在二十世紀前三十年的物理學革命里，人們一向認為，量子理論的發現必定會以這種或那種的方式出現，狹義相對論的問世也是水到渠成的事情，而只有廣義相對論則是除愛因斯坦以外，在很長很長時間內都不會有人能提出。

廣義相對論一向被認為幾乎是愛因斯坦「一個人的戰鬥」，沒有愛因斯坦就沒有廣義相對論。然而事實上，在愛因斯坦研究廣義相對論已經進入第九個年頭，仍然為得到廣義相對論場方程而苦苦掙扎時，數學家希爾伯特也涉獵了這一領域，從而與愛因斯坦展開了一場無形的競爭。關於希爾伯特與愛因斯坦究竟誰先得到廣義相對論場方程，美國物理學家派斯（A. Pais）在他著名的愛因斯坦傳記《上帝是微妙的》里表示：基本方程式的發現應同時歸功於愛因斯坦和希爾伯特。

那麼，這場物理學家與數學家之間的競爭，究竟誰先抵達？今天的文章就講述了廣義相對論發展史上這段關於優先權的插曲。

提示：本篇為盧昌海博士於2019年7月28日在「第九屆全國數學文化論壇學術會議」上所作同題邀請報告的演講稿。

撰文 | 盧昌海

一 引 言

到這裡來作報告心裡是有些忐忑的，因為我並不是數學家。因此，當初收到湯濤老師通過微信發來的會議邀請時，我的第一反應是：湯老師點錯名字了。雖然後來知道並非點錯名字，但還是覺得，在這裡談數學太班門弄斧，於是就選了現在這個題目：希爾伯特與廣義相對論場方程。這是廣義相對論發展史上的一段插曲——一段關於優先權的插曲。

這段小插曲涉及的人物有兩位，一位是數學家希爾伯特（D. Hilbert），一位是物理學家愛因斯坦（A. Einstein）。

希爾伯特與愛因斯坦

在愛因斯坦對物理學的諸多貢獻中，廣義相對論一向被認為是最沒有競爭對手的。如果我們把視野放寬一點，那麼在二十世紀前三十年的那場物理學革命里，主要有三個理論：量子理論、狹義相對論和廣義相對論。這三個理論的創立過程如果用最簡單的話來概括，那麼量子理論可以說是「群雄並起、共襄盛舉」，狹義相對論是「水到渠成、瓜熟蒂落」，而廣義相對論，則除了一度得到過愛因斯坦的老同學格羅斯曼的協助外，幾乎是愛因斯坦「一個人的戰鬥」，是沒有愛因斯坦就沒有廣義相對論。這不僅是多數物理學家和科學史學家的共識，也是愛因斯坦本人的看法。

比如美國物理學家奧本海默（J. Robert Oppenheimer）在紀念愛因斯坦逝世十周年時所撰的文章里曾經這樣寫道：

量子的發現必定會以這種或那種的方式出現……對沒有任何信號能運動得比光更快的含義的深刻理解也必定會出現……廣義相對論則除他以外，在很長很長時間內都不會有人能提出。

愛因斯坦晚年的合作者，波蘭物理學家英菲爾德（L. Infeld）則在愛因斯坦傳記里記敘過他與愛因斯坦的一段對話。英菲爾德這樣寫道：

我曾對愛因斯坦說：「無論您是否提出，我相信狹義相對論的問世都不會有什麼延誤，因為時機已經成熟了。」愛因斯坦回答說：「是的，這沒錯，但廣義相對論的情形不是這樣，我懷疑直到現在也未必會有人提出。

這樣一場「一個人的戰鬥」，從優先權的角度講，照說是不該有什麼懸念的，其實卻不然。因為在愛因斯坦創立廣義相對論的最後幾個月的時間裡，希爾伯特也涉獵了這一領域，從而與愛因斯坦之間展開了一場無形的競爭。

希爾伯特涉獵廣義相對論研究並非心血來潮，而是他對物理的長期興趣使然。在希爾伯特的學術軌跡中，與物理學之間存在著一系列交疊，比如：

1900年，希爾伯特在題為「數學問題」的著名演講中，將物理學的公理化列入了「希爾伯特第六問題」；

1902年，希爾伯特開始講授物理學；

1912年，希爾伯特設立物理學助手職位，並招收了理論物理研究生；同一年，希爾伯特與愛因斯坦互贈了著作——當時的愛因斯坦離開專利局才不過幾年，知名度可以說還主要是限於物理學界之內，與愛因斯坦互贈著作顯示出希爾伯特對物理學界相當了解；

