宇宙的公理化：《幾何原本》示範及其擴大

我把牛頓力學視為一個近似於《幾何原本》的擴大了的公理系統，這裡有「近似於」的限定。為什麼要加這一限定，因為在《自然哲學的數學原理》一書中推導定理之前提並非都是公理，其中有一些是作為科學經驗真實之假設。《自然哲學的數學原理》之所以有那麼大的說服力，是因為其用萬有引力公式得出與天文觀察符合的推論和預見。和牛頓三定律同樣重要甚至在當時更重要的是，牛頓提出萬有引力的公式：「兩物體之間的引力和它們的質量（注意這是『引力質量』）乘積成正比，和它們之間距離的平方成反比。」他正是以此來證明開普勒三定律，並做出行星和月球運行及其他驚人的預言的。

上述萬有引力公式實際上是一個猜測，而且只是近似正確的。因為它建立在超距作用之上，是反對亞里士多德科學經驗真實觀之結果。20世紀相對論證明超距作用不存在，牛頓力學的萬有引力公式被廣義相對論取代。正因如此，《自然哲學的數學原理》中推理的出發點是數學真實和科學經驗真實的混合體。科學史學家早已指出，牛頓的工作雖具有巨大的原創性，但理論體系的公理化做得不好。牛頓第一定律「仍然堅持亞里士多德的觀點，認為任何運動都需要推動者，只不過是以巴黎唯名論者的修改後的形式，即這種推動者處於物體之中」。至於第二定律，實際上只是給出「力」和「慣性質量」的定義。牛頓第三定律實為動量守恆的另一種表述。

亞里士多德

由此我們能得出什麼結論呢？那就是牛頓在《幾何原本》的示範作用下，從亞里士多德的科學經驗真實觀中跳了出來，儘可能地回到了數學真實。他相信數學真實的存在，由於他在數理天文學中引進了新的公理，數學真實實現了從幾何到力學的大飛躍，這就是牛頓帶來的巨大的革命。但牛頓的《自然哲學的數學原理》本身是新的數學真實系統和數理天文學（科學經驗真實）的混合物，這直接表現在其內容上：《自然哲學的數學原理》共有三卷，第一卷討論運動物體一般的動力學（數學）原理，表述了牛頓三定律；第二卷論述物體的運動，如阻力下物體的運動，為流體力學開了先河；第三卷討論如何將這些原理應用於宇宙系統。

牛頓的出現可謂是橫空出世，如果沒有他，作為公理系統的數學真實的大擴張是不可能的，所以我稱這一步是突變。在《幾何原本》和《大彙編》中，古代科學家從來只講數量之間、測量之間、幾何之間的關係，而沒有研究過變化率。牛頓的偉大之處在於，他在數學上定義了變化率——如「無窮小的速度變化」除以「無窮小的時間」，即「流數法」。這個定義看起來很荒謬：在我們的常識中，無窮小是無限逼近於0，兩個無限逼近於0的數字之比是什麼意思呢？牛頓認為這是有意義的，「無窮小的速度變化」除以「無窮小的時間」等於加速度，由此就引申出了力的概念。自此以後，一個由幾何解釋的數學世界，就拓展為一個由力學解釋的世界，後者的結構仍然是和《幾何原本》一樣的公理系統。

正是《幾何原本》示範的存在，可以幫助我們理解牛頓的理論建構為何總是遵循如下三種方法：第一，數學上主要應用以幾何學為基礎的「綜合法」，而非他發明的「流數法」；第二，應用大量最新實測數據，包括他自己所做實驗的結果；第三，作為「實驗哲學」，是從基本原理出發，經過數學推理，應用於所有能夠處理的現象，但所得結果必須全部與實測結果相符合，基本原理才得以建立。換言之，牛頓的「流數法」只是在《幾何原本》的公理結構中加入一個新的假定——無窮小除無窮小，以此來歸納實驗結果，然後再通過近似於《幾何原本》的推導方法來推出行星軌道和拋射體的運動規律，進而得出可以和實驗結果進行比較的結論。

然而，在牛頓那個時代，「流數法」是有問題的。關鍵在於無窮小的量是否等於零。無論答案是肯定還是否定，都會導致矛盾。也正因如此，牛頓的時代是數學大革命的時代，也是數學面臨危機的時代，我稱之為第二次數學危機。事實上，牛頓在建立「流數法」之後，遲遲不願發表，也沒在其《自然哲學的數學原理》中全面應用。這很大程度上是因為他深感「無窮小」等概念難以明確界定。1676年，牛頓在撰寫第三部介紹微積分的專著時，也避免使用「無窮小量」，而代之以「初始增量的最初比」和「漸趨於零的增量的最終比」。然而，已經消失的兩個增量之間會有比嗎？牛頓依舊沒能給出一個清晰的定義。因此，雖然牛頓的《自然哲學的數學原理》在那個時代暴得大名，但上述問題歷來是遭受攻擊的，英國哲學家喬治·貝克萊就是牛頓數學批判者中的典型代表。

