命題趨勢
基本不等式是解決函數值域、最值、不等式證明、參數範圍問題的有效工具，在高考中經常考查，有時也會對其單獨考查．題目難度為中等偏上．應用時，要注意「拆、拼、湊」等技巧，特別要注意應用條件，只有具備公式應用的三個條件時，才可應用，否則可能會導致結果錯誤．
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數學思想在不等式問題中的體現
1、分類討論思想
例1.已知不等式
，（1）求該不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值範圍。
解：（1）
當k>1時，解集為
當
時，解集為
當k<1時，解集為
（2）
所以
小結：當一次項係數為0時，不等式成為兩個常數比較大小的形式，與x取值無關。
因此，不等式的解集為R（不等式成立時）或
（不等式不成立時）。
2、轉化與化歸思想
例2.已知a，b，c為正整數，且
，求
的值。
解：因為不等式兩邊均為正整數，所以不等式
與不等式
等價，這個等價不等式又可轉化為
。
∴
∴
即a=2，b=3，c=6
小結：將等式與不等式對應等價轉化，是轉化數學問題的常用且非常有效的手段。
3、換元思想
例3.解不等式
解：若令
則
∵
，且
∴
∴不等式化為
即
∴
解得
從而
即
∴不等式的解集是
4、數形結合思想
例4.設a<0為常數，解不等式
。
解：不等式轉化為
令函數
和
其圖象如圖所示
由
解得
（捨去）
∴兩個函數圖象的交點為
由圖知，當
時，函數
的圖象位於函數
的圖象的上方
∴不等式的解集是
小結：在不等式的求解過程中，換元法和圖象法是常用的技巧。
通過換元，可將較複雜的不等式化歸為較簡單的不等式或基本不等式，
通過構造函數，數形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關係。
對含有參數的不等式，運用圖象法，還可以使得分類標準更加明晰。
5、方程思想
例5. 已知
，求證
分析：結論可以轉化為
，恰好是一元二次方程有實根的必要條件。
解：由已知可化為
，這表明二次方程
有實根
，從而需要判別式
，即
成立。
6、構造思想
例6. 解不等式
分析：本題若直接將左邊通分採用解高次不等式的思維來做，運算較繁雜。
但注意到
，且題中出現
，
啟示我們構造函數
去投石問路。
解：將原不等式化為
令
則不等式等價於
∵
在R上為增函數
∴原不等式等價於
解得
7、整體思想
例7.已知
，且
，求
的範圍。
解：令
可得
∴
又
可解得
小結：題中
，且
是四個整體，在解題過程中，整體謀劃，不能破壞其固有的整體結構。
典型例題精選
題型一 對公式的簡單運用
題型二：條件最值問題
【小結】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關係，然後代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數「1」代換的方法構造和或積為常數的式子，然後利用基本不等式求解最值．
【小結】看好形式上的特點，分子分母同時除以自變量x，或通過其他變形出現基本不等式的可用情況，如積為定值的形式．需要注意的是等號成立的條件，如果不成立，則需轉化為對勾函數的知識，運用求導並結合其圖像解題．
題型四 多變量綜合
題型五 利用基本不等式證明
【小結】基本不等式具有將「和式」轉化為「積式」和將「積式」轉化為「和式」的放縮功能,常常用於比較數(式)的大小或證明不等式,解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點,選擇好利用基本不等式的切入點．
題型六 基本不等式應用題
【小結】此題主要考察學生對直角三角形邊角關係的應用，第二問還考察學生對兩角差的正切公式和基本不等式的熟練運用，第一問屬於簡單題，第二問屬於中等題．
以實際問題為背景的解題步驟：
(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數．
(2)根據實際問題抽象出函數的解析式後，只需利用基本不等式求得函數的最值．
(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值範圍)內求解．
總結
使用基本不等式求最值時，「一正」「二定」「三相等」三個條件缺一不可．連續使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致．基本不等式問題經常以函數為依託，重點考查基本不等式的應用，充分體現了數學學科知識間的內在聯繫，能較好的考查學生對基本知識的識記能力和靈活運用能力．其解題的關鍵是對已知函數進行適當的變形，以滿足基本不等式應用的條件．