1913年，希爾伯特組織了「哥廷根周」的活動，邀請了普朗克（M. Planck）、德拜（P. Debye）、能斯特（W. Nernst）、索末菲（A. Sommerfeld）、洛侖茲（H. Lorentz）等從事前沿研究的物理學家來做報告。他也邀請了愛因斯坦，但後者婉拒了；

1914年，希爾伯特邀請德拜開設了有關物質結構的講座。物質結構是當時的一個熱門領域，因為前一年——也就是1913年——玻爾（N. Bohr）剛剛提出了玻爾原子模型。組織「哥廷根周」活動和邀請德拜開設有關物質結構的講座都顯示出希爾伯特對物理學前沿相當關注。

接下來是關鍵的1915年。那一年，希爾伯特再次邀請了愛因斯坦。這一次，愛因斯坦接受了邀請，於6月28日至7月5日訪問哥廷根，做了六次每次兩小時的報告，介紹他的廣義相對論研究。

那次訪問給愛因斯坦本人留下了非常好的印象。在1915年7月15日給同事索末菲的信里，愛因斯坦這樣寫道：

在哥廷根，我非常愉快地看到所有的東西都在細節上得到了理解。我對希爾伯特很是著迷，他是一個重要人物！

在給其他同事的信里，他也寫下了類似的觀感。

但這種蜜月般的好印象只維持了很短的時間，僅僅四個多月後，愛因斯坦就在給兩位朋友的信里寫下了語氣很重的抱怨。在1915年11月26日給倉格爾（H. Zangger）的信里，他這樣寫道：

這一理論的美麗是無可比擬的，然而只有一位同事真正理解了它，而他正以一種聰明的方式試圖「分享」它。在我的個人經歷中，從未有比這一理論及相關一切所遭遇的更好地讓我見識到了人性的卑劣。

在1915年11月30日給摯友貝索（M. Besso）的信里，他則表示：

我的同事在此事中表現得很醜惡。

這兩封信里的「同事」指的都是希爾伯特。

關於這兩封信，有一點可以略作說明，那就是這兩封信的語氣雖然很重，在收信人的選擇上卻是很有分寸的：倉格爾是法醫學教授，貝索是專利局職員，兩人都不是數學物理圈的，而且愛因斯坦在信中隱去了希爾伯特的名字。但儘管在收信人的選擇上很有分寸，這幾封信的前後對比所體現出的愛因斯坦在印象或情緒上的劇烈轉變卻是非常明顯的。

造成這種劇烈轉變的，正是他與希爾伯特之間的那場無形的競爭。

希爾伯特與愛因斯坦，誰先抵達？

後來有漫畫家為那場無形的競爭畫了一幅漫畫，標題是：希爾伯特與愛因斯坦，誰先抵達？這幅畫畫得很技巧，我每次看到都會忍不住想要目測一下兩人的筆尖誰的離終點線更近，還確實分不大清。不過這只是漫畫，接下來我們要通過對史料的分析，來看看希爾伯特與愛因斯坦，誰先抵達？——當然，這個「抵達」指的是得到廣義相對論場方程。

二 早期研究

受愛因斯坦哥廷根報告的影響，希爾伯特的研究興趣向引力理論作了顯著傾斜，並且於1915年11月20日在哥廷根作了一個報告，介紹他的引力理論研究。11月20日這個日期非常微妙，因為五天後的1915年11月25日，愛因斯坦在普魯士科學院也作了一個報告，在那次報告中，愛因斯坦首次給出了正確的廣義相對論場方程——愛因斯坦的廣義相對論研究一直是以場方程為中心的，但在11月25日之前，他的場方程一直是錯誤的。因此，愛因斯坦得到廣義相對論場方程的時間是1915年11月25日。那麼，如果希爾伯特在1915年11月20日的報告中也給出了場方程，他就是先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程。

但遺憾的是，跟愛因斯坦11月25日的報告於報告當天就提交論文，於一周后的12月2日就發表論文不同，對於希爾伯特的11月20日的報告，我們不僅沒有會議記錄或論文提交記錄之類的第一手資料，連聽眾回憶之類的二手資料也沒有。