直到19世紀20年代，才有數學家開始關注微積分的嚴格基礎：捷克數學家波爾查諾給出了連續性的正確定義；挪威數學家阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；法國數學家柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式，他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，並且定義了導數和積分；德國數學家狄利克雷給出了函數的現代定義。換言之，雖然牛頓沒能解決「流數法」運用中「無窮小」界定的問題，但他為影響更廣泛的新科學革命奠定了基礎。這裡我們看到，牛頓時代的數學面臨的挑戰和發現不可測比線段帶來的挑戰一樣，二者的發生都導致數學真實的大擴張，其解決都用了幾百年。

牛頓力學的出現雖意味著數學真實從過去的科學經驗真實觀中跳出來，去接近科學真實，但實際上它是數學真實和科學經驗真實的混合物。而且牛頓三定律很容易被認為是科學經驗真實，速度、加速度、力和質量更是被等同於科學經驗真實，這樣一來，整個被解放出來的數學真實很容易就再一次被想像成科學經驗真實（客觀存在的真實）中。牛頓的絕對時空觀正是這種新科學經驗真實觀念的典型代表。對速度、加速度、力或者質量的測量都發生在特定的時空之中。通常人們都是通過自身對物體的感知來認識時間和空間的，牛頓認為這會帶來一定的偏見。為了消除這些偏見，他將對時空的度量分為絕對的和相對的、真實的和表面的、數學的和普遍的，而「絕對的、真實的和數學的時間，它自身以及它自己的本性與任何外在的東西無關，它均一地流動」，「絕對的空間，它自己的本性與任何外在的東西無關，總保持相似且不動」。表面上看，牛頓對絕對時空的定義是形上學的，似乎代表了一種形上學的科學經驗真實觀。實則不然，絕對時空觀是為了給物理學（力學）提供一個公理基礎，在此基礎上，「度量」在經典力學之中才是可能的。對時間與空間的測量也成為現代物理學的核心之一，一直延續到量子力學的研究中。

隨著牛頓力學（包括絕對時空觀）的建立，一種新的物質世界觀成熟了，數學變成了研究數量和空間的學問。從此，客觀存在的科學經驗真實觀起源，至今還支配著我們對真實的認識。這就是從啟蒙運動至今真實觀演變的歷史，亦是真實心靈一步步解體的過程。

本文整理自《消失的真實》 金觀濤著 中信出版集團 2022.3

知名學者、思想家金觀濤新作

直面當下危機，重新梳理20世紀以來的哲學和科學發展

喚醒哲學思考，在後真相時代，找回現代人的真實價值和意義

《消失的真實：現代社會的思想困境》

作者：金觀濤

定價：88元

出版時間：2022年3月

出版社：中信出版集團

【內容簡介】

近年在新冠疫情的衝擊下，世界越發動盪，區域衝突加劇，經濟萎靡不振，迷茫與失序感充斥於公眾情緒中。經濟持續下行的壓力急需尋找出口，以致許多人似乎忘記了戰爭的教訓，心態倒退回19世紀，變為民族主義和反全球化的擁躉。這個世界到底怎麼了？也許我們應該意識到，現實層面的危機與思想層面的困頓是一對孿生兄弟，其背後是現代社會價值基礎的混亂和人文精神的衰落。

何為人文精神的衰落？繁榮的物質文明，前所未有的科學革命使大量的知識、數據、信息涌動於普通現代人的日常生活，我們沉醉於虛擬體驗，寄希望於科技發展帶來秩序的革新和社會的持續繁榮，卻無法規避後真相時代的人心浮躁、意義喪失、真假不分。我們缺乏對現代科學的宏觀理解，虛浮於技術帶來的狂歡，放棄了思考，因此陷入無可避免的現代性危機。

為了回應這一問題，本書提出了「真實性哲學」的概念，詳細剖解了 20世紀的三場革命——全球化的興起、科學革命、哲學的語言學轉向，嘗試從歷史的角度分析技術發達的現代社會如何陷入了今天的困境，探索現代社會中科學和人文分離的本質。我們需要喚醒哲學思考，通過明確什麼是科學，確立科學的邊界，關照作為現代人真實的價值和意義，重塑 「真實心靈」，在此基礎上，明晰對理想現代社會的追求。

【作者簡介】

金觀濤

金觀濤，生於1947年，現任中國美術學院南山講座教授、香港中文大學中國文化研究所高級名譽研究員。

主要著作有《系統的哲學》《歷史的巨鏡》《軸心文明與現代社會：探索大歷史的結構》。與劉青峰長期合作研究，合著代表作有《興盛與危機：論中國社會超穩定結構》《開放中的變遷：再論中國社會超穩定結構》《中國現代思想的起源：超穩定結構與中國政治文化的演變（第一卷）》《觀念史研究：中國現代重要政治術語的形成》《中國思想史十講（上卷）》。

