風中起舞的科學奇才——紀念馮·卡門去世六十周年

美國設立國家科學獎的第一枚獎章，既沒有授予像韋伊（André Weil，1906-1998）這樣的數學家、費曼（Richard Feynman，1918-1988）這樣的物理學家或鮑林（Linus Pauling，1901-1994）這樣的化學家，也沒有授予像沃森（James Watson，1928-）這樣的生物學家，而授予一位空氣動力學家，因為在傑出的美國科學家中，他為國家作出的貢獻是無以倫比的，甚至幫助改變了人類歷史的進程。如果他的同胞數學家馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957）那時還活著，大概也只有後者才可能有資格同他競爭這至高無上的榮耀。這位享譽世界的力學家，年輕時受過極好的數學和物理訓練，事實上他是一名傑出的應用數學家。他將數學廣泛應用於力學的實踐中，就連他在答謝總統扶他一把時的幽默之語，也是用力學家的睿智吐出的。

甘迺迪總統頒獎給馮·卡門（1963）

獲獎三個月後，在旅行德國亞琛的途中，馮·卡門去世，距離他82周歲生日僅五天。他生於匈牙利，同晚他一輩的馮·諾伊曼一樣是神童，以其高不可攀的天賦被人們稱為寥寥幾個「來自火星的人」。他葬於南加州，他曾長期就職於這裡的加州理工學院，一生未婚的他與母親及一生未嫁的妹妹同眠在那裡。他有傳奇生涯、生動故事、偉大成就。他是值得被歌頌的一代人傑。

天才的起步

馮·卡門是猶太人，生於奧匈帝國時期的布達佩斯，父親Mór Kármán（1843-1915）是著名教育家，推崇資優教育。他改革了匈牙利的學校系統，在布達佩斯按德國模式創建了 Minta Gymnasium，該校與另外兩所匈牙利精英中學——Fasori Lutheran Gymnasium和Piarist Gymnasium，輸送出一批世界級人才：馮·卡門、數學家瑞利（Alfred Rényi，1920-1971）和拉克斯（Peter Lax，1926-）、物理學家西拉德（Leo Szilard，1898-1964）和特勒（Edward Teller，1908-2003）畢業於前者；諾貝爾物理獎得主魏格納（Eugene Wigner，1902-1995）和馮·諾伊曼相隔一年畢業於Fasori Lutheran；革命詩人裴多菲（Sándor Petőfi，1823-1849）則是Piarist的畢業生。Mór Kármán當過教育部專員，曾負責「規劃皇帝的表弟年輕大公的教育」，1907年，他被封為貴族。

馮·卡門的父親早就發現兒子早慧，並將自己的教育觀在兒子身上實踐。六歲時，馮·卡門可以進行「大型心算」，例如六位數的乘法。我們在馮·諾伊曼的傳記中也讀到類似的記載。看來，測驗多位數乘法心算能力是確認一個兒童是否為「天才」的必要條件，簡單實用。如果這個測驗未過，父母就不必花金錢花精力把孩子送進奧數班或類似場所。我自己從小到大都缺乏多位數乘法心算能力，所以我父母只管讓我自由發展，從不多管閒事，既避免了他們的煩神，也讓我基本發展到智商的極限。

馮·卡門的父親不鼓勵兒子太早接受數學教育，擔心他會成為神童和怪人，這與楊振寧的父親楊武之對聰明孩子的做法一致。父親親自教他，或請自己的學生教他，直到他十歲時被送入Minta中學。在中學的最後一年，馮·卡門獲得了「匈牙利全國數學和科學最佳學生」Eötvös獎。

既然馮·卡門的中學母校培養出不少像他這樣青史留名的人物，讓我們看看也被後人銘記為教育家的他如何回顧父親創辦的學校：

「通過展示其與日常生活的聯繫來教授一切。例如，在我們開始的拉丁語課上，我記得我們並不是從語法規則開始的。相反，我們被告知要在城市裡走走，抄寫雕像、教堂和博物館上的銘文。……當我們收集了這些短語並將它們帶到課堂上時，老師問我們哪些單詞我們已經認識了。我們通常可以認出短語中的幾個單詞。如果沒有，我們就會查找它們。然後他問我們是否認識到同一個單詞的不同形式。為什麼形式不同？因為它們與銘文中的其他詞語表現出不同的關係。我們繼續這樣，直到我們理解了每個短語以及為什麼它被放置在紀念碑上。」