不過，四個多月後的1916年3月31日，希爾伯特發表了一篇題為「物理學基礎」的論文，那篇論文註明了曾在1915年11月20日的會議上作報告。雖然原則上講，在從報告到論文的四個多月的時間裡，希爾伯特的觀點及論文的內容都有可能發生過變化，但在缺乏其他旁證的情況下，早期的研究者們普遍憑藉希爾伯特自己所注的曾在1915年11月20日的會議上作報告這一說明，將這篇論文視為了代表希爾伯特11月20日報告的內容。

那麼，這篇論文包含了什麼內容呢？首先是提出了兩條公理：

一條是引力場的作用量只含度規張量及一、二階導數；

另一條是引力理論的作用量是任意坐標變換下的標量。

希爾伯特這篇論文的標題「物理學基礎」跟他的名著《幾何基礎》可謂遙相呼應，而從公理出發構築物理理論的做法則跟他在1900年的「數學問題」演講中將物理學的公理化列入「希爾伯特第六問題」遙相呼應。因此這篇論文在很大程度上可視為是希爾伯特本人試圖解決「希爾伯特第六問題」的一次嘗試。具體到這兩條公理的內容上，則這兩條公理很明顯是受到了愛因斯坦的影響，甚至說是來自愛因斯坦也並不為過：其中第一條公理，「引力場的作用量只含度規張量及一、二階導數」，體現的是愛因斯坦將引力場視為度規場的思想——當時研究引力理論的不止愛因斯坦一家，從這個角度研究的卻只有愛因斯坦；第二條公理「引力理論的作用量是任意坐標變換下的標量」體現的則是愛因斯坦的廣義協變原理。因此，希爾伯特的理論框架可以說是來自愛因斯坦。

在這兩條公理的基礎上，希爾伯特得到了一系列結論，其中對我們來說最重要的是這樣兩條：

一條是引力理論的作用量——確切地說是作用量密度——是R+L，其中R是時空的曲率標量，L是物質場的作用量；

另一條則是引力場方程：

——這是正確的引力場方程。

這裡我們採用了現代記號（在希爾伯特的原始論文里，比如時空的曲率標量是用K表示的）。

由於希爾伯特的這篇論文被視為代表了他11月20日報告的內容，而論文包含了場方程，因此，早期的研究者們普遍得出了一個結論，那就是希爾伯特先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程。只不過考慮到希爾伯特的理論框架來自愛因斯坦，因此早期研究者們在措辭上採用了比較婉轉的說法。比如美國物理學家派斯（A. Pais）在他著名的愛因斯坦傳記里是這樣表述的：

愛因斯坦是廣義相對論物理理論的唯一提出者，基本方程式的發現則應同時歸功於他和希爾伯特。

那些早期研究大都完成於二十世紀七八十年代。如果大家閱讀有關廣義相對論或有關愛因斯坦的教材、專著或傳記，那麼早於二十世紀七八十年代或不側重歷史的大都不會提到希爾伯特，晚於二十世紀七八十年代且側重歷史的，則直到今天，援引的大都是這一早期結論。

但這一結論其實只維持到了1997年。那一年，一份新史料的發現改變了研究格局。

三 校樣之辯

希爾伯特論文校樣的首頁

1997年，幾位研究者在哥廷根檔案館發現了一份希爾伯特論文的校樣。這份校樣的列印日期為1915年12月6日——圖片上顯示的是這份校樣的首頁，列印日期在右下角的橢圓框內。這份校樣與論文一樣，註明了曾在1915年11月20日的會議上作報告——這句話注在希爾伯特的名字下方。由於12月6日這一列印日期跟11月20日這一報告日期只差了兩個多星期，比論文與報告所相隔的四個多月近得多，因此這份校樣的發現立刻改變了研究格局，取代論文成為了判定希爾伯特11月20日報告內容的憑據。

那幾位研究者於是對校樣展開了研究，結果發現校樣與論文存在多處顯著差異，其中對我們來說最重要的差異是：校樣只包含引力理論的作用量，以及場方程可通過變分而得到的泛泛說明，卻並未給出場方程。

由於校樣的列印日期12月6日已經晚於愛因斯坦得到場方程的日期——11月25日，甚至晚於愛因斯坦發表場方程的日期——12月2日，因此校樣並未給出場方程意味著希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程。於是那幾位研究者就得到了一個新結論：希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程。

