本文出自菲爾茲獎得主、劍橋大學數學教授蒂莫西 • 高爾斯（Timothy Gowers） 主編的《普林斯頓數學指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部獨具特色的高水平著作，介紹了很多 20 世紀的數學，且都出自數學大家之筆。該文是阿蒂亞、孔涅等當代五位頂級數學家根據自己的數學研究經驗，對後輩新人給出的忠告——一些寶貴的經驗性建議。令人驚喜的是，它們很少有重複。雖然這些話是針對數學新手而說的，但相信它們值得任何年紀的數學家閱讀。
日前，我們已刊發過英國數學家阿蒂亞爵士、匈牙利裔英國數學家Béla Bollobas、英國女數學家杜薩·麥克杜夫和法國數學家阿蘭·孔涅的建議，今日奉上英國數學家Peter Sarnak的部分。
撰文 | Peter Sarnak
翻譯 | 陳躍（上海師範大學數學系副教授）
來源 | 《數學文化》
彼得·薩納克（Peter Sarnak, 1953-）, 美國數學家，英國皇家學會院士，美國科學院院士，專長數論，是最頂級數學期刊 Annals of Mathematics 的前任主編。
多年來我已經指導了不少博士研究生，這也許使我有資格以一個有經驗導師的身份來寫一些忠告。每當我遇到一個出色的學生（我非常幸運我能夠有這樣的一些學生），我所能給出的指導僅僅是告訴他，比如可以在某個區域內挖出黃金，或者給出一些含糊不清的建議。一旦他們行動起來，發揮其智慧與才能，結果他們沒有發現黃金，但卻找到了鑽石（當然事後我忍不住會說「我告訴過你會這樣」）。在這種情況下，和大多數的情形一樣，一個討論班導師的作用就更像一個教練：只是不斷加以鼓勵，並確信所指導的學生正在做的是一些有意思的問題，且清楚其可以採用的工具是什麼。這麼多年下來，我發現自己經常重複說的某些評論與建議對於學生來說還是很有用的。以下所列是其中的一部分。
（1）當我們學習一個新的領域知識時，我們應該將閱讀現代論述與鑽研原始論文結合起來，尤其是該領域開創大師的論文。很多學科的現代敘述所產生的主要麻煩是它們太完美了。隨著每一個（數學專著與教科書的）新作者都不斷地發現和加入更巧妙的證明處理方法，最後形成的理論體系總是傾向於採用「最簡短的證明」。很不幸的是，這種形式化的表述經常引起新一代學生們的極大困惑：「人們是怎樣想出來的？」通過回到原始的出發點，學生通常就能夠看到概念與理論的演變十分自然，並且理解它們是怎樣一步步變成現代形式的理論的。（當然面對著那些天才的數學家們所具有的令人意想不到的傑出思想，我們只能感到驚嘆不已，但是這種情況要比你想像的少得多。）
我想舉一個例子，緊李群表示論有許多現代的表述，我在講解其中的一種時，通常會推薦學生去閱讀外爾 (Weyl) 的原始論文，看他是如何推導出他的特徵標公式的。類似地，我會向已經了解複分析並且想要進一步學習黎曼面現代理論的學生，推薦他寫的書《黎曼面的概念》，而黎曼面對於現代數學的許多領域來說具有最基本的重要性。研究和閱讀像外爾這樣的大數學家的論文選集同樣也是十分富有教益的。在學習他們的定理的同時，我們可以發現他們的心智是如何運作的。從一篇論文到下一篇之間，基本上總是有一條線在自然地引導，而且容易看出某些後來的研究發展也是不可避免的。這一切都非常具有啟發性。
