You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.
——當代大數學家Mikhail Gromov
撰文 | 林開亮
也許歷史上第一個將錢直接與數學掛鉤的數學家是古希臘數學家歐幾里得。據說，曾經有個年輕人跟隨歐幾里得學習幾何，當他學完第一個命題以後就問老師，學習這些東西有什麼用。歐幾里得懶得理他，叫來僕人，囑咐道：
給他三毛錢，打發他滾蛋！
在今日之中國，與這個古希臘年輕人抱有同樣想法的，也大有人在（真是陰魂不散呀！）。甚至類似的情景也一度再現，我就親見微信群里發生這樣一幕，有人拿出一個題目請大家討論，下面有人就說「這題目做出來有什麼用」，於是出題人立即發了一個紅包。在我看來，其用意與歐幾里得如出一轍：請你閉嘴！
也許很多人深信司馬遷在《史記》里的一句話「天下熙熙，皆為利來；天下攘攘，皆為利往」，但凡做點什麼事情，都先想著是否能得到某些實際的好處。對於許多喜愛學問的人而言，他們從做學問中所享受到的快樂就是無窮的財富，而且遠非物質財富可以比擬。
當然，錢財雖然是身外之物，但對大多數人而言，終究是一個實實在在的誘惑。而且，再聰明厲害的人，可能也有他迫切想要解決但自己一時又無法攻克的問題。於是就誕生了五花八門的有獎懸賞問題。這樣的問題往往是公開的，一旦有人解決了問題，就會得到提問者許諾的獎金或獎品。
當今數學界最有名的有獎懸賞問題乃「百萬大獎問題」（Millennium Prize Problems），由美國 Clay 數學研究所在 2000 年提出，這個清單中有七個懸賞問題，每個懸賞 100 萬美元。可以想見，這些問題都是大問題，不適合在這篇小文章中介紹，有興趣的讀者可以參考下書。
其實更多的懸賞問題是由數學家個體而不是研究機構提出的。例如，葛立恆教授曾提到，對下述問題懸賞 1000 美元。
對此有興趣的讀者還可以參見數學家 R. K. Guy（1916年出生，9 月底就要滿 103 歲）的《數論中未解決的問題》B.33 節 (中譯本第 115 頁)。這書中 F.15 節(中譯本第 327 頁) 還提到了葛立恆的下述問題：
這個問題由葛立恆 1970 年在《美國數學月刊》上提出，直到 26 年以後，才由 Balasubramanian 和Soundararajan 給出完整解決（答案是肯定的），他們的論文[1]近 40 頁。2018 年, B. Bosek 等將上述猜想推廣為一個圖論結果，有興趣的讀者可以讀讀這篇不足 4 頁的短文[2]：Graph coloring and Graham’s greatest common divisor problem, Discrete Mathematics,Volume 341, Issue 3, March 2018, Pages 781-785.
葛立恆的好友、匈牙利數學家 Paul Erdős (1913–1996) ，以提出懸賞問題而著稱。例如，他有以下一個懸賞3000 美元的問題：
Selfridge, Wagstaff 和 Pomerance 為下述問題提供了 620 美元獎金：
雖然 John Selfridge (1927–2010) 已經過世，但懸賞仍然有效，有興趣的讀者可參見 John Selfridge 的wikipedia 條目。關於本題的背景，可參見前面提到的《數論中未解決的問題》A.12 節 (中譯本第 40 頁)。
下述問題由 Anatole Katok (1944–2018) 懸賞 10000 歐元，考慮到只有極少數人明白其含義，我們就直接引用原文了：
有興趣的讀者可參見 A. Zorich 的綜述文章Flat surfaces第 13 頁[3]。
在中國，也有一位數學家提出了許多懸賞問題，他就是南京大學數學系的孫智偉教授。他在其主頁[4]公布了幾百個猜想，涉及數論、組合、行列式等，以下我們選取幾個有代表性的分享給讀者。
該猜想已經對 2×10^10 以內的 n 驗證。孫智偉教授對此猜想懸賞 3500 美元。注意，3 與 5 恰好是後面兩項的底數。
Giovanni Resta 驗證該猜想對 10^10 以內的 n 成立。孫智偉教授對此猜想懸賞 2500 美元。
Yaakov Baruch 驗證該猜想對 2×10^12 以內的 n 成立。孫智偉教授對此猜想懸賞 2468 美元。
侯慶虎對 10^10 的 n 驗證了這一猜想。孫智偉教授懸賞 2400 美元。一個類似的猜想如下：
侯慶虎對 10^10 的 n 驗證了這一猜想。孫智偉教授懸賞 1350 美元。
孫智偉教授證明了 x, y, z 可以取為整數。他對此猜想懸賞 135 美元。
孫智偉教授對此猜想以及一個平行猜想共懸賞 500美元。
孫智偉教授還有一個可能超越人類解決能力的猜想（2013年提出，未懸賞），如下：
以上猜想是關於整數或分數的特殊表示的，下面還有一個與圓周率 π 相關的無窮級數的猜想。