「我熱切學習的數學是根據日常統計來教授的。……例如，我們查閱了匈牙利幾年來的小麥產量數據。我們建立了表格，然後繪製了圖表，這樣我們就可以觀察變化並找出小麥產量的最大值和最小值。在圖表中，我們尋找相關性，並了解了『變化率』，這將我們帶到了微積分的邊緣。因此，我們以實際的方式了解到，變化的數量之間存在著某種關係，並且，與拉丁語一樣，我們同時了解了該國不斷變化的社會和經濟力量。」

在馮·卡門口述、他逝世後四年出版的精彩自傳中，他進一步說到在那所學校「學生不再需要死記硬背書本，而是查數字、畫圖表、尋找變化量之間的相關性，或者從日常生活中收集的拉丁語詞彙中推導出拉丁語名詞與動詞的詞形變化和詞形變化的一些基本規則。」

1899年，馮·卡門進入位於本城的皇家約瑟夫技術大學學習工程學，三年後畢業，獲得機械工程學位，畢業論文是《圓端由水平面支撐的重杆運動》。隨後，他在奧匈帝國軍隊擔任了一年炮兵學員。接下來三年，他在母校擔任助理。1906年，他投奔德國學術重鎮哥廷根大學的力學泰斗路德維希·普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在其門下於1908年獲得博士學位，研究論題為「大型結構屈曲的數學模型」。這是他一生中特彆強調並努力踐行的「用數學理論指導工程研究」的肇始。

航空先驅

馮·卡門的事業起始於哥廷根，那裡不僅有「數學世界的亞歷山大」希爾伯特（David Hilbert，1862-1943），而且那時一批活躍的理論物理學家在量子世界開始嶄露頭角。馮·卡門在數學和物理的兩個世界都吸收了豐富營養。他修讀了前沿的數學課程，參加過討論班，也和玻恩（Max Born，1882-1970）一同做過理論物理研究。最終，他選擇力學，尤其是應用力學，作為終生的研究領域，並在航空實踐中施展了卓越的才華。

獲得博士學位後，馮·卡門留在哥廷根大學教了四年書。1913年，他接受邀請擔任亞琛技術大學航空學院院長。第二年第一次世界大戰爆發，從1915年到1918年，他同其他兩位匈牙利和捷克工程師為奧匈軍隊設計了早期的直升飛機，以三人名字命名：Petróczy-Kármán-Žurovec。戰爭結束後，他攜帶母親和妹妹約瑟芬（Josephine de Karman）回到亞琛。之後的那些年，馮·卡門除了埋頭理論研究，也和一幫志同道合的德國航空工程師研製滑翔機，以此作為發展航空力學的契機。

人們常說，一個成功的男人背後站著一個偉大的女人，這個女人一般是這個男人的太太。然而就馮·卡門而言，這個女人是他唯一的妹妹。她為了馮·卡門的偉大事業，甚至和他終身未娶一樣而終身未嫁，大半生陪伴他、照顧他，這是世間罕見的親情獻身，或許只有也終身未婚的匈牙利傳奇數學家埃爾特希（Paul Erdös，1913-1996）的母親能與她媲美；埃爾特希的母親直到終老都陪兒子全世界數學旅行。約瑟芬鼓勵她的哥哥將他的研究擴展到國界之外，於是馮·卡門在1922年組織了第一屆國際力學大會，主題是流體動力學和空氣動力學。在自傳的第104頁，馮·卡門回憶道：

「我設法與羅馬大學的傑出數學家圖利奧·列維-奇維塔博士會面，我們決定召開第一屆國際力學會議。我們向法國人、英國人和美國人發出邀請，在奧地利因斯布魯克會見他們的前敵人德國人、奧地利人和匈牙利人。我和妹妹自掏腰包支付秘書費用。」

兩年後，第一屆國際應用力學大會在荷蘭城市代爾夫特舉行，1946年國際理論與應用力學聯盟在巴黎召開的第六屆國際應用力學大會上成立。這種盡顯馮·卡門國際交流理念的力學家大會已經持續了一百年。

