阿諾德：論數學教育

圖2 法國巴黎探索皇宮

由那些既無法掌握物理學又睏倦於自卑中的半桶水式數學家們所拉起來的醜陋建築，總使人想起「奇數的嚴格公理化理論」。顯然，完全可以創造一種能夠使得學生們稱讚其完美無暇、內部結構和諧統一的理論（例如，可定義奇數個項的和以及任意多個因子的乘積）。按此狹隘觀點，偶數要麼被認為是「異端」，要麼以後被當作「理想」對象補充入該理論，以此來應付物理與現實世界的需要。

不幸的是，數十年來，正是如上述這樣醜陋扭曲的數學結構充斥著我們的數學教育。它肇始自法國，很快傳染到基礎數學教學，先是毒害大學生，接著中小學生也難免此災（而災區最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。

倘若你問法國小學生，「2+3等於幾」，他會這樣回答：「3+2，因為加法適合交換律」。他不知道其和為幾，甚至不能理解你的問題是什麼！

還有的法國小學生會如下闡述數學（我認為很有可能）：「存在一個正方形，但仍需證明。」

圖3 法國巴黎高等師範學院

根據我本人在法國的教學經驗，大學生們對數學的認知與這些小學生們同樣槽糕(甚至包括那些在「高等師範學校」[高師][4]里學習數學的學生──我為這些明顯很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜)。

從洛必達的第一部微積分教科書 (名字即為「用於理解曲線的微積分」) [5]開始，大致到古爾薩寫的課本[6]，解決這些問題的能力 (和熟悉單位數乘法表一樣) 一直都被認為是每一個數學家應當具備的基本技能。

圖4 古爾薩

弱智的「抽象數學」的狂熱者將幾何 (由此物理和現實的聯繫能常在數學中反映)統統摒除於教學之外。由古爾薩、埃爾米特、皮卡等人寫的微積分教程被認為是過時而有害的，最近差點被巴黎第6和第7大學的學生圖書館當垃圾丟掉，只是在我的干預下才得以保存。

這樣的事情怎麼會在法國發生呢？！這可是為我們這個世界貢獻了拉格朗日與拉普拉斯、柯西與龐加萊、勒雷與托姆這樣的大家的國度啊！我覺得一個合理的解釋出自彼德羅夫斯基[7]。他在1966年曾教導過我：真正的數學家決不會拉幫結派，唯有弱者才會結黨營生。他們可能因各種原因而聯合 (可能為超抽象，反猶主義或為「應用的和工業上的」問題)，但其本質總是在一些非數學的社會問題中求生存。

我在此順便提醒大家溫習路易•巴斯德[8]的忠告：從來沒有所謂的「應用科學」，有的只是科學的應用 (而且非常實際的應用！)。

圖5 1973年發行的紀念彼得羅夫斯基的郵票

當時我一直對彼德羅夫斯基的話心存疑慮，但現今我愈來愈堅信：他說的一點沒錯。可觀的超抽象活動最終歸結為以工業化的模式無恥地掠奪原創者的成果，然後系統地將這些成果歸功於拙劣的推廣者。就如美洲沒有以哥倫布的名字命名一樣，數學結果也幾乎從未以它們真正的發現者來命名。

為避免被誤引，我須聲明，由於某些未知的緣故，我自己的成果從未被上述方式侵占，雖然這樣的事情經常發生在我的老師 (柯爾莫哥洛夫、彼德羅夫斯基、龐特里亞金、洛赫林) 和我的學生身上。M.Berry教授曾提出如下兩個原理：Arnold原理：如果某概念出現了某人名，則該人必非發現此概念者。

Berry原理：阿諾德原理適用於自身。

我們還是回到法國的數學教育上來。

在我為莫斯科國立大學數學與力學系一年級學生時，微積分課教師是集合論拓撲學家L.A. 圖馬金。他認真地講解古爾薩版的古典法式微積分教程。他告訴我們若相應黎曼面是球面，則有理函數沿著代數曲線的積分可以求出來；若相應黎曼面虧格更高，則該積分一般來說不可求；此外，給定次數曲線上二重點個數足夠多，則對應曲面可為球面 (由此知該曲線是有理的：即可以將其實值點在射影平面上一筆畫出來)。