這一新結論由於有希爾伯特的論文校樣為憑據，稱得上是鐵證如山。然而出人意料的是，這一新結論提出之後，很快就陷入了爭論，而爭論的切入點恰恰就在鐵證上。

受這一新結論吸引，幾位其他研究者也到哥廷根檔案館查閱了希爾伯特的論文校樣，結果發現，校樣的第7、8兩頁——那是同一張紙的正反兩面——的上方有一塊是缺失的。更糟糕的是，所謂校樣只包含作用量的那個作用量，恰好位於第8頁的缺失部分里。

希爾伯特論文校樣的第8頁

這樣一來鐵證就消失了。

而鐵證一旦消失，爭論就產生了——於是就有人提出：既然希爾伯特論文校樣的關鍵部分缺失了，那就沒有理由認為校樣只包含作用量，因為缺失部分完全有可能包含場方程——於是他們重新提出：希爾伯特先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程。他們並且指控：有人蓄意裁去了場方程，意在抹煞希爾伯特的貢獻。這個指控火藥味很重——雖沒有點名，矛頭顯然是指向了前一組研究者。雙方於是展開了爭論，一度還鬧得很不愉快。

粗看起來，校樣的關鍵部分既已缺失，那就是死無對證了，整個問題將會成為懸案。但其實卻不然，因為這是希爾伯特的論文，而不是散文詩——如果是散文詩，缺失一塊那就真的是死無對證了，因為你不可能推斷出散文詩的作者會在缺失部分里寫什麼，但希爾伯特的論文有極強的內在邏輯。通過對這種內部邏輯的分析，同時考慮到缺失部分的篇幅，史學界提出了極強的分析理由，可以裁定：缺失部分不可能包含場方程。

主要的理由有四條：

首先是篇幅不允許——場方程比作用量複雜得多，相應地，引進場方程所需的推導和說明也比引進作用量所需的多得多，缺失部分的篇幅不足以容納。希爾伯特1916年3月31日論文中相應部分的篇幅也印證了這一點。

其次是邏輯結構不允許——希爾伯特論文的邏輯結構明顯是以作用量為基礎的，這從它的兩條公理都是關於作用量的就可以看出。因此缺失部分如果包含場方程，就必須同時也包含作用量，必須是先有作用量再有場方程。

而這不僅在篇幅上更不可能，與公式編號也是矛盾的——這是第三條理由。希爾伯特論文校樣里的公式都是編了號的，第8頁缺失部分之前的最後一個公式的編號是（16），之後的第一個公式的編號是（18），中間只缺了一個（17），因此缺失部分只包含一個主要公式，不可能同時包含作用量與場方程。而既然只包含一個公式，那麼從邏輯結構上講這個公式只能是作用量，而不可能是場方程。

最後一條理由則是缺失部分包含場方程與後文相矛盾——論文校樣在後文第11頁提到了缺失部分的公式，提到時用該公式的變分表示了場方程，從而清楚地顯示出缺失部分包含的是作用量而不是場方程——因為作用量的變分才是場方程。

這四條理由每一條都非常強，都足以單獨確立校樣不包含場方程的結論，四條合在一起，堪稱不是鐵證的鐵證，可以極有把握地裁定：缺失部分——從而希爾伯特的論文校樣——不包含場方程。

四 信件疑雲

接下來再介紹一下對希爾伯特與愛因斯坦的信件的辨析。在爭論過程中，那一時期希爾伯特與愛因斯坦的通信也得到了排查，其中下面這幾封信件引起了一些關注。

在1915年11月20日的報告之前，希爾伯特曾於11月13日給愛因斯坦寫了一封信，邀請後者出席自己的報告，愛因斯坦在兩天後回信，以胃痛和疲憊為由婉拒了。次日——也就是11月16日——希爾伯特又給愛因斯坦發了一張明信片。那張明信片現已不存——起碼是迄今未被發現，但愛因斯坦兩天後——也就是11月18日——的回信則被收錄在了《愛因斯坦全集》里。在那封回信里，愛因斯坦寫了這樣一句話：