【編輯推薦】

1.知名學者、思想家金觀濤新作。萬字長序追憶數十年學術生涯，回顧80年代至今的思想變遷。

2.直面當下危機，重新梳理20世紀以來的哲學和科學發展，解析疫情以來經濟持續下行、反全球化情緒高漲，民族主義復興背後現代社會的思想困境。

3. 喚醒哲學思考，在意義喪失、迷惘失序、功利主義盛行的後真相時代，找回現代人的真實價值和意義。

【目錄】

序言：開放社會的理想VII

導論：重建真實的心靈001

第一編| 哲學的童年

第一章超越突破和真實心靈027

從一本暢銷書談起 027

哲學的轉向 034

傳統真實心靈：真善美的統一 040

認知理性的解放 046

第二章現代真實心靈為什麼走向解體051

現代真實心靈及其穩定性 051

啟蒙運動和「大分離」：理性主義的起源 056

經驗主義和懷疑論：實然—應然、事實—價值 061

為什麼韋伯先知先覺 066

「哲學之死」及其迴光返照 070

第三章20 世紀對康德哲學的期待074

公共性喪失和康德的「第三批判」 074

政治哲學基礎的改變：對自然法的再定位 076

《正義論》和文化相對主義 081

新康德主義、新儒學及其他 085

尋找重建現代真實心靈的方法 088

第四章康德哲學的宏偉結構 093

康德哲學誕生的背景 093

「三大批判」的結構 097

哲學的「哥白尼革命」 101

為什麼康德能夠製造「曠世奇蹟」 106

第五章先驗觀念論的錯誤和「康德猜想」 112

哲學的「語言學轉向」及其後果 112

形上學「凍土層」的融解 115

數學等於邏輯？120

「康德猜想」：數學符號真實和科學經驗真實同源 122

告別童年：從「康德猜想」再出發 127

第二編| 數學真實和科學真實

第一章《幾何原本》之謎 135

如何證明「康德猜想」 135

科學的自相似性 137

神奇的武功秘籍 141

科學起源於數學真實 145

第二章數學真實的顯現及其命運 150

數學真實的起源 150

不可測比線段的發現 154

柏拉圖的「理型」和數學真實 158

幾何學黃金時代和數理天文學 163

三個演變方向：形上學、《幾何原本》和新柏拉圖主義 166

第三章數學真實被想像成科學經驗真實170

亞里士多德：第一個科學家 170

物理學和形上學 173

幾何推理是否等同於三段論 178

種子與方舟：《幾何原本》和《大彙編》的飄零 183

第四章牛頓力學：《幾何原本》示範的擴大189

否定亞里士多德：數學真實的再一次興起 189

哥白尼的新理論系統 193

經典力學等於「微積分」加「日心說」加「望遠鏡」嗎 197

宇宙的公理化：《幾何原本》示範及其擴大 202

第五章啟蒙運動：客觀世界的誕生210

宇宙模型的改變：從鐘錶到粒子運動 210

真空研究和客觀存在的時空 213

新分類樹和還原論：化學基礎的發現 217

達爾文進化論：生物學的公理化 222

第六章大道之隱228

真實性哲學的十字路口 228

第五公理和非歐幾何 231

解方程、群論和抽象代數 235

集合論和無窮研究 240

進一步的問題：「康德猜想」為什麼成立 243

第三編|「語言學轉向」陰影下的科學哲學

第一章科學和形上學的對立249

科學哲學興起的歷史前提 249

邏輯經驗主義 253

從邏輯推出自然數的失敗 259

批判的理性主義興起 264

第二章迷失在後現代主義的黑森林268

證偽主義科學觀 268

科學史研究：「範式」的發現 273

證偽主義的修正及其他 278

科學哲學的「菲羅克忒忒斯之傷」 284

第三章來自中國的研究290

為什麼要回到20 世紀80 年代 290

客觀存在和受控觀察普遍可重複 296

全稱陳述不能確證嗎 299

受控實驗普遍可重複為真 304

通往數學真實之路 309

第四章科學是什麼313

為什麼現代科學起源於歐幾里得幾何學 313

再論科學發現的邏輯 318

在證偽的背後 322

科學圖像中的不確定性 325

科學革命的終結 328

科學的增長：分形的形成和展開 331

第五章橫跨經驗世界和符號世界的拱橋335

被懸置的主體 335

因果性：對目的論和決定論的超越 338

自然規律和儀器同構 340

再論哲學的「哥白尼革命」 343

真實性哲學的方法論 347

後記351