這些結果 (即使不給出證明) 緊緊地抓住了我們的想像，它們表現了更好更正確的現代數學思想，比布爾巴基學派[9]那捲帙浩繁的所有論著不知道好到哪裡去了。確實，我們能在這裡找到表面上似乎完全不同的事物之間令人驚奇的聯繫：一方面，積分可否顯式表達與相應黎曼面的拓撲有關；另一方面，相應的黎曼面上的虧格與二重點個數之間也有重要的聯繫。這又和黎曼面的實部分的一筆畫性質相關聯。

圖6 1938年布爾巴基會議（從左到右分別為：Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte）

圖7 布爾巴基學派系列作品《數學原理》之一

作為數學中最迷人的性質之一，雅可比曾指出：同一個函數控制著用四個平方數之和對整數的表示[10]以及擺的真實運動。

發現這些不同種類的數學對象之間聯繫，就如發現物理學中電與磁之間聯繫，也類似於地質學上發現美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間的相似性。

這些發現對於教學的情感意義是難以估量的。正是它們指引著我們去研究和發現宇宙中和諧而精彩的現象。

然而，數學教育的非幾何化以及對物理學的背離卻割斷了這種聯繫。例如，不僅僅是學生，絕大部分的當代代數幾何學家也都不知道如下雅可比事實：第一類橢圓積分表示了相應的哈密頓系統中沿某個橢圓相曲線的運動時間。

套用關於電子與原子的著名說法，可以說圓內旋輪線就如同多項式環中的理想一樣是無窮竭的。但若要把理想這一概念教給從不知道圓內旋輪線的學生，就如把分數加法教給從未將蛋糕或蘋果等分切割過 (至少在腦子裡切過) 的學生一樣令人迷惑。一點也不奇怪孩子們做分數加法時常常分子加分子、分母加分母。

我從法國朋友那裡聽說這種超抽象的一般化正是他們的傳統國民性。我不完全否認這種遺傳病的說法，不過我還是願意強調那個從龐加萊那兒借來的「蛋糕與蘋果」的例子[11]。

構造數學理論的方式與在其它自然科學中建立理論的方式完全相同。首先我們要考察某些對象並在特定例子中進行觀察。然後我們通過試驗找到所得觀察結果適用的邊界，尋求反例以阻止我們將所得想當然地推廣到過於廣泛的情形 (例如：將連續奇數1,3,5,7,9拆為奇數個自然數之和的分拆數[12]給出序列1,2,4,8,16，但接下來卻是29)。

我們儘可能清晰地將所得經驗發現 (如費馬猜想和龐加萊猜想) 表述為結論。之後的階段將是困難的，因為要檢驗所得結論在多大程度上可靠。

圖8 圖為法國1952年發行的紀念龐加萊郵票

數學中已對此發展出來一套特別的方法。這種方法，在被應用於現實世界時，有時很有用，但有時也會導致自欺欺人。這就是「建模」。建模時需做如下理想化：某些只以一定機率或一定的精確性知道的事實，被認為是「絕對」正確的並被當作「公理」來接受。這種「絕對性」的意義，恰在於我們容許自己根據形式邏輯規則來運用這些「事實」，而後把所有從這些事實推導出的結論稱為「定理」。

顯然在任何現實活動中，要完全依賴於這樣的推理是不可能的。原因至少在於所研究現象的參數決不可能被絕對準確地確定，而且參數 (例如過程的初始條件) 的微小變化能夠完全地改變結果。例如，正是因為這個原因使得任何可信賴的長期天氣預報都是不可能的，將來也無可能——無論計算機或是記錄初始條件的設備有多發達。

與此同理，(不能完全可靠的) 公理的一個小小改變，通常能得出與從這些公理推導出來的定理完全不同的結論。推理之鏈 (「證明」) 越長越複雜，最後得到的結論的可靠性就越低。

