數學簡史|現代數學在物理學中的應用

現在，我們來談談數學向人類文明的其它結晶（科學）的滲透。先來看物理學，18世紀是數學與經典力學相結合的黃金時代，19世紀數學主要應用於電磁學，產生了劍橋大學數學物理學派，其中最具代表性的成就是麥克斯韋（Maxwell，1831—1879）建立的電磁學方程組，由4個簡潔的偏微分方程組成。據說麥克斯韋最初得到的方程組比較複雜，因為他相信表達物理世界的數學應該是美的，因而推倒重來。

就讀劍橋大學時的麥克斯韋

麥克斯韋是蘇格蘭人，這個流行男子穿格子短裙的民族所產生的偉大發明家按人口比例堪稱世界之最。在麥克斯韋之前有（實用）蒸汽機發明人瓦特（Watt，1736—1819），之後有電話發明人亞歷山大·貝爾（Bell，1847—1922）、胰島素髮明人麥克勞德（Macleod，1876—1935，與人合作）、青黴素髮明人弗萊明（Fleming，1881—1955）、電視發明人貝爾德（Baird，1888—1946）。

此外，還有第一個將經濟理論完整化和系統化的亞當·斯密（Adam Smith，1723—1790）。斯密的代表作《國富論》的中心思想是：看似混亂的自由市場實際上有一種自動調控機制，它傾向於以最合適的數量生產那些社會上最受歡迎和最需要的產品。

愛因斯坦的數學老師閔可夫斯基

進入20世紀以後，數學相繼在相對論、量子力學以及基本粒子等理論物理學領域得到應用。1908年，德國數學家閔可夫斯基提出了空間和時間的四維時空結構R(3,1)，即通過（c為真空中的光速）

為愛因斯坦（Einstein，1879—1955）的狹義相對論（1905）提供了最適用的數學模型，這種結構後來被稱為「閔可夫斯基空間」。有趣的是，閔可夫斯基對他早年的學生愛因斯坦的數學才能卻毫無印象。

有了這個模型以後，愛因斯坦又進一步研究了引力場理論。等到1912年夏天，他已經概括出這一理論的基本原理，可是由於他只會使用一些最簡單的數學工具，甚至微積分的方法也不會用（他自稱那樣會使讀者被驚呆），自然難以提煉出方程來。這個時候愛因斯坦在蘇黎世遇到一位數學家，後者幫助他學會了以黎曼幾何為基礎的微分學，後來他把它叫作「張量分析」。經過三年多的努力，在1915年11月25日發表的一篇論文中，愛因斯坦給出了引力場方程：

其中gμv是度量張量，k為常數。愛因斯坦指出，「有了這個方程，廣義相對論作為一種邏輯結構終於成立了！」

愛因斯坦故居，他在這裡發明了相對論（作者攝於伯爾尼）

值得一提的是，雖然愛因斯坦在1915年創立了廣義相對論，但他的工作成果發表於1916年。巧合的是，幾乎是同時，另一個德國人、數學家希爾伯特沿著另一條道路也得到了上述引力場方程。希爾伯特採用的是公理化方法，同時運用了諾特關於連續群的不變量理論。他向哥廷根科學院提交這篇論文的時間是1915年11月20日，發表論文的時間也比愛因斯坦早了5天。

依照愛因斯坦的廣義相對論，時空整體上是不均勻的，只在微小的區域內例外。在數學上，這個非均勻的時空可以藉助下列的黎曼度量來描述：

廣義相對論的這個數學描述第一次揭示了非歐幾何學的現實意義，也成為歷史上最偉大的數學應用例子之一。可是，與建立萬有引力定律的牛頓相比，愛因斯坦稍顯遜色，因為牛頓力學的數學基礎——微積分是由牛頓自己創立的。

與相對論不同，量子力學與一群物理學家的名字相聯繫。普朗克（Planck，1855—1947）、愛因斯坦、玻爾（Bohr，1855—1962）是開拓者，薛丁格（Schrödinger，1887—1961）、海森堡（Heisenberg，1901—1976）、狄拉克等分別以波動力學、矩陣力學和變換理論的形式建立起量子力學。為了將這些理論融合成統一的體系，需要新的數學理論。希爾伯特使用積分方程等分析工具，馮·諾依曼進一步藉助希爾伯特空間理論，去解決量子力學的特徵值問題，並最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經常出現的無界運算元情形，從而奠定了這門學科的嚴格的數學基礎。

在20世紀下半葉，還有多項物理學的工作需要應用抽象的純粹數學，例如著名的規範場理論和超弦理論。1954年，楊—米爾斯理論的提出揭示了規範不變性可能是自然界中所有4種力（電磁力、引力、強力和弱力）相互作用的共性，這使得已經存在的規範場理論重新引起人們的注意，並試圖用這個理論來統一自然力的相互作用。

結果，數學家們很快發現，統一場論所需要的數學工具——纖維叢微分幾何早就有了，楊—米爾斯方程實際上是一組偏微分方程，對它們的進一步研究也推動了數學的發展。1963年被證明的阿蒂亞—辛格指標定理也在楊—米爾斯理論中獲得重要應用，成為連接純粹數學和理論物理的又一座橋樑，其研究方法涉及分析學、拓撲學、代數幾何、偏微分方程和多複變函數等諸多核心數學分支，因而常被用來論證現代數學的統一性。

超弦理論或弦理論興起於20世紀80年代，它把基本粒子看作一些伸展的一維弦線般的無質量的實體（其長度約為10–33厘米，被稱為普朗克長度），以代替其他理論中所用的在時空中無尺寸的點。這個理論以引力理論、量子力學和粒子相互作用的統一數學描述為目標，成為數學家與物理學家攜手合作的一個最活躍的領域，其中所用到的數學涉及微分拓撲、代數幾何、微分幾何、群論、無窮維代數、複分析和黎曼曲面上的模理論等。可以想像，與它相聯繫的物理學家和數學家不計其數。