文/莊小哥
人生在世啊，總是會有一些階段性的小成就達成，比如年方二八就會吹口哨了，會打響指了，會掰手指掰得咔咔咔了……我不知道你會不會，反正我都會。就算不會你也不要著急，總之這些都是科學問題，好好學習它們的原理，總有一天就會了。
為什麼說都是科學問題呢，仔細觀察上面三種技能，你一定能找出共通之處——它們都是聲學事件，不是嘛，無論是通過口腔還是通過關節，震得同學們紛紛投來讚許目光的都是那一聲響……言歸正傳，本年度的菠蘿科學獎數學獎頒發給了一篇名為《指關節發聲的數學模型》的論文，就是為了表彰來自史丹福大學的Vineeth Chandran Suja博士和他的導師巴黎綜合理工的Abdul Barakat教授，聯手給這個咔咔咔的聲音找到了一個恰如其分的數學上的解釋。
幾年前，Suja還在巴黎郊外上生物力學課，他需要找一個讓自己通過這門課的課題作業，導師正是Barakat。一開始，Suja舉棋不定，被建議說試試看的幾個項目都不像能用剩下的時間搞定，然後他焦躁地掰起了手指，掰著掰著，腦門靈光一閃，這不就是個好課題嗎？
在他做調研的過程中發現，鑒於掰手指是如此流行的一項活動——想想看，掰得最有型的那些都能上銀幕上當李小龍了——所以前輩們對它的研究也不少啦。早在1939年出版的一本《關節操縱的科學與藝術》（The science andart of joint manipulation）中，作者James Mennell就提出掰手指聲來自關節釋放過程中纖維囊的突然收緊，而1947年《解剖學期刊》（Journal of anatomy）上發表了來自聖托馬斯醫學院的兩位學者Roston和Haines的文章，他們認為這是由於掌骨和近節指骨的關節面迅速分開，導致組織振動，從而發出了開裂聲。這個爭論，直到1971年才告一段落，來自利茲大學的幾位風濕病研究者，採集了來自病患的滑液，從屍檢中獲得了關節結構，還通過反覆實驗，把17名被試的手掌固定在負重台上，一邊掰（加負重）一邊用X光記錄下他們的關節變化，終於確定了聲音的來源——既不是纖維囊也不是關節組織，而是在關節腔滑液中的氣泡。嚴格來說，它們被稱作空化氣泡。
在X光機下觀察被試的關節變化，圖片來自論文A bioengineering study of cavitation in the metacarpophalangealjoint.
以有機玻璃和尼龍製成關節，注入滑液進行掰手指模擬實驗，其中5-9幀可以看到氣泡開裂。圖片來自論文A bioengineering studyof cavitation in the metacarpopha-langeal joint.
空化是一個來自工程上的術語，指的是局部壓力降低導致流體中形成蒸汽和氣泡，這種氣泡崩塌時會產生很高的衝擊壓力，也伴隨著很強的動力噪音。利茲團隊測得，在人體的關節腔滑液中，氣體含量達到15%，其中超過80%是二氧化碳。他們認為，當我們對關節施加壓力（人話：掰手指）時，就會迅速地形成空化氣泡，並因為極度不穩定而破裂，而將能量釋放為聲音。這同時也能解釋為什麼大部分關節在掰響過後，大概要過20-30分鐘才能再掰，因為排出的氣體不會那麼快被重新吸收。
看到這裡，我的第一個感覺就是，好像也沒Suja小哥什麼事了嘛，40年多前的理論已堪稱完美。但整個劇情在2015年卻發生了變化，一個加拿大和紐西蘭的聯合團隊發表於PLOS One上的文章稱，他們使用核磁共振成像來記錄的掰手指測試中，並未觀察到空化氣泡的破裂，氣泡從始至終持續存在於關節滑液內，所以他們的結論和1971年的結論相反，這些空化氣泡的形成才是造成咔咔咔的來源。
利用核磁共振成像觀察關節變化，圖片來自論文Real-time visualization of joint cavitation.
剛掰完的手指（左）、對同一個手指施加一個外力（右），圖片來自論文Real-time visualization of joint cavitation.
