（一）。以方程的推導，簡析四維空間的封閉是什麼？
在增加維度的時候可以將現在的維度微縮成一個點即為圓心，如從2維（x，y）上升到3維（x，y，z）時，將二維（x，y）的面坍縮為一個點，則到3維z軸的距離相同的的點成了一個圓，如果3維（x，y,z）上升至4維(x,y,z,w)，則將3維坍縮成一個點，此時該點到四維中w軸的距離也可以簡化成一個圓了，按照低維度到高維度的距離相同的點一一映射過去，會發現3維的大的球體會映射出一個個很小很小的小球體，這就是4維的圓。三維球改了叫立方體，那麼第四維的線，並且第四維所有的線都是垂直於這個立方體的xyz軸的。第四維所有的線合起來就像一個包裹這個立方體的球。這些線要想像它比宇宙還大的無限長的線。
『三維中，對應軸上每一個點，都有一xy平面(膜)經過該點並與z軸垂直。拓展到四維。對應每一個w值，都有一個xyz空間與w軸垂直，(此時w軸的位置是不可想像的)那麼我們可以形象化的把這個空間叫做三維膜。
三維的我幫助二維的我，需要幫助他在垂直於二維的維度做一個U型運動，這叫跳線，四維的我為了幫助三維的水流出那個交匯處，在水應該碰到封閉的瓶身時給個機會跳面。切片無限薄，難道W軸上的球不是三維的嗎，怎麼說成是二維的呢，同時，如果是球體在W軸上，怎麼說成球體的體積是無限小，畢竟球都是有體積的，也只有無限小的球體才能塞進整個四維球啊。這沒有什麼衝突的啊，無限小的球就是一個點。就好像一個xy平面的圓形，由點開始沿z軸移動，半徑不斷變大，到赤道後再縮小，最後在極點變回點，形成一個三維球體。
某維空間的球(Hypersphere)可以看成該維度空間內所有到某一固定點小於等於相同距離的點的集合。
三維看三維，因為觀察者我們就是三維生物。而四維看三維，這個時候我們成了被觀察者，被觀察者無法證實是否有高維生物在觀察我們。
在二維我們看的圓不過是同等曲率的閉合二維幾何，在三維來看，也是同等曲率的閉合三維幾何，推想四維應該也是同等曲率的閉合四維幾何，那個比喻只是一個形象比喻，真實的狀態就在身邊，只不過我們習以為常難以想像而已。二維具象的三維球，然後我們想辦法來在三維空間上具象四維球。按200張薄紙的比喻，我們把最底下的那一張想像成螢幕，剩下的199張看成我們垂直於螢幕的手指上的點所在的平面。無論紙怎麼薄，都有厚度，所以我們已經把想像空間擴展到三維。如果我們手指所代表的第四個軸表示的是時間，那麼199張上表現的就是199個時間點的三維球的狀態。如果手指代表的第四軸是質量，那麼表現的是不同質量的三維球的狀態。由勾股定理和距離相等得出的三維空間封閉圖形是圓，同理得出了三維空間的封閉圖形是球，但無法找到第四個維度分別垂直於x.y.z，所以用勾股定理定義第四維空間的方程X^2+Y^2+Z^2+W^2=1不成立。我的理解是這樣的，任何一個有規則的空間立體都可以用方程式來描述，只是有些方程式還沒求出來而已。對於封閉三維空間裡的人來說，也就是在四維球上的人來說，測量三角內角和真的能大於180嗎？對於在那個空間的人來說，即使是測量工具本身也處於空間曲率中，測量的結果是否應該和普通三維空間一樣呢？
讓x維負責重力，其餘3軸互相平行於地面，這時相當於平面地形上有3個坐標，而我作為一個三維的人類並不具備隨意穿行的能力，只有當隨著w維變化時會有平行空間的場景切換的那種體驗。我們都知道三維上劃出三維球是想像出來的厚度，在此我想將三維球的密度來類比第四維，並且假設三維球密度是均勻的，那麼四維球應該是一個在三維球基礎上從原點到邊界密度不斷增大的球。那麼這個密度是怎麼增大的呢？在第四維w=α（其中α無限趨近於0）處密度無限大，在此後w不斷增大的過程中密度不是我們想像的指數增長，而是無限大的無限大X方（這個X方也應該是比次方更高級的形式）。為什麼會出現無限大，最大密度的值應是半徑，而且理應為原點到邊界密度的絕對值不斷縮小。給出公式，可以逆運算得到各個點的第四維大小（密度）為 w = ±√(r²-x²-y²-z²)。