在歐洲科學界開始嶄露頭角的馮·卡門，也因馮·諾伊曼的未來職業規劃而幫過老諾伊曼出主意。據他在自傳中津津樂道的回憶，當年17歲少年才子的銀行家父親因發現兒子在自學數學中的「無窮」概念而感到不安，特地帶他去見馮·卡門，想請這位工程學教授說服兒子不要當數學家，用他的說法是「數學不賺錢。」 馮·卡門同男孩交談後，想到當年父親不讓自己過早接觸數學的經歷卻沒有妨礙最終學到數學真諦，因而這並非一件壞事，便向銀行家建議了一個折中方案：馮·諾伊曼同時在位於不同國土的兩所大學——瑞士的蘇黎世聯邦理工學院和匈牙利的羅蘭大學——分別修讀父親要求的化工和自己熱愛的純數學。結果，這位天才幾乎沒去修什麼課就拿到化工的學位，不到二十歲就寫出了關於集合論的數學論文。

馮·卡門與美國的姻緣最早來自諾貝爾物理獎得主、加州理工學院校長密立根（Robert Millikan，1868-1953）1926年發給他的一封訪美邀請電報，希望他幫助這所欣欣向榮的年輕大學建立航空實驗室，建造風洞。風洞用於測試飛機、火箭、汽車甚至建築物的空氣動力學效果。在整個風洞裝置中，物體在一個大管道內保持靜止，空氣在其周圍吹動，以研究物體與移動空氣之間的相互作用。

馮·卡門一生幽默無比，他的口述自傳記錄了不少幽默故事。其中一個就與他的首次美國之行有關。馮·卡門從歐洲初到加州理工學院訪問後，也去了麻省理工學院等學府一路演講，在離開美國訪問日本前的最後一站舊金山，他被記者採訪了。由於他濃重的匈牙利口音，記者誤將他回答問題時說的來美目的是訪問「實驗室」聽成了與之風馬牛不相及的訪問「盥洗間」。它們的英文各為laboratory和lavatory，發音相似，因而一不小心就會張冠李戴。十年多前被請到國內一所頂尖大學任教的一位華人教授，擁有美國名校的雙博士學位，學術成果令人矚目，但有一次在海外開會的飯後閒聊中，他向一位中國教授幽默自嘲：當年在美國常春藤名校教書時，自己的英文發音實在太差。或許他終於忍無可忍了，逃離異邦，回到母語世界教書育人。想必許多留美任教的華人學者都有關於英語發音不準的煩惱吧。

馮·卡門那一年的到訪，讓加州理工學院下決心建立美國第一流的空氣動力學研究基地。1930年，校方正式向他提供了古根海姆航空實驗室主任的全職位置。此時，納粹主義在德國甚囂塵上，令猶太人馮·卡門深感擔憂，於是他決定離開歐洲，一家三口，包括他的母親和妹妹，一起搬到了氣候宜人的南加州洛杉磯。他在實驗室主任的辦公椅上坐到1949年，然後讓座於請他來美國的密立根校長的公子、傑出的航空學家克拉克·密立根（Clark Millikan，1903-1966）。

加州歲月

從1930年起，馮·卡門逐步將加州理工學院打造成航空動力學的世界中心，同時也帶出了若干成就斐然的博士，包括中國人耳熟能詳的幾大華人學者。他不僅以創造性研究著稱於世，也以極善教書被學生銘記。

馮·卡門接手的古根海姆航空實驗室建於1926年，起初的研究重點在於航空。在他的領導下，實驗室從1936年起開始了飛彈研究；那一年，錢學森（1911-2009）從麻省理工學院轉到加州理工學院成為他的門徒。至1940年為止，這個實驗室一直是美國大學中唯一的飛彈研究中心；到了1943年11月，著名的噴氣推進實驗室根據與美國陸軍的合同在加州理工學院正式掛牌，馮·卡門從其五年前的初創階段起就兼任它的主任，1944年由他的學生馬尼納（Frank Malina，1912-1981）接任。

