三百多年來，費馬大定理吸引了無數數學家，最終由英國數學家安德魯·懷爾斯在1993年給出證明（後因發現缺陷於1995年給出完整證明）。這個最初因「業餘」數學家費馬在《算術》空白處標註的問題，開闢了數學更深的領域。現在，讓我們再回到那個激動人心的時刻。
撰文 | Marianne Freiberger、Rachel Thomas
翻譯 | 小聰
審校 | 深淺
「我想就停在這裡吧。」就這樣在1993年6月23日，安德魯·懷爾斯結束了他的系列講座，報告廳里頓時掌聲雷動。懷爾斯剛剛宣布他證明了一個困擾了數學家350年的難題：費馬大定理的證明。
潦草的批註
費馬大定理的形式為：
其中n是自然數。那麼是否存在非零自然數x, y, z滿足這個方程？當n=2時答案是肯定的，事實上存在無窮個這樣的三元組，稱為勾股數，因為這樣的數組滿足直角三角形的勾股定理。
17世紀的數學家皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）認為，當指數n>2的時候上述方程不存在整數解。1637年他在一本數學書的空白處寫道，他找到了一種極好的證明方法，可惜頁邊太窄了寫不下。這些潦草的標註嘲弄了數學家很長時間——懷爾斯就是其中之一。
「我第一次看到費馬大定理是在一本書的封面上，當時我大概十歲。」懷爾斯說道，現在他是牛津大學數學系的教授。「我被這個問題背後浪漫的故事吸引住了，所以我在少年時期，甚至在大學裡花了很長時間嘗試解決它。但是當我成為一名專業數學家之後，我意識到不應該把這件事當成一個工作，因為可能得不到任何結果。」
然而，在20世紀80年代中期，數學家弗雷 (Gerhard Frey)、塞爾 (Jean-Pierre Serre) 和里貝特 (Ken Ribet) 的工作提供了一種解決費馬大定理的新方法。這種方法表明，如果你能證明另一個被稱為模猜想 (也被稱為谷山-志村-韋爾猜想) 的命題，那麼你也就自動證明了費馬大定理。
「第一次聽到這個消息時我是持懷疑態度的，但是當里貝特證明了二者之間的聯繫的時候，我完全被吸引住了，我立刻放下一切事情，直接轉向對費馬大定理的研究。」懷爾斯說道。他獨自一人默默無聞地研究這個問題長達七年時間，這對數學家來說是很不尋常的。「很少有人願意在一個問題上花費這麼長時間，真正致力於解決一個問題需要一定的個性。剛開始我還會稍微提一下我在做的事情，但是後來我發現，當我說我在做這件事的時候會得到很多意想不到的關注，就很難保持平靜，因此我覺得不動聲色地做這件事是更明智的。」
激動人心的氛圍
懷爾斯最終證明了模塊化猜想，在足夠普適的假定下證明費馬大定理也是正確的。1993年6月23日，他公開了他的證明。他是在一系列會議結束時公布的，沒有人知道這是他特意準備的。
來自劍橋大學的科爾納 (Tom Körner) 有幸參與了這次報告，他說道，「各種消息不脛而走，我不知道人們是真的知道，或者僅僅是猜測。因此我問安德魯的學生如果我錯過這場報告，我是否會感到遺憾，他回答，是的。現場的氣氛太令人激動了。」
「在報告的最後，安德魯寫下了費馬大定理的內容，並表明了他所做的工作足以證明它。現場響起了熱烈的掌聲。然後專家們站起來提出了問題，這些問題表明，儘管證明的細節還有待徹底核實，但這是一種非常合理的解決問題的方法。這也是一種新方法。所以無論成功與否，它都為數學增添了大量內容。」
懷爾斯回憶說：「一方面，我對展示 (結果) 感到非常激動，但另一方面，第一次(分享我的工作)總是會感到緊張。你已經思考這個問題 (很長時間) 了，很多都是你自己想的，所以你希望你沒有犯簡單的錯誤。我知道人們想知道細節，但他們至少可以看到這是一種全新的方法，它將證明很多東西——儘管它的細節還有待核實。」
事實證明對細節的要求是有意義的：原來的證明中有一個漏洞，懷爾斯和數學家理察·泰勒 (Richard Taylor，懷爾斯以前在普林斯頓大學的博士生) 花了將近一年的時間來修復這個漏洞。但最終，在1994年，由一本書頁邊空白處潦草的注釋所引發的歷經幾個世紀的問題終於得到了解決。