複雜的模型 (除了對寫論文的人) 幾乎毫無用處。

數學建模方法忽略這些麻煩，把所得到的模型當成是確切地與現實世界相吻合的。從自然科學的觀點來看,這種途徑是顯然不正確的，但卻經常導致很多物理上有用的結果，該事實被稱為「數學在自然科學中不合理的有效性」 (或叫做「魏格納原理」) [13]。

圖9 匈牙利1999年發行的魏格納紀念郵票

我在此提一下蓋爾方德的一個觀點：還有另一類與魏格納注意到的數學在物理中不可思議的有效性相仿的現象——即數學在生物學中也同樣有不可思議的有效性。

然而，我還要提到，這個唯一性定理也可解釋船隻在停泊碼頭時的靠岸階段為什麼必須要人工操作：倘若機動，設行進的速度是距離的光滑 (線性) 函數，則整個靠岸的過程將會耗費無窮長的時間。否則只能採取與碼頭相撞 (船與碼頭之間要有非理想的彈性物體形成緩衝) 的方法。值得指出的是，月球和火星探測儀器的著陸以及空間站的對接時，此類問題曾嚴肅地擺在我們面前——此時唯一性問題在與我們做對。

不幸的是，在現代數學教材里，即便是其中較好者，既沒有這樣的例子，也沒有討論迷信定理的危險性。我甚至覺得，那些學院派數學家 (對物理知之甚少) 都對公理化形式的數學與建模的主要差異習以為常，而且他們覺得在自然科學中這是很普遍的，只是需要用後期的實驗來控制理論推演。

即使不提及初始公設的相對特徵，人們也不會忘記在冗長的論證中犯邏輯錯誤是不可避免的 (例如，宇宙射線或量子振動引發計算機崩潰)。任何做研究的數學家都知道，如果不對自己有所控制 (最好的方法是用實例來控制)，那麼在大約10頁紙的論述之後，半數公式中的符號會出問題，而數字2會從分母跑到分子的位置上。

與如此謬誤相抗的技術在任何實驗科學中都一樣，都是通過實驗與觀察進行的外部控制。而且這一技術應該一開始就教給所有大學低年級的學生。

試圖創造「純粹」推論式公理化數學的做法，導致了摒棄物理學中研究模式 (觀察-建模-研究模型-得出結論-再由觀察來檢驗)，而代之以定義-定理-證明的模式。人們不可能理解一個沒有來由的定義，但這並不能阻止「代數-公理學家」違規。例如，他們會用長乘規則來定義自然數的乘積。這樣一來，乘法的交換性變得難以證明，但仍可以從公理中得出這樣的定理。這樣就可能逼迫可憐的學生來學習該定理及其證明 (其目的不外乎是提升這門學科以及教授它的人的地位)。顯然，如此定義、如此證明只會傷害教學和實際工作。

要理解乘法的可交換性，只有通過分別按行、列來數方陣里士兵數，或用這兩種方式來計算長方形的面積才可能。做不與物理和現實世界交叉的數學的任何企圖都屬於宗派主義和孤立主義。這必將破壞所有具有合理思維能力的人們眼中數學創造是有用的人類活動的這一美好印象。

我再揭示幾個這樣的秘密 (以此來幫助可憐的學生們) 。

一個矩陣的行列式就是一個以矩陣的各列為各邊的平行多面體的 (有向) 體積。如果學生們被告知了這個秘密 (在純粹的代數式的教育中，該秘密被小心地隱藏著)，則整個行列式理論都將成為多維線性型理論的一部分。如果用別的方式來定義行列式，則任何聰明人都將會永遠怨恨行列式、雅可比式以及隱函數定理這些東西。

什麼是一個群呢？代數學家會這樣來教學：這是附有兩個滿足一組令人容易忘卻的規則的運算的集合。這個定義會引起自然的抗議：為何需要這一對運算？「哦，該死的數學」——這就是學生們的結論 (將來他們中有人可能成為國家科學部長)。

如果我們按照歷史發展的順序，不是由群而是從變換的觀點 (一個集合到自身的1-1映射) 出發，我們就有完全不同的情形。一個集合的一族變換稱為一個群，如果其中任何兩個變換的復合仍在此族內，並且每個變換的逆變換也是如此。

