讓·布爾甘（Jean Bourgain）是這個時代最具獨創性、最多才多藝的分析學大師之一，他1994年獲菲爾茲獎，2010年獲邵逸夫獎，2017年獲突破獎。數學家陶哲軒曾經走到布爾甘在普林斯頓高等研究院的辦公室門前，卻不敢敲門拜訪，他曾經說，自己的早期工作可概括為：「讀讓的論文，學會他的技巧，嘗試做些改進。」

布爾甘於2018年12月22日去世，他對整個數學學科做了突出貢獻。在第500篇論文發表之際，布爾甘親自選定了要展示的兩個成果，其中一個便是這篇文章要介紹的離散化和積不等式，這是布爾甘在連續統迷宮中探險的成果。在連續與離散的不斷切換中，我們大概可以體會到布爾甘曾經體驗到的、在數學中思想自由飛舞的樂趣。

撰文 | Alexander Gamburd

翻譯 | 唐璐

審校 | 趙世凡

人類心智有兩大迷宮：一個是連續統的構造，另一個是自由的本質，兩者來自同一源頭——無窮。

——馮·萊布尼茨男爵

第二次世界大戰期間，馮·諾依曼在設計核武器時，認識到分析方法不足以完成這項任務，處理連續介質力學方程的唯一方法是將它們離散化。......馮·諾依曼在戰後將精力都用在了這件事情上。

——彼得·拉克斯（Peter Lax）

序 曲

布爾甘男爵，普林斯頓高等研究院（IAS）數學院IBM馮·諾依曼講席教授，是我們這個問題重重的時代最具獨創性、最敏銳、最多才多藝的分析學大師之一，值得我們致以最崇高的敬意。

讓·布爾甘（Jean Bourgain，1954-2018）| 圖片來源：Brigitte Lacombe/Breakthrough Prize 2017

他堅決不肯接受為慶祝他60歲生日召開會議的建議，不過大家還是在他的第500篇論文發表之際舉行了一次聚會——2016年5月21-24日在普林斯頓高等研究院召開了名為「分析學及其影響：讓·布爾甘的成就及其意義」的會議。會議報告展示了布爾甘工作的深度和廣度，以及對整個學科的突出貢獻和深遠影響。布爾甘親自選定了會議海報上展示的兩個成果。閱讀安德烈·納哈莫德（Andrea Nahmod）2016年發表在《美國數學會通報》上的精彩論文可以明顯感受到第一個結果的美和力量。本文則是簡要闡釋第二個成果——離散化和積不等式（discretized sum-product inequality）——的來源、性質和發展。

讓·布爾甘選定的兩個重要公式，下面的被稱為布爾甘離散化和積不等式，也是本文的主題。

按照歷史順序，數學的三大分支是幾何、代數和分析。幾何主要歸功於希臘文明，代數起源於印度-阿拉伯，分析（或微積分）則是由牛頓和萊布尼茨開創，並在現代大放異彩。

——麥可·阿蒂亞爵士

（Sir Michael Atiyah）

《數學欣賞：論數與形》（Von Zahlen und Figuren — On Numbers and Shapes）是一本廣受歡迎的數學科普書的名字，這個書名體現了一種普遍的看法，即數學是代數和幾何的聯姻。托爾斯泰有句名言，「幸福的婚姻都是相似的，不幸的婚姻各有各的不同，」儘管如此，這個幸福的聯姻也並不是沒有矛盾（也許，幸福的婚姻也各有各的不同，二分心智可能就屬於這樣的聯姻）。赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在1939年曾說過，「現如今，拓撲學天使和抽象代數魔鬼正在爭奪每個數學領域的靈魂。」

這種矛盾體現在分析函數生長的沃土——實數系——的兩面性中，就好像古羅馬神話中兩面神的臉朝向兩個不同的方向：一方面，它是對加乘運算封閉的域；另一方面，它是連續的流形，各部分緊密相連，以至於無法彼此精確隔離。實數的一面是代數，另一面是幾何。連分數就是對連續統進行離散化的一種更本質的幾何形式；由於缺乏針對它們的實用加乘算法，從而催生了基於普通（例如十進位）分數的離散化。

