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最近我們被客戶要求撰寫關於馬爾可夫轉換模型的研究報告，包括一些圖形和統計輸出。
本文描述了R語言中馬爾克夫轉換模型的分析過程
首先，對模擬數據集進行詳細建模。接下來，將馬爾可夫轉換模型擬合到具有離散響應變量的真實數據集。用於驗證對這些數據集建模的不同方法。
模擬實例
示例數據是一個模擬數據集，用於展示如何檢測兩種不同模式的存在：一種模式中的響應變量高度相關，另一種模式中的響應僅取決於外生變量x。自相關觀測值的區間為1到100、151到180 和251到300。每種方案的真實模型為：
圖1中的曲線表明，在不存在自相關的區間中，響應變量y具有與協變量x相似的行為。擬合線性模型以研究協變量x如何解釋變量響應y。
> summary(mod)
Call:
lm(formula = y ~ x, data = example)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.8998 -0.8429 -0.0427 0.7420 4.0337
> plot(ts(example))
圖1：模擬數據，y變量是響應變量
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 9.0486 0.1398 64.709 < 2e-16 ***
x 0.8235 0.2423 3.398 0.00077 ***
Residual standard error: 1.208 on 298 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.03731, Adjusted R-squared: 0.03408
F-statistic: 11.55 on 1 and 298 DF, p-value: 0.0007701
協變量確實很重要，但是模型解釋的數據行為非常糟糕。圖1中的線性模型殘差圖表明，它們的自相關很強。殘差的診斷圖（圖2）確認它們似乎不是白噪聲，並且具有自相關關係。接下來，將自回歸馬爾可夫轉換模型（MSM-AR）擬合到數據。自回歸部分設置為1。為了指示所有參數在兩個周期中都可以不同，將轉換參數（sw）設置為具有四個分量的矢量。擬合線性模型時的最後一個值稱為殘差。
標準偏差。有一些選項可控制估算過程，例如用於指示是否完成了過程並行化的邏輯參數。
Markov Switching Model
AIC BIC logLik
637.0736 693.479 -312.5368
Coefficients:
Regime 1
---------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)(S) 0.8417 0.3025 2.7825 0.005394 **
x(S) -0.0533 0.1340 -0.3978 0.690778
y_1(S) 0.9208 0.0306 30.0915 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.5034675
Multiple R-squared: 0.8375
Standardized Residuals:
Min Q1 Med Q3 Max
-1.5153666657 -0.0906543311 0.0001873641 0.1656717256 1.2020898986
Regime 2
--------- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)(S) 8.6393 0.7244 11.9261 < 2.2e-16 ***
x(S) 1.8771 0.3107 6.0415 1.527e-09 ***
y_1(S) -0.0569 0.0797 -0.7139 0.4753
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.9339683
Multiple R-squared: 0.2408
Standardized Residuals:
Min Q1 Med Q3 Max
-2.31102193 -0.03317756 0.01034139 0.04509105 2.85245598
Transition probabilities:
Regime 1 Regime 2
Regime 1 0.98499728 0.02290884
Regime 2 0.01500272 0.97709116
模型mod.mswm具有協方差x非常顯著的狀態，而在其他情況下，自相關變量也非常重要。兩者的R平方均具有較高的值。最後，轉移機率矩陣具有較高的值，這表明很難從接通狀態更改為另一個狀態。該模型可以完美地檢測每個狀態的周期。殘差看起來像是白噪聲，它們適合正態分布。而且，自相關消失了。
圖形顯示已完美檢測到每個方案的周期。
> plot(mod.mswm,expl="x")
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R語言如何做馬爾可夫轉換模型markov switching model
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交通事故
交通數據包含2010年西班牙交通事故的每日人數，平均每日溫度和每日降水量。該數據的目的是研究死亡人數與氣候條件之間的關係。由於在周末和工作日變量之間存在不同的行為，因此我們說明了在這種情況下使用廣義馬爾科夫轉換模型的情況。
在此示例中，響應變量是計數變量。因此，我們擬合了泊松廣義線性模型。
> summary(model)
Call:
glm(formula = NDead ~ Temp + Prec, family = "poisson", data = traffic)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.1571 -1.0676 -0.2119 0.8080 3.0629
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 1.1638122 0.0808726 14.391 < 2e-16 ***
Temp 0.0225513 0.0041964 5.374 7.7e-08 ***
Prec 0.0002187 0.0001113 1.964 0.0495 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 597.03 on 364 degrees of freedom
Residual deviance: 567.94 on 362 degrees of freedom
AIC: 1755.9
Number of Fisher Scoring iterations: 5
下一步，使用擬合馬爾可夫轉換模型。為了適應廣義馬爾可夫轉換模型，必須包含族參數，而且glm沒有標準偏差參數，因此sw參數不包含其切換參數。
>
Markov Switching Model
AIC BIC logLik
1713.878 1772.676 -850.9388
Coefficients:
Regime 1
---------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)(S) 0.7649 0.1755 4.3584 1.31e-05 ***
Temp(S) 0.0288 0.0082 3.5122 0.0004444 ***
Prec(S) 0.0002 0.0002 1.0000 0.3173105
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Regime 2
---------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)(S) 1.5659 0.1576 9.9359 < 2e-16 ***
Temp(S) 0.0194 0.0080 2.4250 0.01531 *
Prec(S) 0.0004 0.0002 2.0000 0.04550 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Transition probabilities:
Regime 1 Regime 2
Regime 1 0.7287732 0.4913893
Regime 2 0.2712268 0.5086107
兩種狀態都有顯著的協變量，但降水協變量僅在這兩種狀態之一中是顯著的。
Aproximate intervals for the coefficients. Level= 0.95
(Intercept):
Lower Estimation Upper
Regime 1 0.4208398 0.7648733 1.108907
Regime 2 1.2569375 1.5658582 1.874779
Temp:
Lower Estimation Upper
Regime 1 0.012728077 0.02884933 0.04497059
Regime 2 0.003708441 0.01939770 0.03508696
Prec:
Lower Estimation Upper
Regime 1 -1.832783e-04 0.0001846684 0.0005526152
Regime 2 -4.808567e-05 0.0004106061 0.0008692979
由於模型是通用線性模型的擴展，因此從類對象計算出圖中的Pearson殘差。該殘差有白噪聲的經典結構。殘差不是自相關的，但它們與正態分布不太吻合。但是，Pearson殘差的正態性不是廣義線性模型驗證的關鍵條件。
> plot(m1,which=2)
我們可以看到短時間內的狀態分配，因為較大的狀態基本上包含工作日。
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