（2）另一方面，你應當對一些教條和「標準猜想」敢於質疑，即使它們來自於某些大人物。許多標準猜想都是基於一些人們所能夠理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人們多少有些一相情願的想法：人們很期望一般的圖景不會和特殊情形所建議的圖景相差太遠。我知道幾個這樣的研究事例，在其中一開始的時候，人們都是先著手證明一個被認為普遍成立的結論，但是沒有取得任何進展，直到最後人們才認真地反思它是否真的成立。在說了以上這些後，我也感到，如果不是出於特別好的理由，隨便地去懷疑某個特定的猜想（例如黎曼猜想）及其可證性，的確有些不妥。雖然作為科學家的我們，肯定是應該採取一種批判性的態度（特別是針對一些我們數學家所發明的人造對象），但在心理上同樣重要的是，我們要相信我們的「數學世界」的存在性，對什麼能成立、以及什麼能被證明抱有信心。
（3）不要將「初等」混同於「容易」：一個證明可以確定是初等的，但卻不是容易的。實際上，存在著許多這樣的定理：只要用一點點（現代數學的）高端方法就可以使定理的證明變得非常容易理解，並顯示蘊涵於其中的思想，相反如果避免使用高端的概念與方法，而只是用初等的方法來證明，則會掩蓋定理背後的思想內涵。
另一方面，也要注意不要將高端等同於高質量，或者等同於「高級證明」（這是一個我很喜歡用的字眼，它會引起許多我以前學生們的鬨笑）。在年輕的數學家們中間確實有一種（盲目）使用新奇的高端數學語言的傾向，以顯示他們正在做的工作比較深刻。然而，只有真正理解了現代工具，並且與新的思想相結合，現代的工具才能發揮作用。那些在某些領域（例如數論）工作的人，如果不花時間和實質性的努力去學習掌握這些工具，就會使他們處於非常不利的境地。拒絕學習和掌握這些新工具，就好象只用鑿子來拆一座建築物。即使你使用鑿子非常熟練，別人用推土機也比你有巨大的優越性，並且用不著掌握像你那樣（使用鑿子）的技巧。
（4）在數學中做研究會讓人感到受挫，如果你還不習慣於遭受挫折，那麼數學就不是你的理想選擇。在絕大多數的時間裡，你是沒有任何進展的，如果不是這樣，則要麼你是一個天才，要麼就是你所遇到的問題屬於在開始研究之前你已經知道怎樣解決的那種。儘管一些後續的研究工作也會有相當的（發展）空間，並且達到較高的水準，但是一般來說絕大多數的重大突破都是用艱苦的工作換來的，伴隨著許多錯誤的步驟，長時間裡只有微小的進展，甚至還有倒退。有一些方法可以減輕這種痛苦。如今的許多人採用合作研究的方式，這種方法除了有讓不同專長的人一起攻關的明顯優點外，還能讓人們來共同承受失敗。這對絕大多數的人們來說肯定是很有好處的（在數學中分享重大突破所帶來的喜悅和榮譽一般來說不會導致嚴重的名次爭議，就像其他一些科學領域常見的那樣）。
我經常勸我的學生在任何可用的時間裡，手上要同時有一連串待研究的問題。其中，就是挑戰最小的問題也應該有足夠的難度，難到解決它以後會給你帶來相當的滿足感（不然又有什麼意思呢？），並且幸運的話可能帶動其他問題的解決。這樣，你應該考慮一連串更具有挑戰性的問題，其中最難的問題就是（該領域）最關注的未解決問題。你應該不時地考慮去攻克它們，從各種不同的視角來審視它們。很重要的是你要敢於讓自己去解決非常困難的問題，不然就沒有成功的可能性，也許幸運的話，你會從中獲取許多。
（5）每周聽系裡的各種學術報告，並且希望報告的組織者能夠挑選好的報告人。在數學中有比較廣博的知識是很重要的。在學習了解其他分支領域裡的人們解決有趣問題的進展時，或當你聽到演講者在談論相當不同的研究時，你的心靈會經常受到某些思想的觸動。同樣，你也可能學到一種方法或理論，或許可以用到你正在做的其中一個問題上。在最近的一段時期里，有好幾個長期未能解決的重大問題獲得了最令人驚訝的突破，解決它們的方法都是來自於一些不同的數學分支領域思想的意想不到的組合。
本文摘自原載於《數學文化》第4卷第2期的《給年輕數學家的忠告》，經譯者授權刊發。
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