數學的未來
你可能會認為，當一個歷時很久的問題最終得到解決時，數學領域的一扇大門也就隨之關閉了。但這種情況很少發生，因為解決一個問題常常會引出一系列新的問題。懷爾斯說，費馬大定理在過去引發了兩個時期的巨大進步: 一個是在19世紀，在試圖證明費馬大定理的過程中奠定了懷爾斯在數學領域的基礎，另一個是在20世紀80年代，懷爾斯最終證明了費馬大定理。
懷爾斯說，這個證明本身開創了一個新的領域，「它在模塊化處理方面打開了另一扇門，這些模塊化處理的問題本身開闢了一個新的領域，叫做朗蘭茲綱領（Langlands programme）——這就是數學的未來。」
即使是向專業的人解釋朗蘭茲綱領也很難，只能說它是由羅伯特·朗蘭茲在20世紀60年代提出的一系列影響深遠的猜想組成的，這些猜想建立了不同數學領域之間極其驚人的聯繫。許多人認為證明所有這些猜想是現代數學最偉大的工程。
朗蘭茲綱領吸引了數學領域一些最頂尖的頭腦，來自劍橋大學的索恩就是其中之一。當年懷爾斯宣布費馬大定理的證明時，索恩只有6歲，後來在他做數學A級考試的時候對這個結果產生了興趣。
「我發現這很有趣，因為做A級數學可以學習如何做一些特定類型的計算，比如怎麼平衡一根棒兩端的小球之類的。」索恩說，「但是這是我第一次發現一個人類的故事和一個數學問題聯繫在一起，這不是一個人的故事，而是幾個世紀以來人們都互相討論的故事。」
儘管很年輕，但是索恩已經是他所在領域的一個專家。他獲得了很多獎勵，包括很有聲望的數學新視野獎，2020年，索恩當選英國皇家學會最年輕的會員。索恩從事朗蘭茲綱領的研究，尤其是在數論和模型式的關聯方面。他解釋說：「這是兩個世界，從先驗的角度來看，我們不清楚他們是否有關聯，但是他們以一種神秘的方式聯繫在一起，就像有一根隱藏的電話線。」
朗蘭茲綱領提供了解決數論問題的新工具，索恩使用這些工具來考慮類似於費馬大定理的方程，但更一般一些：不要求方程中所有的係數都是整數。你可以思考一下如果係數來自更大的數域，例如包含無理數√2的數域，結果會是什麼？索恩說，對於某些類似的方程，該理論可以很好地推廣，但要進一步推動這一領域，還需要做很多工作。懷爾斯也認為，利用朗蘭茲綱領提供的工具，將我們的算法理論擴展到更一般的數域，是未來最重要的挑戰之一。
因此，雖然懷爾斯的證明解決了一個簡單到連高中生都能理解的問題，但它打開了一扇通往一個新的更深數學領域的大門，這個領域在未來十年左右會有驚人的進展，而像索恩這樣的數學家很可能在其中發揮引領作用。
關鍵的時刻
30年前的那一刻顯然是懷爾斯職業生涯的轉折點。他是為數不多的在數學之外很有知名度的數學家之一，並於2000年被授予爵士爵位。在數學領域，他獲得了許多榮譽和獎項，包括2016年享有盛譽的阿貝爾獎。
我很高興能和這些數學家們一起重溫這一刻，聽他們講述人類的故事，同時也是數學的故事。早在2016年，懷爾斯就告訴我們，數學家必須具備的一些個人品質——他們必須有創造力，必須能夠坦然接受工作中遇到的瓶頸。當我們為這篇文章採訪他時，永不言棄的精神再次成為這個故事的主線。我們的最後一個問題是，假如在90年代初沒有找到費馬大定理的解，他是否還會繼續研究下去。他的回答是典型的他研究數學的風格：「我不是一個輕言放棄的人。」
本文轉載自微信公眾號「中科院物理所」，本文基於Plus編輯Marianne Freiberger和Rachel Thomas對Tom Körner、Jack Thorne 和Andrew Wiles的採訪，他們感謝艾薩克·牛頓研究所（Isaac Newton Institute）Dan Aspel對採訪的幫助。原題目為《那個費馬寫不下的證明後來怎麼樣了？》，編輯：藏痴。
原文連結：
https://plus.maths.org/content/very-old-problem-turns-30
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