-> ∫dl = ∫( -1 + α/βS) dS-> I(S) = -S + 1/q Ln(S) + C （C是常數）（為了方便計算，令q = β/α）
為了確定上式中C 的唯一性，我們代入SIR初始狀態I0 和S0，得出C = I0 + S0 +1/q Ln(S0) 。
於是有了I(S) = I0 + S0 + 1/q Ln(S0) - S + 1/q Ln(S) 。我們希望通過這個表達式，找到染病人數的峰值在哪裡。
要找到I(S)的峰值，我們還要找到當dI/dS=0時，S 等於多少：
-> dI/dS = (βSI - αI) /-βSI->dI/dS = -1 + α/βS = 0->α/βS = 1->S = α/β = 1/q
得出當S = 1/q 的時候，I(S)會達到最大值。
我們將S = 1/q代入I(S) 後得出：
-> I_max =I0 + S0 - 1/q (1 - Ln(1/q) + Ln(S0))-> I_max = I0 + S0 - 1/q (1 + Ln(q) + Ln(S0))
-> I_max = (I0 + S0) - 1/q (1 + Ln(qS0))-> I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) （R0 = βS0/α = qS0）
有了I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) 後，我們還想知道q值是多少。
已知I0 + S0 = N（N=美國總人口，約為3.27E+8），在worldometers.org的數據找到I0 ，得出初期的易感人數S0 ，然後再藉助R0 = qS0的關係確定q值，就能用q值找到確診人數的峰值I_max 。
為了讓最終結果看上去不那麼悲觀，我們取3月15日的染病人數3613作為I0 ，那麼S0 = 326996387 。
然後再取新冠肺炎的R0平均值3.77代入計算，得出q = 1.15E-8 。
進而得出I_max = 1.24E+8 。
至此，染病人數的峰值計算就結束了。
我們可以得出結論：美國的染病人數峰值，將會在未來某個時間點達到1.24億，相當於平均每3個美國人就有1個會感染新冠肺炎。
這個結果，依然很悲觀。
而《紐約時報》給出的悲觀預測是：確診人數將高達1.6億至2.14億，總死亡人數為20萬至170萬。
*The New York Times
現在的美國是什麼樣的狀況呢？我們看另一則《紐約時報》的新聞：
2020年4月2日，紐約新設了45個移動停屍房，同時準備了85台冷藏卡車儲存屍體，總計130個臨時停屍房，當地火葬場也被允許全天24小時工作。
由於呼吸機極度缺乏，不得不兩人共用一台的方法，進而引發死亡率上升。
這還遠沒有到達疫情的高峰期，《紐約時報》預計美國疫情的高峰期會在兩周後到來，現在美國的確診病例每天以30000+的速度增長（且不斷變快），很難想像兩周後的高峰期會發展到什麼程度。
一位殯葬行業管理者說：平常火葬場一天只能火化12具屍體，現在半天就要火化38具屍體，大家都在超負荷的工作中堅持。
「我們不知道還能這樣堅持多久。」管理者說。
這僅僅是美國疫情現狀的一個切面。
僅僅一個月的時間，美國確診人數就翻了1000倍。那一句「我們不知道還能這樣堅持多久」，更像是對全美疫情現狀的概括。
這些數字的背後意味著什麼？
意味著更多人會因為疫情而被隔離、住進ICU、甚至死去，但同時也意味著會有更多人加入前線，與新冠病毒血戰到底。
而我們之所以讚頌勇氣，是因為我們人類總是在明知風險的時候，仍然選擇做我們該做的事情。
就像他一樣。
最後還有幾句話想說。
以上的所有預測，包括對SIR模型的運用和解釋，都是我的一家之言，還是那句老話：在非常時期，對於信息的獲取和吸收，需要經過你的獨立思考後再做出判斷或評價。
我們有理由相信，隨著防疫措施和群眾意識的進一步加強，疫情的R0值會不斷下降，確診人數的增速隨之下降，但至於拐點何時到來，誰也不知道。
如果有動手能力的讀者，可以試著按上面說到的方法，自己操作一下SIR模型，應該會得出差不多的結論。
最後還是要提醒一下大家，在注意防範的同時，不要陷入民粹主義的陷阱里。不是說中國的疫情稍微控制住了，別的國家情況不那麼好，就有底氣去嘲笑別的國家和公民，或對所處的國家自怨自艾。病毒才是真正的敵人，任何的攻擊、嘲笑或貶低，都沒有一句真誠的祝福或身體力行的行動來得更有力量。
為全人類祝福吧，我依然不希望以上的預測成真。
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