孫智偉教授 2011 年提出上述猜想，共懸賞 300 美元。目前孫教授正在寫一本書《數論與組合中的新猜想》，今年年底交稿，將由哈工大出版社出版。對以上這些猜想有興趣的讀者，可瀏覽孫教授的主頁，其中包含更多的信息。網上也可以搜到其他一些相關的信息，例如這篇論文[5]解決了孫教授的一個懸賞 520 美元的猜想。
當然，大多數公開的數學問題都是沒有懸賞的，懸賞更多的是為了引起部分人的關注，並表達對解答者的一個鼓勵。現如今，微信交流群與公眾號中也有不少人發布數學問題征解，推動並加快了數學的交流。一個精彩的互動案例由三峽大學信號與信息處理重點實驗室王仕奎教授與美國伯克利實驗室的邵美悅博士提供。
據王教授告知，他們後來又進一步討論其他問題，併合作發表論文《線性相位 FIR 濾波器的充分必要條件》，將現有教科書上的一個細節進行了嚴密化。由此可見，交流互動何其有益！
在「許康華競賽優學」公眾號，還有許多懸賞問題，有很多都已經獲得解決，不過仍然有一些懸而未決，以下是一些代表：
此問題由山西大學附屬中學王永喜老師征解，懸賞500 元人民幣。王永喜老師還有另外一個征解問題:
其中 det 表示行列式。王老師對此問題懸賞 200 元人民幣。
下述問題由美國伯克利實驗室的邵美悅博士征解（無懸賞），注意與之類似的一個問題已經為駱來根解決。
以下四個問題由杭州許康華老師征解，其中第 9 題
懸賞 200 元人民幣，第 10-12 題各懸賞 300 元人民幣。
我還想說明兩點：
第一，本文介紹了部分懸賞問題，也許重賞之下必有勇夫，為了獎金而有志於解決這些問題的朋友，請你一定先找提問者（不是我）確認問題的現狀以及許諾是否有效。此外，即便有些人是為了榮耀而去思考這些問題，我也不能確認這裡介紹的一些問題是否是真正的好問題，因為當代大數學家Mikhail Gromov 曾說：You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.
第二，我還是建議對數學有興趣的朋友，多去思考自己有感覺的問題，這樣收穫可能更大些。我們的本意是讓大家了解到，數學中一直有不少尚未解決的問題。如果你也有一個很關心的難題，能自己想出來當然最好，如果一直束手無策，可以考慮拿出來分享乃至懸賞征解。例如，您可考慮投稿「許康華競賽優學」公眾號，這裡臥虎藏龍，說不定就有解決可能乃至合作機會。就我個人而言，我有個小問題願意懸賞 500 元人民幣給第一個在《數學傳播》發表其解答的作者 (允許合作，所有作者獎金之和是 500 元[6] )，該問題如下：
現有結果表明，當 z1 , . . . , z5 (1和5為下標)滿足一定條件時，命題成立。如果要問我個人的意見，我傾向於相信它是對的。
電影《東邪西毒》劇照
最後，我想說明一下我個人懸賞的動機。主要是希望看到這個問題如何被解決，我曾經解決了四個點z1 , z2 , z3 , z4 （1234皆為下標）情形下的對應問題，可是方法未能推廣到五個點的情形，這讓我很沒轍。之所以要求解答者在《數學傳播》發表，有兩個原因：第一，本人未必有足夠的時間和精力來判斷可能的解答是否正確；第二，我想通過這種方式表達對《數學傳播》的支持，我與該刊已有十年交往，讀稿與投稿都令我受益良多。7其實，獎金的誘惑遠遠趕不上在《數學傳播》發表一篇有趣文章所帶來的喜悅。我希望，不多久就能在《數學傳播》上看到這樣一篇漂亮文章。
致謝：感謝南京大學孫智偉教授、三峽大學王仕奎教授、吉安市吉水縣阜田中學孫志躍老師、山西大學附屬中學王永喜老師、杭州許康華老師、美國伯克利實驗室邵美悅博士對作者提供幫助。作者還參考了 mathoverflow 論壇上的討論。
腳註
[1]http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7511.pdf
[2]https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0012365X17303898
[3]https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf
[4]http://maths.nju.edu.cn/~zwsun/
[5]http://arminstraub.com/downloads/pub/sun520.pdf
[6]極有可能, 作者將從《數學傳播》獲得的稿酬都比這裡的懸賞要多.
[7]原文就發表於《數學傳播》，見林開亮，Mordell的一個問題，《數學傳播》，第 35 卷第 2 期（2011 年），51–58.
HTML格式：
https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=35205
PDF：
https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d352/35205.pdf
本文經授權轉載自「好玩的數學」。
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