一個四維球是無數個三維膜「貼」在一起構成的，而每一個三維膜對應了一個三維球體，三維膜「等價於」三維球體。記得看過一個說法，宇宙本身就是個四維時空中的三維膜投射出來的三維世界，在這個說法裡，第四維是時間。一個正確的前提很重要，點，線，面都是為了解決問題而假設的概念，實際上人無法觀測到點，線，面其中任何一個，人類能觀察到的只有「體」，現實世界中你無法找出一個二維平面的實體，因為平面沒有厚度，沒有厚度的東西是不存在現實世界的。點線面是解釋我們空間的工具，你可以用xyz來解釋我們的空間，但這些東西實際上是不存在的，你無法想像「點」，不能想像「線」，也無法想像「面」，人類所能想像的，只有「體」。比如你用筆在紙上停頓一下表示「點」事實上這個「點」是有體積的，放大了看是有長寬高的，紙上的一條「線」放大了看也是有長寬高的，「點」「線」「面」的概念只能用「體」來表示，所以人只能理解點線面概念而無法想像，因為你能想像的實際上只有「體」，你無法想像虛無。最後說結論：點線面都是用來讓人更容易理解空間的工具，而不是正確的前提，你不能用一二三維來推導一個四維空間出來。人類能想像的，有且只有「三維」。別說4維，就連1維，2維也是沒法在腦里想像出來的，請問如何想像沒有高度或厚度的東西？就像車庫裡的龍一樣，它噴的火沒有溫度，它不能以任何形式與我存在的世界發生關係。
請把你的手指豎立在上面圖的圓心上，這時你的手指與紙面上的三維空間相互垂直。
點線面是解釋我們所在空間的工具，在物理意義上，要求表面積，這個物體就必須是三維有厚度的，否則它就不能在現實世界中存在，也就是說，你要求xy軸上的表面積，前提是該物體在z軸上的長度大於0。若小於等於零，那麼便不存在表面積這個概念。一維三維概念的前提就是三維的存在。 為什麼會有這種情況？因為初中課本告訴我們，線構成面，面構成體。這本身就是錯的，是體本身的存在才有了線和面的概念。是高維的存在才有了低維的假設。
本質上是一個拍扁了再疊加起來的問題。想必大家都學過高數，沒錯二重積分求體積就是一個三維問題，拍扁了變成通過面密度求質量又變回二維問題。三重積分是求質量，把拍扁了的麵餅兒疊加起來就是求體質量，沿著質量這條軸拉伸開來，也是四維問題。
加上xyz的三個圓，於是我們便很容易地得到了我們想簡要畫的六個圓以及他們在球面上的平行圓。
四維空間的存在形式應該沒有這麼簡單，就像在二維平面上你無論畫出幾根坐標軸都是看不見的，人們只有跳出二維平面，在三維視角里才能看到xyz三條坐標軸。試想一下人只是三維平面的一個點，那人們怎麼可能看到和理解三維呢？所以站在三維里理解四維空間不應該局限現在物理定律和數學定律里。因為我們的物理定律和數學理論本身是基於三維世界產生的。
在沒有四維世界的數學理論和物理基礎知識去計算推論四維世界。一個原點射出無數條線，每條線上又有無數個原點，依然放射無數條線，你再把每個點想成三維球，球裡面又有無數射線無數點，以此類推。你會發現什麼？你捨去了那個三維空間隨時間變化的過程。每個空間內物質變化的階段性過程定格下來，相當於四維中截取的每一幀，所以四維空間數學模型不可能存在。捨去時間變化過程概念，存在的只是臆想的三維不同形態而已。
三維的長寬高造就了體積，而加入的時間軸造就了運動，再高緯度即使存在也不可能通過這樣的方式描述的出來。就好像生活在二維的紙片人一樣，他永遠都沒辦法描述出三維，因為他的一切都是二維的，包括他的思維，他只能在二維空間做平移，即便三維的人告訴他只要給二維的x，y再加一條垂線就可以做出三維，他也無法描述出來，畢竟二維的世界裡，x與y互相垂直已經是極限了。同理可以得出，三維的人在不算上時間的情況下，無論怎麼樣也沒辦法描述出四維空間（假如真的存在的話）。.. ... .尊敬的讀者，當你看了上面的文字後，是否真的是一頭霧水了呢，是的，因為他最後一句要說的是：三維的長寬高造就了體積，而加入的時間軸造就了運動，再高緯度即使存在也不可能通過這樣的方式描述的出來。三維的人在不算上時間的情況下，無論怎麼樣也沒辦法描述出四維空間（假如真的存在的話）。 .果真如此嗎。
給你一個不一樣的四維空間的方程解。從勾股定理到坐標
從數學上的垂直與乘法相照應的關係，我們發現具有直角的幾何圖形會具有一些與算術相對應的特殊性質，這其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。
現在讓將勾股定理的方程稍加改造，得到一個二元方程：x^2+y^2=1^2