您給出的體系——就我所見——與我最近幾個星期發現並向科學院報告過的完全一致。

這句話很耐人尋味，因為我們在前面說過，愛因斯坦的廣義相對論研究一直是以場方程為中心的，因此，除非希爾伯特在明信片里給出了場方程，否則愛因斯坦似乎不會說出「您給出的體系……與我……的完全一致」這樣的話。有人也確實以此為由，認為愛因斯坦的這句話意味著希爾伯特在明信片里給出了場方程。由於明信片不僅比論文校樣更早，甚至比11月20日的報告還早，因此如果希爾伯特在明信片里給出了場方程，那他就依然是先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程。

但細究起來，事情卻又不那麼簡單，因為11月18日，當愛因斯坦寫下那句話時，他自己尚未得到正確的場方程——我們前面說過，愛因斯坦是11月25日才第一次得到正確的場方程。在11月18日，愛因斯坦以為的場方程其實是一個錯誤的場方程：

，它與希爾伯特的場方程相比還差了一項：

。

當然，這裡我們忽略了一種可能性，那就是希爾伯特的明信片包含場方程，但包含的是錯誤的場方程，且錯得跟愛因斯坦一模一樣，從而使愛因斯坦以為跟自己的場方程完全一致。之所以忽略這種可能性，是因為我們要討論的是誰先得到廣義相對論場方程——這個場方程當然是指正確的場方程，對這一目的來說，如果在某個環節上希爾伯特與愛因斯坦都得到過一個錯誤的場方程，那對討論是沒有影響的。因此對我們的目的來說，唯一值得討論的情形是希爾伯特的明信片包含正確的場方程，認為希爾伯特在明信片里給出了場方程的人所主張的也正是這種情形。

因此我們只討論這種情形。

在這種情形下，如果認為明信片包含場方程，那就必須解釋兩個問題：一個是愛因斯坦為什麼會漏看一項；另一個是比明信片更晚的校樣為什麼不包含場方程。這兩個問題都沒有足夠合理的答案。廣義相對論場方程如果是一個有十項八項的複雜方程式，那漏看一項還情有可原，可是廣義相對論場方程雖然的確是一個複雜的方程式，形式上卻非常簡單，總共只有三項，再怎麼老眼昏花，也不可能把三項看成兩項。因此第一個問題說不通。第二個問題就更說不通，因為明信片不過是一張小小的紙片，如果希爾伯特在明信片里都不忘記寫上場方程，這意味著在他眼裡，場方程是那一輪研究的主要成果，既然如此，就根本沒有理由在詳盡得多的論文校樣中反而不包含的，而且第一個問題若是咬定為一時失察，別人倒也沒轍，第二個問題甚至都不能用一時失察來開脫，因此更加說不通。

這兩個問題只要有一個找不到合理解釋，明信片包含場方程的可能性就很難確立，兩個都說不通，則明信片包含場方程的可能性就基本可以排除了。

一旦排除了明信片包含場方程的可能性，那麼剩下最有可能的，是明信片與校樣一樣，只包含作用量及場方程可通過對作用量的變分而得到這一泛泛說明。這時也必須解釋一個問題，那就是愛因斯坦所說的「完全一致」到底是什麼意思。對此，有兩種可能的解釋。

一種解釋是：愛因斯坦有可能將R對g^^μν的變分視為了唯一的幾何項。由於引力場的作用量R+L只有兩項，其中L對g^^μν的變分是物質場的能量動量，如果愛因斯坦將R對^6^μν的變分視為唯一的幾何項，那他就會以為希爾伯特的體系所對應的場方程只包含兩項，從而跟自己的錯誤場方程相一致。

另一種解釋是：愛因斯坦有可能直接通過廣義協變性作出判斷——愛因斯坦的場方程雖然是錯誤的，但他當時認為自己的錯誤場方程是廣義協變性所允許的唯一的場方程，由於希爾伯特用變分原理表示的場方程也是廣義協變的，因此愛因斯坦有可能僅憑兩者都廣義協變這一特點，就判斷出兩者相互一致。這兩種解釋都是說得通的，而且彼此間並不衝突。

因此在希爾伯特的明信片包含場方程和不包含場方程這兩種可能性中，前一種是兩個問題都說不通，後一種則是一個問題有兩種解釋都說得通。因此結論是：希爾伯特的明信片不包含場方程。