讓·布爾甘設計的徽章，2015年7月比利時政府授予了布爾甘男爵頭銜。

牛頓在發明微積分時，主要的出發點是「動力學」（力、加速度），掉落在他頭上的蘋果也體現了這一點；萊布尼茨則似乎對現在被稱為大自然的分形幾何的東西更感興趣。「想像一個圓；在圓裡面畫三個彼此相切且半徑儘可能大的圓；在這其中每個圓中，以及它們之間的每個空隙中，繼續畫圓，想像這個過程無限繼續下去。」萊布尼茨所說的四圓相切的構造也出現在了布爾甘的男爵徽章上。萊布尼茨將直線定義為「曲線，其任何部分都與整體相似，並且這種性質不僅體現在曲線之間，也體現在集合之間」，這反映了連續統的分形特性：康托集*就符合萊布尼茨的定義。^[1]

*康托集由不斷去掉線段的中間三分之一而得出，即首先從區間[0,1]中去掉中間的三分之一，然後在留下的線段[0,1/3] ∪ [2/3,1] 各去掉中間的三分之一，如此直至無窮。

古希臘幾何學家阿波羅尼烏斯（Apollonius）曾斷言，給定3個彼此相切的圓，恰好會有兩個圓與它們都相切；給定4個彼此相切的圓，則可以構造4個新的圓，使得每個圓與原來的其中3個圓相切。如此重複直到無窮，就可以得到無限圓堆積（Infinite circle packing）。而如果最初給定的4個圓的曲率為整數，那麼所有的堆積圓都將具有整數曲率，從而形成整數阿波羅尼烏斯堆積（Integral Apollonian packing）。這也是離散化和積不等式的一個應用 | 圖片來源：Alexander Gamburd

從廣義上說，動力學可以被認為是對變化的研究，變化所處的基本（物理）背景是時間。康托集和連續統則與時間無關，即在時間中處於靜態，但是「從某種觀察角度上」它們也存在一種（幾乎）「同樣基本的」變化，即以改變放大比例和「縮放」的形式表現的變化。布爾甘對離散化和積不等式的證明的「多尺度」特徵就體現了這一點。

在序曲結束的時候，順便指出一下，布爾甘選擇的兩個成果都不是等式，而是不等式，並作如下評論：

如果說代數通常被認為是對等式的研究，則分析的核心也許可以認為是不等式或估計，是比較兩個量或式子的大小。愛因斯坦發現沒有什麼的速度能比光速更快，就是不等式的例子。不等式「2^^X遠大於X」可以說巧妙地涵蓋了P與NP問題*（對於有限的X來說是如此）和康托連續統問題**（將X視為第一個無窮基數）。中學就學過的一個初等不等式斷言，兩個正數的算術平均值絕不會小於它們的幾何平均值。在這兩個極值之間，有各種各樣重要的估計值。這些估計值體現和量化了底層問題的一些微妙方面，往往很難證明。後面我們將看到，對於離散化和積不等式，這種底層問題是連續統的代數性質和（分形）幾何性質之間的矛盾的核心。分形（fractal）一詞源自拉丁語fractus，意思是破碎分解；代數（algebra）源自阿拉伯語al-jabr，意思是破碎的部分重新結合。

*P與NP問題中的P是指能夠用算法在多項式時間（Polynomial time）內解決的問題，NP則指那些無法快速解決，但如果提供了一個答案，能夠用算法在多項式時間內驗證的問題。P與NP問題問的是，P=NP是否成立，即一個能夠在多項式時間內驗證的問題是否也能在多項式時間內解決。

** 連續統假設由康托提出，是說在自然數基數與實數基數之間不存在其他基數，實數的基數嚴格大於自然數的基數。

1 起源：掛谷-貝西科維奇問題（Kakeya-Besicovitch Problem）

希爾伯特有一句廣為人知的名言：「如果你能向在街上遇到的第一個人解釋清楚一個數學問題，這個問題就很好。」如果讓掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1917年，大戰正如火如荼，他在一個島國寫了一篇論文）來向隨便一條街上的某個人解釋這個現在以他的名字命名的問題，可能會是這樣：

讓你負責防衛一個島嶼，島上有崎嶇陡峭的山峰，你的任務是以最低的財政支出在平坦的山頂購買一塊土地，並且這塊地要具有以下屬性：讓一門長度為1的大炮能指向任何方向。

一個明顯的解是，直徑為1、面積為π/4的圓。掛谷宗一給出了一個解，面積是這個明顯解的一半。他提出的解是三尖內擺線，內切直徑為1/2的圓。同年，在彼爾姆（1940-1957年間改名為莫洛托夫；現在還是彼爾姆），十月、十一月間的俄國/蘇聯革命期間，貝西科維奇（A. S. Besicovitch）將面積上限減少到了幾乎為零。