什麼是方程？一方程其實就是關係的表征，比如上面這個方程，是用勾股定理改造出來的。所以我們同樣可以將它以二維平面面積的方式來理解。直角三角形其實就是長方形的兩條邊與一條對角線，所以將x和y作為長度來看，這個方程就可以解析成「在對角線長度固定的情況下，所有滿足條件的長方形邊長關係」。
把這些長方形都畫出來，如果這些長方形對角線的一端重合，那麼另一端的點就會構成一個弧形。在這個弧形中每個點到重合點的距離都為1，也就是所謂的圓，上面這個方程也就變成了圓的方程。
通過上面的分析我們可以得到一個概念，那就是「坐標」，用兩個邊長去確定由它構成的直角三角形的頂點。我們現在得到了兩個「參數」與一個「規律」，用它們組成的數學式子就是「方程」。
為什麼要從二維升到三維
那麼現在讓我們進入三維世界吧，不過不是我們熟悉的那種進入，而是從簡單粗暴地直接把圓的方程進行擴展，把x^2+y^2=1^2變成x^2+y^2+z^2=1^2會得到什麼呢？答案是球面的方程，這個方程的意思是：在立方體的對角線長度為1的情況下，所有滿足條件的立方體相互間的邊長關係。數學家的操作——加一維
平方公式與立方公式。
ax十bX十cX十D=0。
這一方程公式，用任一自然整數代入，它的解一定是整數，這是確定無疑的。那麼。
a^2十b^2=c^2
a^3十b^3十c^3=e^3。
而上面的平方公式和立方公式，甪任一自然整數代入，它的解就不一定是整數了。而有整數解的數只有很少一部分了。但代入怎樣的自然整數才能使它們成為整數。我們有。
3^2十4^2=5^2=25。
3^3十4^3十5^3=6^3=2l6。
（2X3）^2十（2X4）^2=（2X5）^2=100。
（2x3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^3=1728。
（3x3）^2十（3x4）^2=（3X5）^2=225。
（3X3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^2=5832。
。。。。。。
由此可知：
3X^2十4X^2=5X^2
3X^3十4X^2十5X^3=6X^3。
就這樣，從平方整數解公式到立方解整數公式就這樣完成了。那麼，這個立方整數解公式是一個什麼樣的球呢？那只有請一個農村老大娘給你用紙糊一個小朋友的錢罐子了。
所以對於勾股定理，有勾三股四弦五的說法，那麼，對於立方整數解的公式應該有一個怎麼樣的說法呢。
好，到這兒為止都是我們可以輕鬆理解的東西，現在請你再看看圓與球的兩個方程，如果你是數學家，你是不是覺得似乎可以順水推舟地再做一些什麼呢？
比如……再給它加個參數試試？整個x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出來看看？
這個式子在算術上很好理解，四個參數，相互間滿足一定的關係。
但是根據之前方程可以依託面積或體積照射到現實世界中的規律來看，我們是不是也可以將這個方程畫出來呢？ 那麼有沒有求取高次方程的更好的方法呢。 由高次方程簡次。 下面以X=2時為例，通過簡次以後是個什麼樣子。 （1）。2X2=4。4X2=8。8=2^3=2X2^2。當X=2時。2X^2=8。這樣，就可以把2^3=8。簡次為方程2X^2一8=0。 （2）。4X2=8。8X2=16。16=2^4=4^2。這樣，就可以把2^4=8。簡次為方程。X=4。X^2一16=0。 （3）。2X16=32。32=2^5=4^2X2。這樣，就可以把2^5=32，簡次為方程。X=4。2X^2一32=0 。（4）。2X32=64。64=2^6=8^2。這樣就可以把2^6=64。簡次為方程X=8。X^2一64=0 根椐以上所列。就可以列出當X=2時的一個簡次方程。即： X^6十x^5十X^4十X^3十X^2一124=0。可以列為：X^6。8^2十X^5。2X^4。十X^4。X^2十X^3。2X^2十X^2一124=0。這樣解起就容易多了。這就是說，任意一個數的高次方，都可以化成另一個數的低次方或他的係數X的低次數而列出他的二次方的方程式。 ： . .. 從上面的對高次方程解的過程可以看出，無論什麼所謂多麼高的維度方程，其實質也就是一個二維加係數罷了。