面對難以抉擇的問題，人們常把自己的命運託付給硬幣。
把硬幣用拇指彈起，讓它在空中翻轉，用手背接住，然後根據哪一面朝上來做決定。長久以來，人們都把拋硬幣視為簡單又公平的隨機事件：無論猜哪一面朝上，我們押中的機率都應該是正好50%。
然而，現實情況其實根本不是這樣。拋硬幣從來都無法得到完美均衡的結果，只要知道一點關鍵信息，你就輕鬆地從中占到便宜。
圖蟲創意
拋硬幣穩賺秘訣
在拋硬幣打賭中獲得優勢的秘訣非常簡單：你只需要了解硬幣拋起之前是哪一面朝上。這一面具體是正還是反並不重要，你只需要賭它在拋擲之後依然朝上就可以了。
理論計算與實驗都顯示，拋硬幣時最終朝上的面與初始狀態相同的機率總是會比與初始狀態相反要稍大一些。雖然這種機率偏差的幅度很小，但它卻總是穩定地存在。
具體能賺多少？
機率偏差具體有多大？就在最近，一項有史以來最大規模的拋硬幣實驗對此進行了驗證[1]。
研究者找來48位志願者，把拋硬幣這一動作重複了多達350757次。為確保沒有人在實驗中作弊或是偷懶，他們不僅公開了所有原始記錄，甚至還在YouTube上進行了長達12小時的拋硬幣馬拉松直播。
連拋12小時硬幣，這幫人是有多閒…… | Coin Tossing Team/YouTube
在350757次拋擲中，共有178078次得到了硬幣初始面朝上的結果——也就是說，這種情況出現的機率為50.8%。
按這個數字來計算，假如每次給拋硬幣結果下注1元錢，猜中獲得2元，猜錯獲得0元，那麼利用已知的硬幣初始狀態來押注並把賭局重複1000次，平均就能賺到19塊錢。
關鍵因素在於人
這項大規模實驗還發現，決定拋硬幣結果的關鍵並不在於硬幣本身，而是在於拋擲的人。
實驗者使用了共計46種不同貨幣和面額的硬幣來進行拋擲。這些硬幣的設計與質量分布都不相同，但用它們拋出的結果卻沒有顯著差異。
硬幣種類並不是決定拋硬幣結果的關鍵因素 | pixabay
然而，當研究者把每位投擲者的拋硬幣記錄分開分析時，卻發現每個人造成的機率偏差幅度都不太一樣。有些實驗者投出的硬幣偏差很小，下落後結果與初始面相同的機率非常接近50%；而另一些實驗者投出的結果偏差很大，結果與初始面相同的機率有時甚至高達60%。
拋硬幣的機率偏差源於人 | Andrew Davidhazy, Rochester Institute of Technology
為什麼會這樣？
拋硬幣的結果為什麼存在偏差？在2007年，幾位數學家就對此給出了理論解釋：簡單說，這與人類拋硬幣動作的不完美性有關[2]。
在最理想的情況下，拋硬幣本身並不是一個隨機事件。如果初始速度等條件全部精確固定，它其實應該是結局固定的物理過程。研究者們就曾製作過這種能夠保持初始狀態完全不變的「完美拋硬幣機器」，用它來拋硬幣，可以保證每一次結果都相同。
數學家Persi Diaconis與幾位同事設計出了這台「完美拋硬幣機器」，由於初始條件嚴格保持一致，用它拋硬幣每一次都會得到相同的結果 | Susan Holmes
而人手拋硬幣則不會這麼完美，每一次拋接條件實際都會稍有差異——在硬幣翻轉足夠快的前提下，正是這種初始條件的微小波動讓拋硬幣結果變得隨機了起來。
假如硬幣的旋轉動作只是單純地上下翻轉，那麼在微小波動的作用下，正面與反面朝上的機率應該都會是50%。然而，因為人手動作的不完美，硬幣的旋轉方式實際會更加複雜。
翻轉的硬幣（高速攝影）| Numberphile2
高速攝影顯示，人手拋出的硬幣其實存在進動——也就是說，它在上下翻轉的同時，旋轉軸的方向也在發生變化。
正是這種複雜的運動方式讓硬幣兩面朝上的時間變得不再均等。最初朝上的一面在空中朝上的時間會稍長一點，因此它最終依然朝上的機率也會比另一面高。根據數學家的理論計算，硬幣初始面朝上的機率約為51%，這與實驗結果相當一致。
讓拋硬幣重新變公平
拋硬幣的結果總是存在偏差，但想要讓它重新回歸公平其實也很簡單——只要在摸出硬幣投擲時不要看它的初始狀態就可以了。實驗顯示，只要初始狀態保持隨機，拋硬幣出現正面和反面的機率都是均等的50%。
總之，想要「完美隨機」還是「穩賺不賠」，選擇權現在就交給你了。
參考文獻
[1] https://arxiv.org/abs/2310.04153
[2] https://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf
作者：窗敲雨
編輯：Luna
封面圖來源：圖蟲創意
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