從勾股定理到坐標
從數學上的垂直與乘法相照應的關係，我們發現具有直角的幾何圖形會具有一些與算術相對應的特殊性質，這其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。
這個小學必學的知識，其本質來源於面積，下面這張圖可以清晰地讓人理解到底是為什麼。
現在讓將勾股定理的方程稍加改造，得到一個二元方程：x^2+y^2=1^2
什麼是方程？一方程其實就是關係的表征，比如上面這個方程，是用勾股定理改造出來的。所以我們同樣可以將它以二維平面面積的方式來理解。直角三角形其實就是長方形的兩條邊與一條對角線，所以將x和y作為長度來看，這個方程就可以解析成「在對角線長度固定的情況下，所有滿足條件的長方形邊長關係」。
把這些長方形都畫出來，如果這些長方形對角線的一端重合，那麼另一端的點就會構成一個弧形。在這個弧形中每個點到重合點的距離都為1，也就是所謂的圓，上面這個方程也就變成了圓的方程。
通過上面的分析我們可以得到一個概念，那就是「坐標」，用兩個邊長去確定由它構成的直角三角形的頂點。我們現在得到了兩個「參數」與一個「規律」，用它們組成的數學式子就是「方程」。
為什麼要從二維升到三維
那麼現在讓我們進入三維世界吧，不過不是我們熟悉的那種進入，而是從簡單粗暴地直接把圓的方程進行擴展，把x^2+y^2=1^2變成x^2+y^2+z^2=1^2會得到什麼呢？答案是球面的方程，這個方程的意思是：在立方體的對角線長度為1的情況下，所有滿足條件的立方體相互間的邊長關係。
數學家的操作——加一維
平方公式與立方公式。
ax十bX十cX十D=0。
這一方程公式，用任一自然整數代入，它的解一定是整數，這是確定無疑的。那麼。
a^2十b^2=c^2
a^3十b^3十c^3=e^3。
而上面的平方公式和立方公式，甪任一自然整數代入，它的解就不一定是整數了。而有整數解的數只有很少一部分了。但代入怎樣的自然整數才能使它們成為整數。我們有。
3^2十4^2=5^2=25。
3^3十4^3十5^3=6^3=2l6。
（2X3）^2十（2X4）^2=（2X5）^2=100。
（2x3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^3=1728。
（3x3）^2十（3x4）^2=（3X5）^2=225。
（3X3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^2=5832。
。。。。。。
由此可知：
3X^2十4X^2=5X^2
3X^3十4X^2十5X^3=6X^3。
就這樣，從平方整數解公式到立方解整數公式就這樣完成了。那麼，這個立方整數解公式是一個什麼樣的球呢？那只有請一個農村老大娘給你用紙糊一個小朋友的錢罐子了。
所以對於勾股定理，有勾三股四弦五的說法，那麼，對於立方整數解的公式應該有一個怎麼樣的說法呢。
好，到這兒為止都是我們可以輕鬆理解的東西，現在請你再看看圓與球的兩個方程，如果你是數學家，你是不是覺得似乎可以順水推舟地再做一些什麼呢？
比如……再給它加個參數試試？整個x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出來看看？
這個式子在算術上很好理解，四個參數，相互間滿足一定的關係。
但是根據之前方程可以依託面積或體積照射到現實世界中的規律來看，我們是不是也可以將這個方程畫出來呢？
不能……因為在我們生存的宏觀世界，體積是空間的基本單位，不存在什麼東西用三維無法描述，上文中強調的「存在先行」指出沒有需要的維度是沒有意義的，加入這個維度我們也找不到需要用它來描述的東西。
但是我們可以對其進行想像與計算，在數學上它與二維或是三維是平等的，所以數學家們當然不可能拒絕它。
這，就是所謂的四維空間。