雖然平面（二維空間）中的掛谷集的測度為零，但它的分形維數為2。^[2]有一個基本猜想是，在高維空間中，同樣的現象也成立：例如，三維空間中包含指向所有方向的線的集合具有分形維數3。這個猜想是調和分析中許多問題的核心，一直是我們這個時代一些最傑出的分析學家深入研究的主題，布爾甘在1999年取得了重大突破，他將掛谷問題與算術組合聯繫起來（譯註：和積不等式在2004年布爾甘與Nets Katz、陶哲軒合著的研究掛谷問題的論文中給出）。

2 和積現象和連續統迷宮

算術組合中的一個基本結果是「和積現象（sum-product phenomenon）」，其基本性質可以簡單描述如下。當研究從1到9的數字的加法和乘法表時，人們可能會注意到乘法表中的數字更多。大致來說，這與從1到9的數字構成算術級數的事實有關。如果你將一個構成算術級數的集合（或它的子集）與其自身相加，它不會增長太多；如果你將一個構成幾何級數的集合（或它的子集）與其自身相乘，它也不會增長太多。然而，整數的子集不能既是算術級數又是幾何級數，所以它在與自身相乘或相加時都會增長。這可以表示為命題|Α + Α | + |Α∙Α| ≥ |Α|^^1+τ對任何有窮實數集都成立；其中|Α|度量集合的大小，即集合中元素的數量。

布爾甘離散化和積不等式N (Α + Α, δ) + N (Α∙ Α, δ) > N (Α, δ)^^1+τ處理的是連續統的無窮子集，式中用「測度熵（metric entropy）」N (Α, δ)度量集合的大小，測度熵是覆蓋Α所需的直徑為δ的球的最少數量。簡單說，這個不等式說的是，對於連續統的任意子集，在溫和的假設條件下，當它與自身相乘或相加時，分形維數會隨之增長。

3 擴展主題中的的離散和連續變化

擴展圖（Expander）是計算機科學中廣泛使用的高度連通稀疏圖。高連通性對通信網絡顯然很重要。而最容易理解稀疏性必要性的場景也許是大腦神經網絡：由於軸突要占據一定的體積，因此軸突的總長度不可能超過大腦的平均容積與軸突橫截面積之比。事實上，這就是展開圖首次隱含出現在巴爾茨丁（Y.M. Barzdin）和柯爾莫戈洛夫（A. N. Kolmogorov）1967年的論文中的背景。^[3]

現在，基本上有兩種構建數學結構的原材料來源：隨機性和數論。隨機正則圖很早就被發現是擴展圖。最優擴展圖的顯式構造——拉馬努金圖（Ramanujan graph）——使用了自守形式理論中堅深的數論結果，將擴展圖構造為群的凱萊圖（Cayley graph）^[4]，其中涉及一些很特殊的生成器選擇。

具有80個頂點的富勒烯（C-80）及其立方圖（左）。在圖論中，正則圖是每個頂點都具有相同數目鄰居的圖，即每個頂點的度相同。而每個頂點的度數均為3的正則圖被稱為立方圖。

擴展圖是高度連通的稀疏圖，它一方面具有高度連通的特性，另一方面又是稀疏的。擴展圖的拓展係數反映了其連通性，例如圖中陰影部分的子集的擴展係數為1/4。

凱萊圖是編碼群的抽象結構的圖。一個群相對於一個固定生成器的凱萊圖，其頂點是群的元素，而一個元素的鄰居是通過與所有生成器相乘來確定的。| 圖片來源：Alexander Gamburd

當我1994年剛開始攻讀博士學位時出現的一個基本問題是，這種擴展在多大程度上只是群本身的屬性，與生成器的選擇無關。我對這個問題著了迷，在彼得·薩納克的指導下，我在1999年的博士論文中取得了部分進展。2005年秋，我與布爾甘合作引入了一些剛發展出來的與和積現象有關的加性組合學工具（譯註：布爾甘和積不等式），最終針對許多情形解決了這個問題。

尾 奏

向對網際網路已習以為常的人們解釋布爾甘的成就顯著和非凡的意義時，我們可以強調它們在數學物理、計算機科學和密碼學中的應用，這些在現代生活中有巨大的實用價值，尤其是使得網際網路通信成為可能。它們的精妙、美麗和深邃似乎很難用「平常的語言」來表達。此時此刻，也許我們應當提醒自己，網絡新人類雖然裝備了（源自馮·諾依曼的）各種數字設備，但也還是人類，仍然著迷於用Twitter表達簡潔而深邃的洞見：面對著似乎虛幻、不真實的對象（例如實數軸），布爾甘在連續統迷宮的奇幻探險代表了人類心智偉大卓越的成就。