此即該定義的核心。那些所謂的「公理」事實上僅為變換群 (明顯) 的性質。公理化主義者所稱的「抽象群」不過是同構 (保持運算的1-1映射) 意義下不同集合的變換群。正如凱萊所證明的，根本就不存在「更抽象的」群。那麼為什麼代數學家仍要用抽象的定義來折磨學生呢？

順便提一下，1960年代我曾為莫斯科的中學生們講授群論。我未使用任何公理，儘可能地貼近物理，半年時間我就能教給學生一般五次方程無根式解的阿貝爾定理 (同時還教了複數、黎曼面、基本群以及代數函數的單值群)。這門課程的內容後來由我的一個聽眾V. Alekseev編輯成書出版，書名為The Abel theorem in problems & solutions[16]。

什麼是一個光滑流形？我見到一本美國人最近撰寫的書稱龐加萊對此概念並不清晰 (儘管是由他引入的)，其「現代的」定義直到上世紀20年代末期才由維布倫給出：一個流形是滿足一系列公理的一個拓撲空間。

學生們究竟為何罪孽要在這些扭轉曲折中嘗試、摸索來尋求其正途？事實上，在龐加萊的《位置分析》(Analysis Situs) 中有比現代「抽象」定義更有用，也絕對更清晰的定義。

圖12 1887年的埃爾米特(1822-1901)；圖13 埃爾米特的微積分教程標題頁

光滑流形之間的光滑映射可自然地定義。微分同胚是其逆也光滑的光滑映射。

「抽象」光滑流形是在微分同胚意義下的歐氏空間的光滑子流形。世上根本無所謂「更抽象的」有限維光滑流形 (惠特尼定理)。為什麼我們總是要用抽象的定義來折磨學生們呢？把閉二維流形 (曲面) 的分類定理證給學生看難道不更好嗎？

恰是如此精彩的定理 (例如，任意緊連通的可定向曲面都是一個帶若干柄的球面) 使我們對什麼是現代數學有了一個正確的印象，而不是那些歐氏空間簡單子流形的超抽象的推廣，事實上後者根本沒有給出任何有新意的東西，不過是被公理化主義者們作為成果用來炫耀的而已。

圖11 帶三個柄的球面

曲面分類定理是頂級的數學成就，堪比美洲大陸或X射線的發現。這是數學自然科學裡一個真正的發現，我們甚至難說該發現是屬於物理學的或屬於數學的。它對應用以及對發展正確的世界觀的意義目前已超越了數學中的其他「成就」——如費馬大定理的證明，或對任何充分大的整數都能表示成三個素數之和這類事實的證明。

為了出風頭，當代的數學家有時候總要展示一些「運動會式的」成就，並聲稱那就是他們的學科里蓋棺之作。可想而知，這樣的做法不僅無助於社會對數學的欣賞，而且適得其反，會使人們產生疑問：對於這樣的毫無用處的奇異問題，有必要浪費力量來做這些 (仿佛攀岩似的) 練習嗎？

曲面分類定理應該放到高中數學的課程里 (或許不加證明)，但由於某些原因甚至在大學的數學課程里也找不到 (順便提一下，在法國近幾十年來所有的幾何都從大學課程中被刪去)。

所有層次的數學教育由學院式腔調全面回歸到展示自然科學的重要領域，對法國來說是一個極其重要的任務。使我感到異常震驚的是所有那些寫得最好而且最重要的闡述數學方法的書在這裡卻幾無學生知曉 (在我看來，甚至可能沒被譯為法文)。這些書有拉德梅徹-托普利茨寫的《論數與形》、希爾伯特和康福森寫的《直觀幾何》、柯朗和羅賓斯寫的《數學是什麼》、波利亞寫的《如何解題》和《數學合情推理》、克萊因寫的《19世紀數學發展史》[17]。

我清晰地記得，當我在學校求學時，埃爾米特所寫的微積分教程[18]（有俄語譯本！）給我留下了多麼強烈的印象。

我記得在最開始幾講中就出現了黎曼曲面 (當然所有分析的內容都是針對復變量的，也本該如此) 。而漸近積分理論是在分支點運動下通過黎曼曲面上道路形變的方法來研究 (如今，我們稱此方法為皮卡-萊夫謝茨理論；順便提一下，皮卡是埃爾米特的女婿——數學能力往往是由女婿來傳承：阿達馬—萊維—許瓦茲—弗里希王朝就是巴黎科學院中另一範例)。