關於這一結論，還可以給出一條補充理由，那就是1916年1月，愛因斯坦自己也對廣義相對論的作用量表述進行了研究，但沒有成功。由於愛因斯坦的廣義相對論研究一直是以場方程為中心的，因此如果希爾伯特曾在明信片里給出過場方程，那麼無論此前愛因斯坦出於什麼理由認為那個場方程與自己的錯誤場方程相一致，1916年1月，在他自己也已得到了正確的場方程時，他應該意識到希爾伯特的場方程是正確的。那樣的話，希爾伯特對作用量表述的研究就已經完成了，愛因斯坦應該不至於重起爐灶，來研究希爾伯特已經完成了的課題。因此，愛因斯坦對廣義相對論的作用量表述進行研究，從一個側面顯示出起碼到那時為止，他還沒有從希爾伯特那裡見到過正確的場方程，這也意味著希爾伯特的明信片不可能包含場方程。

以上就是對有關希爾伯特與廣義相對論場方程的史學研究結果的一個簡述，結論是：希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程。或者說，希爾伯特與愛因斯坦，是愛因斯坦先抵達。

五 延伸話題

接下來再談兩個延伸話題。

第一個話題是：給出作用量是否等同於給出場方程？

在有關希爾伯特與廣義相對論場方程的爭論中，主張希爾伯特先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程的人所提出的有關史料的論據都被推翻了，但他們還提出了一條與史料無關的理由，那就是給出作用量應該被視為等同於給出場方程——因為作用量唯一地確定了理論，而且從作用量到場方程是一個普通研究生就能勝任的推導。

這條理由的提出在一定程度上也許是受到了現代量子場論的影響。在現代量子場論中，給出了作用量的確就被認為是給出了整個理論——如果你問一個物理學家，什麼是標準模型？他所能給予的最準確最完整的回答，就是給出標準模型的作用量。尤其是費曼規則問世之後，由作用量可以直接得到費曼規則，繼而展開物理計算，場方程的作用完全可有可無。

但廣義相對論的情形並非如此。

哪怕直到今天，在廣義相對論的研究中，場方程依然是物理計算的基礎，地位遠高於作用量。而從作用量到場方程的推導，在今天雖然是普通研究生就能勝任的——事實上也得是稍好些的研究生，但在希爾伯特與愛因斯坦研究廣義相對論的時候卻並非如此。我們前面提到過，1916年1月，愛因斯坦曾經對廣義相對論的作用量表述進行過研究，但沒有成功。他之所以沒有成功，據他在給洛侖茲的信中承認，是「起碼以我在計算上的有限能力而言，計算……相當艱巨」。一項物理研究，如果連愛因斯坦都覺得困難，那起碼在當時是不能夠當成可以預設的環節的。因此，起碼對廣義相對論來說，起碼在當時，給出作用量不能被視為等同於給出場方程。

第二個延伸話題是：希爾伯特與愛因斯坦的場方程研究是否彼此獨立？

這個話題在早期研究中是不成之為話題的，因為早期研究者們普遍認定，廣義相對論是愛因斯坦的理論，愛因斯坦的廣義相對論研究是完全原創的；而希爾伯特，雖然他的理論框架來自愛因斯坦，但早期研究者們普遍認定希爾伯特先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程，既然是先得到，那自然不可能「借鑑」後得到的，因此希爾伯特起碼在場方程的研究上被認為是獨立於愛因斯坦的。

但在1997年之後的爭論中，爭論雙方都有人提出了比較激進的觀點：認為希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程的人之中，有人認為希爾伯特有可能「借鑑」了愛因斯坦的場方程；而持相反觀點的人之中，也有人針鋒相對地提出了愛因斯坦有可能「借鑑」過希爾伯特的場方程。

在經過了前面那些討論後，如果我們回過頭來看這個話題，那麼由於希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程，因此愛因斯坦「借鑑」希爾伯特場方程的可能性可以直接排除。相反的可能性，即希爾伯特「借鑑」愛因斯坦場方程的可能性，則單純從時間上講是無法絕對排除的，但可能性極小。