2005年9月，我女兒剛剛出生六個月，我在IAS訪問並參與亞歷克斯·盧博茨基（Alex Lubotzky）主導的「李群、表示和離散數學」項目^[5]時遇到了讓。我不記得確切的日期，但記得時間：當時是凌晨2點至3點之間。在給女兒換尿片後，我睡不著，前往西蒙尼禮堂，遇到了正去圖書館的讓。在迷迷糊糊的狀態下，我壯起膽子和他搭話。到天亮時，這個困擾我長達十年的問題終於在讓的辦公室里土崩瓦解。^[6]

從左到右：亞歷山大·甘博德（Alexander Gamburd）、彼得·薩納克（Peter Sarnak）和讓·布爾甘（Jean Bourgain）

2005-06年是我生命中最快樂的一年，這一年我往返於以赫爾曼·外爾命名的小徑，外爾的觀點是，「數學不是外行人所認為的嚴格和無趣的公式；相反，我們在數學中恰恰站在反映人類自身本質的局限和自由的邊界上。」

本文中描述的布爾甘的大部分工作是在IAS完成的。IAS的徽章是一幅安靜、優雅和古典的裝飾藝術作品，描繪了兩位優雅的年輕女士，一位著衣，一位裸身，站在一棵結了很多果實的樹旁。徽章設計的典故出於濟慈（John Keats）的《希臘古瓮頌》中最後那個著名的對句（譯註：真即是美，美即是真），他的觀點是，「每種藝術的卓越之處在於其強烈性，能夠使所有的令人不悅從與美和真的密切關聯中消失。」

IAS徽章

在這篇文章中，我嘗試捕捉布爾甘藝術的卓越之處，最後讓我們通過引用他在獲得2017年數學科學突破獎（Breakthrough Prize in Mathematical Sciences）時的談話來體會一下他強烈的情感：

當你遇到一個被普遍認為無法解決的問題時，通常你甚至都不知道要到哪裡去尋找答案。處於那種境況下，我們就像傅立葉一樣被困在沙漠中，完全迷失了方向。而一旦你洞悉真相，你就會在突然間逃離沙漠，一切都展現在你面前。這時我們會感到非常興奮。這是最好的時刻。之前費盡心思卻毫無進展的所有痛苦都是值得的。

作者介紹

亞歷山大·甘博德（Alexander Gamburd），IAS數學院成員（2007-08，2005-06），紐約城市大學首席數學教授。

注釋

[1] 萊布尼茨還寫了第一本組合學教科書《組合的藝術》（Dissertatio de arte combinatoria），並發明了二進位記數法，這使得現代計算機成為可能，並將在布爾甘探索迷宮的論證中發揮重要作用。萊布尼茨的第一個作品集在1735年由Rudolf Erich Raspe編輯出版，這位作者後來以《孟喬森男爵的奇幻探險》（Singular Adventures of Baron Munchausen）聞名。

[2] 如果A是曲線，很容易看出N(A, δ)是δ-1階。如果A是曲面，則N(A, δ)近似為δ-2階。這就啟發了將任意集合的分形維數定義為N(A, δ) ~ δ-d中的數字d的想法。

[3] A. N. Kolmogorov & Y. M. Barzdin, On the realization of networks in three-dimensional space, Selected Works of Kolmogorov, vol. 3, Kluwer, Dordrecht, 1993, 194–202[3] PSL2(Fp)在p = 5時與標準生成器相對應的凱萊圖是巴克球（C60）。

[4] https://mathinstitutes.org/highlights/expander-graphs

[5] 布爾甘的日常習慣如下。他會在離餐廳關門不到5分鐘的時候趕到餐廳吃午餐，在下樓時會找人一起用餐（具體找誰主要取決於他們與讓目前正在研究的問題的專業相關性）。午餐後，日落前，他辦公室的門是半開的。晚上9點左右，讓會帶一瓶紅酒（通常是梅多克）去吃晚餐，之後再來一杯雙倍特濃咖啡（通常是在小世界咖啡館），然後回到辦公室，給妻子和兒子打電話，然後快步走一走，繞著愛因斯坦大道走5圈左右。午夜和日出之間，他的辦公室通常都關著門。他手寫的筆記（風格像莫扎特，不像貝多芬）基本不用改，部分原因是在用餐和散步時，他會想好回到辦公室後寫些什麼。

本文翻譯自IAS，原文標題為「Singular Adventures of Baron Bourgain in the Labyrinth of the Continuum」。點擊左下角「閱讀原文」可查閱原文。

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