埃爾米特一百多年前撰寫的教程 (也許早就被法國大學的學生圖書館扔掉了) ，已被認為「過時」，但實際上要比那些折磨學生、最令人無聊的微積分課本現代化得多。

如果數學家們再不醒悟，則那些對 (在最恰當意義下的) 現代數學理論仍有需要，同時又對那些毫無用處的公理嘮叨具有免疫力 (任何具有合理思維的人共有的特點) 的消費者終將會拒絕這些中學和大學裡面教育不良的學究們所提供的服務。

一位數學教師，倘若至今還未掌握多卷本的朗道和栗弗席茲的教程[19]中的一部分知識，必將成為古董，猶如迄今仍不懂開集與閉集之間差別的人。

圖14 2008年亞塞拜然發行的紀念朗道誕辰100周年的郵票

圖15《理論物理學教程第三卷：量子力學(非相對論理論)》封面

致謝：譯者感謝陸俊博士對文中代數幾何等部分內容的討論，也特別感謝美國西北大學徐佩教授的閱讀校訂。

——2012年6月於比勒費爾德

參考文獻

[1] 作者為著名的俄羅斯數學家弗拉基米爾•阿諾德 ( Vladimir Igorevich Arnold, 1937-2010)。他是20世紀最偉大的數學家之一，曾獲克拉福德獎(1982)、沃爾夫獎(2001)和邵逸夫獎(2008)等獎。此文為1997年3月7日作者在法國巴黎探索文化宮(Palais de la Découverte，為法國科學教育中心博物館)所發表演講的擴充版，以俄文發表於Uspekhi Mat. Nauk 53( 1998), no. 1(319), 229-234; 英譯見Russian Math. Surveys 53(1998), no. 1, 229-236。英譯網頁版本可參

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html。亦有中譯流傳於網絡。然而此中譯不僅有筆誤、漏譯等不完善處，錯譯也不少。因該中譯譯者佚名，現遵《數學文化》主編之託，參考該中譯，根據英譯重譯該文。英譯中也有不清晰處，是故徐佩教授也幫助參考了俄文。譯文中儘可能為初學者可能不熟悉的部分、較易說清楚的內容加了些注釋並配圖以方便閱讀。翻譯本非易事，本文涉及的數學內容又很廣，錯誤、不恰當處請讀者批評。最後，關於阿諾德的故事以及與本文類似的觀點的更多闡述，有興趣的讀者可閱讀他於1999年春意外受傷後養病期間撰寫的書Yesterday and Long Ago (原書為俄文，2006年出版；英譯2007年由Springer出版) 。

這篇文章反映了阿諾德對布爾巴基的批判，對龐加萊(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)直覺主義的支持。值得指出的是，今年（2012）恰為龐加萊逝世100周年。

[3] 哈代(G. H. Hardy, 1877-1947)為英國著名數學家。該引語出自他的名著《一個數學家的自白》(A Mathematician´s Apology, Cambridge University Press, 1994)。整段表達為：正像畫家和詩人的模式一樣，數學家的模式也必須是優美的；正像色彩和文字一樣，數學家的思想也必須和諧一致。優美是第一關：醜陋的數學在世上無永存之地。(The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics. )

[4] 高師是法國最好的大學，法國最具選拔性和挑戰性的高等教育研究機構。校友中迄今已有施瓦茨、托姆以及新近的吳寶珠、維拉尼等共10位菲爾茲獎得主。

[5] 洛必達(Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital, 1661-1704)，法國數學家。所提他撰寫的教材原文名為Analyse des infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes，1696年出版。著名的洛必達法則即出現在此書中。

[6] 古爾薩(Edouard Goursat, 1858-1936)，法國數學家。他的課本指1902年開始陸續出版的三卷本《數學分析教程》(Cours d´analyse mathématique)。中譯最早有19世紀30年代王尚濟的《解析數學講義》以及40年代劉景芳翻譯的《數學分析教程》。