主要的理由有四條：首先是沒有必要。對愛因斯坦來說，廣義相對論是一個引力理論，是對牛頓引力的推廣，也是為了協調牛頓引力與狹義相對論的衝突，因此愛因斯坦的廣義相對論研究著眼於描述引力，解釋牛頓引力不能解釋的現象——比如水星近日點的反常進動，或預言新的引力現象——比如光線的引力偏折。但希爾伯特的目的並非如此，希爾伯特的目的是構築物理學的公理化（用他在論文末尾的話來說，是讓「物理學在原則上變成像幾何那樣的科學」）。出於這個目的，希爾伯特是在一個相對抽象的層面上進行框架性的研究而不是從事細節計算，場方程對於他的目的沒有很大的重要性和急迫性。如果沒時間，可以像論文校樣那樣不包含場方程，卻依然得到他想得到的主要結果，如果有時間，則可以像他的正式論文那樣給出場方程，無論哪一種情形，都沒有「借鑑」愛因斯坦場方程的必要。

其次是愛因斯坦當時的場方程幾經改變，我們這些事後諸葛雖然知道他1915年11月25日那個是正確的，對身在局中的希爾伯特來說，恐怕就未必那麼明顯，哪怕要「借鑑」，也不易確定「借鑑」目標。

第三是愛因斯坦對場方程的推導並不嚴密。我讀過愛因斯坦的論文，其中對場方程的推導無論從物理上還是數學上都是不嚴密的，只能算啟發性的推導。這不是我「黑」他，而是他自己承認的——哪怕在得到了正確的場方程之後，他在給洛侖茲的信里依然承認，「推導仍是糟糕的」。這種糟糕的推導以及推導所得的場方程，是極不可能被崇尚嚴密性的希爾伯特「借鑑」的。

最後，愛因斯坦與希爾伯特的場方程雖然彼此等價，但形式上有著微妙的差別，這種差別恰好與各自的思路及推導一脈相承。

將上述四條理由綜合起來看，希爾伯特與愛因斯坦的場方程研究應該是彼此獨立的。

六 落 幕

最後，簡單地介紹一下這整段插曲的落幕。

愛因斯坦給朋友的那兩封抱怨信的口吻也許會讓很多人替這兩位大師級人物的相互關係捏一把汗，以為他們的關係可能會惡化。不過幸運的是，這兩人的人品和智慧使他們很快避免了關係惡化的可能性。這其中尤其值得稱道的是希爾伯特，他不僅從未爭奪過在廣義相對論任何方面的優先權，而且還在諸多場合對愛因斯坦推崇備至。1915年12月18日，在希爾伯特等人的提名下，愛因斯坦當選為了哥廷根數學學會的通訊會員。當天，希爾伯特於就寫信將這一消息告訴了愛因斯坦。兩天後，愛因斯坦寫了一封回信，在回信里，他寫了這樣一段話：

感謝您友好地告知我當選了通訊會員。藉此機會，我覺得有必要跟您說一件對我來說比這更重要的事情。我們之間近來有著某種我不願分析其原因的不良感覺。我一直在努力抵禦這種感覺帶來的苦澀，並取得了完全的成功。我已在心中恢復了與您的往日友誼，並希望您也這樣待我。兩個已在一定程度上將自己從這個骯髒世界中解脫出來的真正的研究者若不能彼此欣賞，那將是一種真正的恥辱。

這段話為整個事件——起碼在兩位當事人之間——畫下了圓滿的句號。

讀過美國傳記作家瑞德（C. Reid）的《希爾伯特傳》的人也許對希爾伯特說過的這樣一句話留有印象，希爾伯特說：

哥廷根街上的每一位小孩都比愛因斯坦懂更多的四維幾何，但儘管如此，是愛因斯坦而不是數學家創立了相對論。

這句話將創立相對論完全歸於了愛因斯坦。不過，對於希爾伯特與愛因斯坦之間的這場無形的競爭，我想我們也可以從這樣一個角度來看待：愛因斯坦是牛頓之後最偉大的物理學家，1915年，愛因斯坦研究廣義相對論已經進入第九個年頭。在這個時候，希爾伯特——一位數學家——僅僅聽了他六次演講，就能在短短几個月的時間內，對他產生如此強大的競爭壓力，這是數學的巨大威力。數學的這種巨大威力不僅體現在廣義相對論研究上，也滲透在了物理學的每一個分支，自然科學的每一個領域，乃至自然科學以外的很多研究中。數學之所以成為一種文化，數學文化之所以成為一個我們可以在這裡開會的廣闊領域，起碼部分地是由於數學的這種巨大威力。

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