二戰中，由於得知德國秘密研製飛彈，美國軍方提高了對火箭研究的興趣。1943年初，馮·卡門收到美軍工程部門轉發自英國的情報，告之德國的火箭射程已超一百英里，半年後馮·卡門以信件方式向軍方提供了他對德國計劃的分析和評論。次年9月初，於因病在紐約療養期間，他應約在一個機場跑道末端處的轎車內會晤了美國陸軍空軍司令阿諾德（Henry Arnold，1886-1950）將軍（當年12月21日阿諾德被提升為五星上將），後者隨後建議他前往首都華盛頓領導將軍的科學顧問小組，並成為軍方的長期規劃顧問。10月23日，正式任命書下達，從此馮·卡門的主要活動場所從西海岸轉移到東海岸，將他的科學才智大劑量地貢獻給美軍的戰略發展。一個月後，已經擔任加州理工學院助理教授的錢學森加入了這一超過三十人的科學顧問組，並為全職工作的六名核心成員之一，在五角大樓工作了一年有餘。

無論是馮·卡門妙語連珠的自傳，還是華裔作家張純如（Iris Chang，1968-2004）認真寫作的錢學森傳記《蠶絲》（Thread of the Silkworm），都放進了一張「三代同堂」的師生合照——那是普朗特、馮·卡門和錢學森於1945年晚春在德國的一次不尋常會見。在二戰中，普朗特效力於希特勒統治下的國家，而他的這個傑出弟子以及後者的傑出弟子為埋葬納粹而戰，正在完成一項秘密技術使命——向德國頂尖科學家詢問那裡航空動力學的最新發展。為了行動方便，技術考察團團長馮·卡門被軍方「授予」少將軍銜，錢學森為上校。會見的場景有點尷尬，因為前輩老師扮演了幾乎是「階下囚」的角色，不過，他的科學貢獻是舉世聞名的。他唯一的女研究生和唯一的華人學生是中國的陸士嘉（1911-1986），她於1942年在這一位現代流體力學的奠基者指導下獲得博士學位。2022年底，普朗特女兒撰寫的《普朗特傳：回憶和信札中的普朗特》被華人力學家孫博華及六名手下研究生翻譯後由高等教育出版社出版。

普朗特、馮·卡門、錢學森（1945）

科教貢獻

馮·卡門對人類的貢獻是多方面的。美國三十年前出版了一本馮·卡門傳記，標題以「The Universal Man（全才）」打頭，但他的學術成就主要是在空氣動力學，而他科教理念——包括他對應用數學的詮釋和強調——影響更加深遠。

在本節詳細介紹馮·卡門的學術成就是不可能的，也無必要，我們只需列出他的幾項里程碑工作即可，而把重點放在他對待應用數學的態度上。

馮·卡門年輕時在哥廷根大學從事過微觀的物理和力學研究，為他後來廣泛的應用力學研究打下了基礎。在宏觀的流體力學和空氣動力學，他的貢獻包括非彈性屈曲、環圓柱流中的非定常尾流、層流穩定性、湍流、穩定和非定常流中的翼型、邊界層和超音速空氣動力學理論。在其他領域他也作出了許多重要貢獻，包括彈性、振動、傳熱和晶體學等。

英文維基中列出的包含有「馮·卡門」前綴的科學概念和術語足足有22個，其中的兩個——「玻恩-馮·卡門邊界條件」和「玻恩-馮·卡門晶格模型」屬於固體物理學；一個他與博士導師普朗特共同發現的「馮·卡門-普朗特方程」（明渠水流速度定律）；還有兩個包含了博士生錢學森的貢獻——「卓普雷金-馮·卡門-錢近似」和「馮·卡門-錢壓縮性修正」（蘇聯科學院院士、理論力學家卓普雷金（Sergei Alekseevich Chaplygin，1869-1942）是現代空氣流體動力學的奠基人之一），另有九個完全由他獨享光榮。

維基介紹馮·卡門時，稱他「是匈牙利裔美國數學家、航空航天工程師和物理學家，從事航空航天工作。」這很準確，因為他確是一名「披著工程師外衣的數學家」；他的學生錢學森的博士學位甚至屬於兩個學科：航空與數學。這是應用科學探索者最理想的身份，即當一名有遠大抱負的工程師成了卓越的應用數學家，他的抱負就有可能充分實現。馮·卡門不僅很早就成功經受抽象數學的思維訓練，也將數學知識和方法創造性地用於解決困難的工程問題。他在一篇文章中闡述了他對應用數學的看法和希望。