[7] 彼德羅夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky, 1901-1973) 研究偏微分方程等，對希爾伯特第19和第16問題有重要貢獻。曾任莫斯科國立大學校長(期間阿諾德被錄取) 。

[8] 路易•巴斯德(Louis Pasteur, 1822-1895)，法國微生物學家、化學家，微生物學的奠基人之一。巴斯德原文常見英譯為 「There are no such things as applied sciences, only applications of science」。

[9] 尼古拉•布爾巴基(Nicolas Bourbaki)是二十世紀一群法國數學家為自己作品的集體筆名，其團隊的正式稱呼是「尼古拉•布爾巴基合作者協會」。主頁為

http://www.bourbaki.ens.fr。布爾巴基希望在集合論的基礎上用公理方法重新構造整個現代數學，致力於數學的嚴格化與一般化。布爾巴基認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。有三種基本的抽象結構：代數結構，序結構，拓撲結構。布爾巴基他們自1935年開始撰寫題為《數學原理》(Éléments de mathématique)的一系列著作以述說他們的觀點。這套書共9卷，有七千多頁。

[11] 龐加萊是直覺主義的先驅，認為直覺是發明的工具。1905年龐加萊發表《數學中的直覺與邏輯》。英譯可參考http://www-history.

mcs.st-and.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html，中譯可參考《科學的價值》(李醒民譯，光明日報出版社，1988)。龐加萊在此文中討論了兩類數學家，而麥可•阿蒂亞爵士在其演講《二十世紀的數學》中區分了形式主義傳統的代表人物(萊布尼茲—希爾伯特—布爾巴基)和直覺主義傳統的代表人物(牛頓—龐加萊—阿諾德)。此處「蛋糕與蘋果」的例子，按阿諾德所述，源自龐加萊。阿諾德 在一次俄法 「Mistral」 會議上的演講(參Yersterday and Long Ago, 第157頁)也提到分數教學，明確提到龐加萊曾說，只有這兩種方式來教分數。阿諾德還提到盧梭在其《懺悔錄》的回憶：只有在分割矩形後他才理解完全平方和公式

[12] 舉例來說，5有如下7種整數分拆方式：5 = 5; 5 = 1 + 4; 5 = 2 + 3; 5 = 1 + 2 + 2; 5 = 1 + 1 + 3; 5 =2+ 1+ 1+ 1; 5 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1。其中為奇數之和的分拆數為4。歐拉曾經證明奇數之和的分拆數與不等數之和的分拆數相等。

[13] 尤金•魏格納(Eugene Paul Wigner, 1902-1995)系匈牙利-美國物理學家，諾貝爾物理學獎獲得者(1963)。這一說法參魏格納的文章：The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, Communications on Pure and Applied Mathematics ( 1960), 13:1, 1– 14.

[15] 阿諾德在Yersterday and Long Ago(第36-37頁)中也提到相同的內容，並說唯一性定理與物理現實不符是M. L. Lidov教給他的。

[16] 此書英譯2004年由Kluwer出版。阿諾德的針對中學生(14-16歲)的課程由正在進行教學改革(更新歐幾里得傳統)的柯爾莫哥洛夫組織。參考Yersterday and Long Ago第158–163頁。

[17] 《數學是什麼》與《論數與形》的介紹，可參《數學文化》2012年第三期歐陽順湘作《最美的數學就如文學》一文。

[18] 埃爾米特的原著Cours d´analyse de lécole polytechnique ( 1873)，可下載自

http://archive.org/details/coursdanalysedel01hermuoft。

[19] 列夫•朗道(Lev Landau, 1908-1968)是前蘇聯著名物理學家，凝聚態物理學的奠基人。1962年的諾貝爾物理學獎獲得者。栗弗席茲(Evgeny Lifshitz, 1915-1985)為朗道的學生、理論物理學家。這裡所提教程為著名的《理論物理學教程》，全書共10卷，由朗道、栗弗席茲與皮塔耶夫斯基等人合作完成。

本文經授權轉載自微信公眾號「數學文化」，原標題為《論數學教育》。

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