至此Suja小哥終於明白自己要做的是什麼了，就是找到模型，來解釋這兩種觀點孰對孰錯。但你可能又要問了，都9102年了，氣泡破不破有那麼難以觀察到嗎？上台儀器不就得了？雖然小編之前也這麼想過，不過現在我要告訴你你這麼想是太天真了，要知道，為了分辨這其中的細節，儀器的實時成像需要達到每秒1200幀的速度拍攝，且不說這大大超過了現在市面上的X光機和核磁共振成像儀的能力，即使機器本身能達到，你也不能用，因為有個生理安全的考慮。所以在現有條件限制下，用人體實驗的方法去驗證上面的兩種說法哪一個才是真理，是沒有可能的啦。
還好，世界上還有數學這麼一種以無形勝有形以四兩撥千斤的工具，Suja小哥想到了一個可以用計算的來檢驗對錯的辦法，那就是把關節的幾何尺寸、滑液的密度、運動粘度、表面張力等因素一起考慮在內，計算出其中所產生的空化氣泡隨時間而發生的壓力變化，以及這個振蕩過程產生的聲壓波，然後去和實測的掰手指響聲的聲波做比較。
實驗中模擬的第三掌指關節（a）、核磁共振成像下看到的第三掌指關節（b）、第三掌指關節二維示意圖（c），圖片來自論文A Mathematical Model for theSounds Produced by Knuckle Cracking
在涉及空化氣泡的動力學時，該研究當仁不讓地用到了Rayleigh–Plesset 方程，一個模擬流體中空氣泡運動的常微分方程，在流體力學領域大名鼎鼎，其中Rayleigh指的是1904年諾貝爾物理獎得主，第三代Rayleigh男爵，也是著名的「瑞利散射」的發現者，Plesset 指的是Milton Spinoza Plesset，一位相當有影響力的美國應用物理學家，他首次將這一原用於解決空腔問題的方程加上了表面張力的部分，用於解決空化氣泡問題。該論文中把它寫成了這個樣子：
好了我們不要具體去管它是怎麼解的了，總之通過解這個方程和另一個基於關節幾何特徵而構建的方程，能夠得出氣泡半徑隨時間和環境壓力變化而產生的變化。
而隨著時間而發生體積變化的氣泡所能產生的聲壓波由下面這個方程得出：
此外，Suja在巴黎理工學院的聲學實驗室里，用麥克風錄下了三名年輕人掰手指的聲響，將這些聲音的頻譜特徵和利用上述數學模型做出的模擬相比較。發現只有在模型中的氣泡破裂（半徑減小）的情況下，才能擬合出與收錄的聲音一致的曲線，這就支持了利茲大學團隊當年的結論，的確是空化氣泡的破裂才帶來了那困擾我們多年的咔咔咔聲。
不過，對於2015年加拿大和紐西蘭聯合團隊在核磁共振成像下觀察到的結果，倒也並非完全否認，因為這個模型顯示空化氣泡只有部分坍塌了，但會留下穩定的微泡。以及在討論部分還提到一點，實際上他們從實驗室中錄製的掰手指聲中發現，聲壓在一開始有個小峰值，很有可能和氣泡增長相關。
最後來談談看完這一系列東風壓倒西風西風又反攻的研究後，給我最大的收穫，還蠻重要（敲黑板了）：如果一個人沒法跟李小龍似的雙手咔咔咔或者渾身骨頭都咔咔咔，那很有可能的原因在於關節之間的間隙太大了。早在1971年的研究中，實驗就發現兩個面之間的初始（靜止）間距大於約1.4毫米的話，這樣的指關節沒法掰得響，這也是Suja在建模時充分給予考慮的一大前提。當年他們不是讓17個人把手伸到X光機下面去了嘛，其中有7個人就是這種情況，而另外還有5個人，照說關節面間距是合格的，但也怎麼也掰不響，因為呃……太緊張。
VineethChandran Suja
Abdul Baraka
我問了Suja博士一個大家都想知道的問題：到底怎麼才能make sounds louder？他秘相授受：
1 聲音大小的基礎是關節大小，這是天生的；
2 你可以使用更大的關節發出更大的聲音，比如膝關節，但一般人做不到；
3 拉關節可以發出比掰關節更大的聲音！
歡迎親自驗證~
by安然
向好奇心致敬
來源：菠蘿科學獎
編輯：Kun
點擊標題即可查看
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.