美國布朗大學出版的《應用數學季刊》（Quarterly of Applied Mathematics），其1943年4月創刊號的卷首語是馮·卡門撰寫的短文Tooling up mathematics for engineering（編者註：參見《馮·卡門：用數學武裝工程科學》）。他以數學家和工程師對話的方式展現了這兩類人對「數學和工程相互關係」的基本觀點，並從交流中達到相互理解、相互扶持的境界。文章最後的總結表達了數學家和工程師們的共同願望和行動準則：

工程師：打算從事應用數學研究的數學家必須對所涉及的物理過程有相當好的了解。另一方面，工程師必須足夠深入地研究分析基礎知識，才能正確使用數學工具。任意組裝工具機並不能構成高效的機械車間。我們知道你們的數學武器庫中有強大的工具機。我們面前的任務是知道如何適應和應用它們。

數學家：我覺得你言之有理。進一步類比，為了將工程問題的解付諸實現，你們需要某種工具設計師。這些才是真正的應用數學家。他們的原始背景可能不同；他們可能來自純數學、物理學或工程學，但他們的共同目標是為工程「裝備」數學。

中國情緣

馮·卡門於1928年首次來到北京，建議剛由清華學校升格為國立的清華大學發展航空科學。到了1937年7月初，他第二次來華，欣喜地看到清華的航空系已初具規模，製作了小型風洞，工學院院長、麻省理工學院電機博士顧毓秀（1902-2002）兼任航空研究所所長。抵達北京第二天，盧溝橋事件爆發，幸虧馮·卡門乘了7月6日夜車南下，躲過一場困境。8日他到達南京，與空軍司令周至柔（1899-1986）交流，10日上午會後，他又飛往新建的南昌空軍基地指導建造風洞。14日他先飛到九江，然後坐了兩個小時令他心驚肉跳，「如同過了兩周長」的竹竿轎子，穿行於陡峭山路上廬山會見蔣介石夫婦，商討建立中國的航空工業和空軍，打擊日寇，並應宋美齡所求當場為她科普風洞。可惜，一切努力付諸東流，第二年日軍攻陷南昌，已建好的風洞也毀於戰火。中國人大都知道馮·卡門培養了幾位華人力學翹楚，但我們也應該記住，在中國全面抗戰之始，他就盡力地幫助了我們。

馮·卡門被當代中國人銘記在心，一大原因是他培養出了「中國飛彈之父」錢學森。絕大多數完成博士學位的人，與博士論文導師的學術交往一般日趨減少，甚至會按指數級規律衰減至零，然而錢學森卻是例外。

天賦異稟的錢學森自交通大學畢業後考取清華大學公費留美，於1935年9月去了麻省理工學院航空系，一年後因為對那裡不滿而轉學加州理工學院，馮·卡門的大門向他敞開。馮·卡門為何馬上將他「網羅門下」？答案可在馮·卡門自傳中找到：

「1936 年的一天，他來找我尋求進一步研究生學習的建議。這是我們第一次見面。我抬起頭，看到一個身材略為矮小的年輕人，神情嚴肅，異常精準地回答了我的問題。他思維的敏銳與靈活給我留下了深刻印象，我建議他進入加州理工學院深造。」

在接下來的一段，馮·卡門概括了這個學生的資質：

「錢學森同意了。他和我一起解決了許多數學問題。我發現他相當富有想像力，具有數學天賦，並且能夠準確地形象化自然現象的物理圖像。即使還是個年輕學生的時候，他就幫助我理清了一些關於幾個難題的想法。這些是我不常遇到的才智，我和錢成為親密的同事。」

在自傳的同一頁，馮·卡門還講了一個故事。物理系的愛潑斯坦（Paul S. Epstein，1883-1966）教授告訴他：

「你的學生錢學森在我班上，他才華橫溢。」

「是的，他很好，」馮·卡門答道。

「告訴我，」愛潑斯坦眼中閃爍著光芒說道，「你認為他有猶太血統嗎？」

上面的內容均來自書中專寫錢學森的第38章《紅色中國的錢博士》（Dr. Tsien of Red China）。全書共44章，除了第23章《玻恩、費米、愛因斯坦》講了他和這三個朋友和偉大物理學家的故事外，沒有其他一章像第38章那樣標題集中於一人。這既是錢學森的自豪，也是馮·卡門的驕傲。自然，不僅錢學森是馮·卡門「most brilliant student（最優秀的學生）」，而且前者從1950年到1955年與美國政府之間長期苦鬥的獨特經歷，以及老師參與其中的營救過程，讓這一章在書中非寫不可，記錄了一個中國航空動力學家的傳奇。

錢學森在美國共待了20年，除了第一年，其餘的19年間與馮·卡門師生緊密相連。1939年6月9日以二等榮譽（magna cum laude）獲得航空和數學博士學位後，他留在系裡擔任助理教授，1945年被提升為副教授，第二年被麻省理工學院航空系聘為副教授，1947年升為正教授。1949年，在馮·卡門的推薦下，他回到母校以羅伯特·H·戈達德噴氣推進教授（Robert H. Goddard Professor of Jet Propulsion）的身份擔任新建立的噴氣推進中心主任。美國工程師和物理學家戈達德（1882-1945）建造了世界上第一個液體燃料火箭。1926 年 3 月 16 日，他成功發射火箭，開啟了太空飛行的新時代。

1955年，錢學森歸國前和馮·卡門告別時送給恩師自己的新著《工程控制論》。按照錢學森生前所說，老師翻看書時對他說：「你在學術上已經超過了我。」出於民族自尊心，讀到這句話的中國人一定很自豪。但是在張純如精心寫作的英文錢傳《蠶絲》序言里，作者這樣寫道：

「毫無疑問，錢學森是一位才華橫溢、一流的學者，但他的同事一再向我強調，他與艾薩克·牛頓或阿爾伯特·愛因斯坦，甚至與他在加州理工學院的導師西奧多·馮·卡門不是一個層次。錢可能研究了對美國空氣動力學家有用的理論問題，但他從未徹底改變或創建自己的領域。如果錢於1955年去世並且從未去過中國，他的一生就不會值得一部一流的傳記。」

張純如引用了她採訪的一些行家的評述，比如：

「錢學森的朋友、普林斯頓大學前航空學教授馬丁·薩默菲爾德（Martin Summerfield）表示：『他的視野遠不如馮·卡門、愛因斯坦、特勒或任何其他偉人那樣遠。他的視野與他們不同。他會執行他們的計算，成為他們的左膀右臂，但不是策劃者。我認為他帶走的是這種複製能力，複製了他們已做的。』」

雖然在這些西方專家眼裡，錢學森在學術上尚未達到馮·卡門等科學巨人的高度，但他回到祖國後為飛彈和航天事業作出了無人能比的巨大貢獻。作為戰略科學家，他們師徒二人為各自的國家奉獻了功勳卓著的一生。馮·卡門被賦予美國首屆國家科學獎的殊榮，而錢學森當之無愧地獲得中國迄今唯一的「國家傑出貢獻科學家」榮譽稱號。

此外，至少有三個中國人在馮·卡門手中拿到博士學位，他們是胡寧（1916-1997；1943年）、林家翹（1916-2013；1944年）和郭永懷（1909-1968；1945年）。與後兩位同在多倫多大學跟隨辛格（John Synge，1897-1995）讀了碩士學位的錢偉長（1912-2010），趕在導師一年後轉到美國任教前繼續跟他讀到博士學位，然後去了加州理工學院噴氣推進實驗室工作，所以他並非馮·卡門嚴格意義上的弟子，而是手下的工程師。他和林家翹在刊登馮·卡門著名創刊詞的《應用數學季刊》第一期上各自發表了一篇論文。

後來，胡寧成為中國著名的理論物理學家；林家翹長期任教麻省理工學院數學系，成為最高級別的「學院教授」並被遴選為美國國家科學院院士，晚年回到清華大學擔任「周培源應用數學研究中心」名譽主任；郭永懷1956年在康奈爾大學航空系正教授的崗位上返國，近60周歲時因飛機失事殉職，1999年被國家追授「兩彈一星」功勳獎章。

馮·卡門為中華民族一代力學英豪的成長功不可沒！

寫於2023年7月13日星期三

美國哈蒂斯堡夏日山莊

出品：科普中國

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